高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省七彩陽光聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則等于（）A.32 B.45 C.51 D.56〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，則,故選：B.2.如果直線：與直線：平行，那么實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得.故選：A3.若曲線在處的切線方程為，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，則，可得，所以，曲線在處的切線方程為，將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，又因?yàn)?，解得，因此，?故選：D.4.等差數(shù)列的公差不為0，其前n和滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗等差數(shù)列的公差不為0，其前n和滿足，因此是的最大值，顯然，從而，即，，，．故選：C．5.若正方形ABCD的邊長為a，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)（如圖1），沿AE，AF將△ADE，△ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合于點(diǎn)P（如圖2），則直線PA與平面PCE所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，可得，，，則，PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PE，PF，PA分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，，有，解得，即得，所以可得，，設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量，，令，則，所以平面PCE的一個(gè)法向量為，又，設(shè)PA與平面PCE所成角為，所以.故選：A6.已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗存在兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，故，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值，又當(dāng)時(shí)，，如圖為的圖象要使有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，所以，故選：C7.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于A、B.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋O(shè)，，,其中，由雙曲線的定義可知，，即，得，所以，而，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，得，又，所以，得，雙曲線的漸近線方程為.故選：B．8.已知，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，，又由，得到，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，即，故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值 B.函數(shù)存在極大值和極小值C.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)的極小值就是的最小值〖答案〗BCD〖解析〗，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，如圖，所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，極小值即為最小值，且函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.故選：BCD10.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．下列結(jié)論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則 B.若是等比數(shù)列，則C.若是等比數(shù)列，則公比一定為2 D.若是等比數(shù)列，則公比是2或－2〖答案〗AB〖解析〗，則，若是等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，因此，所以，A正確；若成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，滿足，此時(shí)也滿足，但CD顯然錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，則成等比數(shù)列，，所以，B正確．故選：AB．11.如圖，棱長為2的正方體中，M為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在平面ABCD內(nèi)的軌跡為曲線Γ.下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，Γ是一個(gè)點(diǎn)B.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N到直線，的距離之和為時(shí)，Γ是橢圓C.當(dāng)直線MN與平面ABCD所成的角為時(shí)，Γ是圓D.當(dāng)直線MN與平面所成的角為時(shí)，Γ是雙曲線〖答案〗ACD〖解析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)，因?yàn)檎叫蔚睦忾L為2，則有，又M為的中點(diǎn)，所以，設(shè)，選項(xiàng)A，因?yàn)?，，又，所以，即，也即，所以，此時(shí)，曲線Γ為點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，連接，易知?jiǎng)狱c(diǎn)N到直線，的距離即為線段的長，而又易知，當(dāng)點(diǎn)不在線段上時(shí)，有，所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N到直線，的距離之和為時(shí)，點(diǎn)在線段上，此時(shí)曲線Γ為線段，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，易知平面的一個(gè)法向量為，，所以當(dāng)直線MN與平面ABCD所成的角為時(shí)，有，化簡得，此時(shí)曲線Γ為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，易知平面的一個(gè)法向量為，，所以當(dāng)直線MN與平面所成的角為時(shí)，有，化簡得，此時(shí)曲線Γ為，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，，是拋物線C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P.下列結(jié)論正確的是（）A.若直線過點(diǎn)F，則，且B.若直線過點(diǎn)F，則P，，B三點(diǎn)共線C.若直線過點(diǎn)P，則，且D.若直線過點(diǎn)P，則的最小值為4〖答案〗ABC〖解析〗對于A，若直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，易得，所以，則，故A正確；對于B，若直線過點(diǎn)，由A知，則，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，，所以此時(shí)與重合，所以三點(diǎn)共線；當(dāng)時(shí)，，，所以，且為線段的共同起點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對于C，若直線過點(diǎn)P，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，則，解得或，所以，則，故C正確；對于D，若直線過點(diǎn)P，則在軸的同側(cè)，即，則，而，等號不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中對應(yīng)的橫線上.13.徐悲鴻的馬獨(dú)步畫壇，無人能與之相頡頏.《八駿圖》是徐悲鴻最著名的作品之一，畫中剛勁矯健、剽悍的駿馬，在人們心中是自由和力量的象征，鼓舞人們積極向上.現(xiàn)有8匹善于奔跑的馬，它們奔跑的速度各有差異.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹馬的最長日行路程是第i＋1匹馬最長日行路程的1.1倍，且第8匹馬的最長日行路程為500里，則這8匹馬的最長日行路程之和為_____________里.（?。即鸢浮?700〖解析〗有題意可知：第八匹馬、第七匹馬、…...,第一批馬構(gòu)成首項(xiàng)為500，公比為1.1的等比數(shù)列，所以這8匹馬的最長日行路程之和為，故〖答案〗：14.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為3的正方形，，AP與AB，AD的夾角都是60°，若M是PC的中點(diǎn)，則直線MB與AP所成角的余弦值為_________________________.〖答案〗〖解析〗記，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?易得，所以，所以，又故〖答案〗為：15.已知橢圓：和雙曲線：的焦點(diǎn)相同，，分別為左、右焦點(diǎn)，M是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn).已知，雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為_____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)半焦距為，由橢圓的定義和雙曲線的定義可得，故，由余弦定理可得，整理得到，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，故，故，所以，故，故〖答案〗為：.16.若函數(shù)極值點(diǎn)為，則的值為______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)椋?，由知，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有極大值點(diǎn)，所以.故〖答案〗為：1四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，各項(xiàng)系數(shù)和為.（1）求n和a的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：（1）∵由條件可得，∴解得.（2）.∵展開式的通項(xiàng)為：.∴①當(dāng)即時(shí)，；②當(dāng)即時(shí)，；∴所求的常數(shù)項(xiàng)為.18.盒子中有個(gè)不同的白球和個(gè)不同的黑球.（1）若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？（2）隨機(jī)一次性摸出個(gè)球，使得摸出的三個(gè)球中至少有個(gè)黑球，共有多少種不同的摸球結(jié)果？（3）將這些小球分別放入另外三個(gè)不同的盒子，使得每個(gè)盒子至少一個(gè)球，共有多少種不同的放法？（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）解：（1）將個(gè)不同的白球和個(gè)不同的黑球排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，只需先將個(gè)不同的黑球進(jìn)行排序，然后將個(gè)不同的白球插入黑球在中間所形成的空位中，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.（2）隨機(jī)一次性摸出個(gè)球，使得摸出的三個(gè)球中至少有個(gè)黑球，則黑球得個(gè)數(shù)可以是或或，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的摸球結(jié)果種數(shù)為種.（3）先將這個(gè)小球分為組，則這三組小球的個(gè)數(shù)分別為、、或、、，再將這三組小球分配給三個(gè)盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.19.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，的前n項(xiàng)和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，∴，∵，，成等比，∴，即，得，解得或，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴或.（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為整數(shù)，由（1）得，所以，則，∴.∴.20.如圖，三棱柱體積為，側(cè)面是矩形，，，且已知二面角是鈍角.（1）求的長度；（2）求二面角的大小.解：（1）側(cè)面是矩形，則，又∵且，平面，∴AC⊥平面，∵，∴平面，平面，∴，∴.∵可知二面角的平面角是鈍角，∴在平面中作垂直BC的延長線于H而平面，，，且，平面，∴平面ABC，，，則，，，∴，∴，∴中，，∴，∴.∵中，，，∴由余弦定理可求得，∴.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB分別為x、y軸，過C作平面BAC的垂線作為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，，，，∴，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，∴可得平面的法向量為.又可知平面的法向量為.設(shè)所求角為θ，∵可知所求二面角為銳角，∴，，∴二面角為.21.已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）若點(diǎn)、在雙曲線的左、右兩支上，直線、均與圓相切，記直線、的斜率分別為、，的面積為.①是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由.②已知圓的面積為，求.解：（1）由題意可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率存在的直線的方程為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，轉(zhuǎn)化整理為.（※）①因?yàn)椤⑹欠匠蹋ā┑膬蓚€(gè)根，所以，為定值；②因?yàn)閳A的面積為，所以，，代入方程（※），可得，解得，.所以，直線、的方程分別為和，聯(lián)立可得，，所以，，可得，聯(lián)立可得，，所以，.所以，，.設(shè)、切圓于、，則，所以，，所以，，則，所以，.22.已知函數(shù)，，.