第二章二次函數(shù)第1節(jié)《二次函數(shù)所描述的關(guān)系》學(xué)習(xí)目標(biāo)1.從實際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進一步體驗如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。2.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式。3.會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍。學(xué)習(xí)重點：二次函數(shù)的概念和解析式學(xué)習(xí)難點：本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實際問題有的較為復(fù)雜，要求學(xué)生有較強的概括能力。學(xué)習(xí)過程二次函數(shù)的定義一般地，形如例如：在理解二次函數(shù)的定義時，應(yīng)注意以下幾點：（1）任何一個二次函數(shù)的關(guān)系式都可以化成的形式，因此，把叫做二次函數(shù)的一般式，其中分別是二次項、一次項和常數(shù)項。（2）二次函數(shù)中，是變量，是常量。自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，要特別注意必須是不等于0的實數(shù)。因為當(dāng)=0時，就是，若，則是一次函數(shù)；若，則，就是一個常數(shù)函數(shù)。（3）二次函數(shù)與一元二次方程有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次方程?！隼?下列函數(shù)中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．B.C.D.2、列函數(shù)關(guān)系式（重點）函數(shù)關(guān)系式其實是一個等式，左邊字母表示的量隨右邊的字母變化而變化，所以左邊的字母（因為右邊的的字母變化它才變化）叫因變量，右邊的字母是自己不斷的變化，所以叫自變量。（1）在實際問題中，要表示兩個變量間的關(guān)系，需找到問題中的等量關(guān)系，列出含有這兩個變量的二元方程，再按要求化成用含一個變量的式子表示另一個變量的形式。（2）用嘗試求值的方法解決實際問題，可以列出表格，依次對自變量取值，求出它們對應(yīng)的函數(shù)值，然后取得符合題意的值?！隼?正方形的邊長為3cm，若它的邊長增加xcm，則它的面積就增加ycm。試列出y與x之間的關(guān)系式。典型例題：題型1根據(jù)二次函數(shù)的定義確定字母的取值例1已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值是________。題型2根據(jù)變量之間的關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式例2將一根長20cm的鐵絲折成一個矩形，設(shè)矩形的一邊長為xcm，矩形的面積為ycm。寫出y與x之間的關(guān)系式，并指出它是一個什么函數(shù)？當(dāng)邊長x=1，2時，矩形的面積分別是多少？題型3列函數(shù)關(guān)系式解決實際問題例3某廣告公司欲設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費為每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長為x米，所花費用為y元。請你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；估計當(dāng)x取何值時，y有最大值。例4如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為ym，道路的寬為xm，你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？題型4二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用例5如圖，已知△ABC是一個等腰三角形鐵板余料，其中AB=AC=20cm，BC=24cm。若在△ABC上截出一個矩形零件DEFG，使EF在邊BC上，點D、G分別在邊AB、AC上，設(shè)EF=xcm，S=ycm。你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？第2節(jié)結(jié)識拋物線學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、經(jīng)歷描點法畫函數(shù)圖像的過程；2、學(xué)會觀察、歸納、概括函數(shù)圖像的特征；3、掌握二次函數(shù)圖像的特征；4、經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程，學(xué)會合情推理。學(xué)習(xí)重點：型二次函數(shù)圖像的描繪和圖像特征的歸納學(xué)習(xí)難點：選擇適當(dāng)?shù)淖宰兞康闹岛拖鄳?yīng)的函數(shù)值來畫函數(shù)圖像，該過程較為復(fù)雜。學(xué)習(xí)過程二次函數(shù)的圖象的畫法（重點）描點法：列表——描點——連線列表——取原點（0，0），然后在原點兩側(cè)對稱地取4個點描點——先將y軸右側(cè)的兩個點描出來，然后按對稱關(guān)系找到y(tǒng)軸左側(cè)的兩個對應(yīng)點連先——按從左到右的順序?qū)⑦@5個點用平滑的曲線連接起來。注意要“平滑”，且圖象不能到“兩端”為止，應(yīng)畫成延伸的形狀例1作出二次函數(shù)y=的圖象。二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)（難點）圖象為一條拋物線軸對稱圖形，對稱軸是y軸，頂點是原點（0，0）——頂點是指對稱軸與拋物線的交點。當(dāng)>0時，開口向上，在y軸左邊，下降趨勢；在y軸右邊，上升趨勢。頂點處取得最小值0。當(dāng)<0時，開口向下，在y軸左邊，上升趨勢；在y軸右邊，下降趨勢。頂點處取得最大值0。例2在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：說出這兩個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；拋物線，當(dāng)x______時，拋物線上的點都在x軸上方，當(dāng)x>0時，曲線自左向右逐漸______；它的頂點是圖象的最____點；函數(shù)，對于一切x的值，總有函數(shù)值y_____0；當(dāng)x<0時，y隨x的增大而____；當(dāng)x____時，y有最______值，是_______。典型例題：例1已知拋物線y=與直線y=3x+m都經(jīng)過點（2，n）。求m、n的值。是否存在另一個交點？若存在，請求出。例2已知，當(dāng)m=________時，它的圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)x______時，y隨x的增大而增大。例3已知，如圖，直線l經(jīng)過A（4，0）和B（0，4）兩點，它與拋物線y=在第一象限內(nèi)相交于點P，又知△AOP的面積為4，求的值。第3節(jié)剎車距離與二次函數(shù)本節(jié)內(nèi)容：比較的圖象的異同（重點）比較的圖象的異同（難點）1、比較的圖象的異同（重點）二次函數(shù)中的的作用：（1）的符號決定拋物線的開口方向：>0時，開口向上；<0時，開口向下；（2）的值決定拋物線的形狀和開口大小，||相同，拋物線的形狀和開口大小相同；||越大，拋物線開口反而越小，圖象越靠近y軸。例1晴天在某段公路上行駛時，速度為v（km/h）的汽車的剎車距離s（m）可由公式確定；雨天行駛時，這一公式為。在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象。完成下表：在圖中作出的圖象。解答下列問題：和的圖象有什么相同點與不同點？如果行車速度是60km/h，那么在雨天行駛和在晴天行駛相比，剎車距離相差多少？你是怎么知道的？（4）根據(jù)上述兩點分析，你想對司機師傅說些什么？2、比較的圖象的異同（難點）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)是（0，c）。對于和的圖象，形狀相同，只是位置不同?？梢钥醋鍪前训膱D象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|個單位長度得到的。例2在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題。拋物線經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線？函數(shù)，當(dāng)x______時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x_____時，函數(shù)有最大值，最大值y是______，其圖象與y軸的交點坐標(biāo)是_________，與x軸的交點坐標(biāo)是________。（3）試說出拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)。典型例題：例1不畫圖象，說出拋物線和的對稱軸、頂點坐標(biāo)和開口方向。例2已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：滿足條件的m值；m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？m為何值時，函數(shù)有最大值，最大值是什么？這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減??？例3心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受能力越強.(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增加？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？(2)第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強？(3)結(jié)合本題針對自己的學(xué)習(xí)情況有何感受？第4節(jié)二次函數(shù)的圖象本節(jié)內(nèi)容：教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷二次函數(shù)圖像平移的過程；理解函數(shù)圖像平移的意義。2、了解，，三類二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系。3、會從圖像的平移變換的角度認識型二次函數(shù)的圖像特征。教學(xué)重點：從圖像的平移變換的角度認識型二次函數(shù)的圖像特征。教學(xué)難點：對于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解。二次函數(shù)的圖象的平移配方法及二次函數(shù)的圖象的基本特征（重點）二次函數(shù)的性質(zhì)（重點）二次函數(shù)的圖象特征與的符號之間的關(guān)系（難點）1、二次函數(shù)的圖象的平移（1）二次函數(shù)的圖象可由拋物線向上（或向下）平移而得到。當(dāng)k>0時，拋物線向上平移|k|個單位，得的圖象；當(dāng)k<0時，拋物線向下平移|k|個單位，得的圖象。（2）二次函數(shù)的圖象可由拋物線向左（或向右）平移而得到。當(dāng)h>0時，拋物線向右平移|h|個單位，得到的圖象；當(dāng)h<0時，拋物線向左平移|h|個單位，得到的圖象；（3）二次函數(shù)的圖象可由拋物線向左（或向右）平移|h|個單位，再向上（或向下）平移|k|個單位而得到。注意：①平移時與上、下、左、右平移的先后許無關(guān)。既可先左右后上下，也可先上下后左右；②拋物線的移動主要看頂點的移動，即在平移時只要抓住頂點的位置變化就可以了；③拋物線經(jīng)過反向平移也可得到拋物線的圖象。例1已知是由拋物線向上平移2個單位，再向右平移1個單位得到的拋物線。求出的值；在同一直角坐標(biāo)系中，畫出與的圖象；觀察的圖象，當(dāng)x______時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x______時，函數(shù)y有最____值，最_____值是y______；觀察的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎？2、配方法及二次函數(shù)的圖象的基本特征（重點）（1）二次函數(shù)的一般式與頂點式可互相轉(zhuǎn)化。①通過去括號，合并同類項可將頂點式化為一般式。如：即：可化為②利用配方法可將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。如：因此拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是。（2）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它與拋物線的形狀相同，只是位置不同，它的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是。例2求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)。3、二次函數(shù)的性質(zhì)（重點）例3畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出取何值時，隨的增大而增大；取何值時，隨的增大而減??？函數(shù)y有最大值還是最小值，最值是多少？4、二次函數(shù)的圖象特征與的符號之間的關(guān)系（難點）拋物線與其系數(shù)、、的符號有著密切的聯(lián)系。它們之間的相互制約關(guān)系如下表：例4如圖，坐標(biāo)系中拋物線是函數(shù)的圖象，則下列式子能成立的是（）A.典型例題：例1指出下列二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)。（1）；（2）。例2如果將拋物線沿直角坐標(biāo)平面向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到拋物線。你能確定b、c的值嗎？試試看。例3某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m件與每件的售價x元滿足一次函數(shù)m=162-3x。寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數(shù)表達式。如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少合適？最大利潤是多少？例4已知二次函數(shù)，請你探索一下，當(dāng)a滿足什么條件時，上述函數(shù)y的最小值為零。第5節(jié)用三種方式表示二次函數(shù)本節(jié)內(nèi)容：二次函數(shù)的三種表示方式（重點）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式（難點）1、二次函數(shù)的三種表示方式（重點）二次函數(shù)的三種表示方式：表達式法表格法圖象法例1現(xiàn)有鋁合金窗框材料8m，準(zhǔn)備用它做一個如圖長方形窗框（窗框的寬度AB必須小于高度BC）。已知窗臺到房屋天花板的距離為2.2m，設(shè)窗框?qū)扐B為xm，窗戶的總面積為S（窗框本身及橫梁占去的面積忽略不計）。寫出面積S與寬度x的函數(shù)關(guān)系；試求出自變量x的取值范圍。2、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式（難點）二次函數(shù)的表達式有三種形式：一般式：已知拋物線上三個點的坐標(biāo)時。頂點式：已知條件與拋物線頂點坐標(biāo)有關(guān)時。兩根式：已知拋物線與x軸兩交點時。注意：當(dāng)拋物線關(guān)于y軸對稱時，b=0，拋物線為；當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，拋物線為；當(dāng)拋物線頂點在原點時，拋物線為。用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的一般步驟是：寫出適合的函數(shù)表達式；把已知條件代入函數(shù)表達式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程（組）求出待定系數(shù)的值。即得到函數(shù)表達式。例2已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，-3），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-5），求拋物線的表達式。典型例題：例1已知二次函數(shù)過（-1，0），（3，0），（0，），求此拋物線的表達式。例2已知拋物線的圖象如圖，該拋物線與x軸交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為（，0），則A點坐標(biāo)為________。例3二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=______,x=2對應(yīng)的函數(shù)值y=_________。第6節(jié)何時獲得最大利潤本節(jié)內(nèi)容：教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程。2、會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值。3、體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的重要數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。教學(xué)重點和難點：重點：二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用。難點：例1是從現(xiàn)實問題中建立二次函數(shù)模型，學(xué)生較難理解。自變量x取全體實數(shù)時二次函數(shù)的最值自變量x在一定范圍內(nèi)取值時求二次函數(shù)的最值（難點）二次函數(shù)最值的應(yīng)用問題（重點）1、自變量x取全體實數(shù)時二次函數(shù)的最值求當(dāng)x取全體實數(shù)時y的最值。有三種方法：方法1：配方法當(dāng)>0，x=時，；當(dāng)<0，x=時，。方法2：公式法直接利用方法1的結(jié)論求最大值與最小值。（即背過方法1）方法3：判別式法把y看做已知數(shù)，得到?！選為全體實數(shù)，∴△=→≥當(dāng)>0時，≥，此時y取到最小值為；當(dāng)<0時，≤，此時y取到最大值為。例1求二次函數(shù)的最小值。2、自變量x在一定范圍內(nèi)取值時求二次函數(shù)的最值（難點）分兩類情況：第1類：在范圍內(nèi)時：（1）若>0，則時，y取到最小值為；最大值為、中離較遠者所對應(yīng)的y值；（2）若<0，則時，y取到最大值為；最小值為、中離較遠者所對應(yīng)的y值；第2類：不在范圍內(nèi)時：（1）若>0，<,則=時，y取到最小值為；=時，y取到最大值為；若>0，>,則=時，y取到最大值為；=時，y取到最小值為；（2）若<0，<,則=時，y取到最大值為；=時，y取到最小值為；若<0，>,則=時，y取到最小值為；=時，y取到最大值為。例2分別在寫列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值。（1）0<x<2；（2）2≤x≤3。3、二次函數(shù)最值的應(yīng)用問題（重點）重點：利用二次函數(shù)的最值求實際問題中的最大值或最小值。一般步驟：把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；利用二次函數(shù)的最大值或最小值解決實際問題。例3某校八年級學(xué)生小麗、小強和小紅到某超市參加了社會實踐活動，在活動中他們參與了某種水果的銷售工作，已知該水果的進價為8元/kg，下面是他們在活動結(jié)束后的對話：小麗：如果以10元/kg的價格銷售，那么每天可售出300kg；小強：如果以13元/kg的價格銷售，那么每天可獲取利潤750元；小紅：通過調(diào)查驗證，我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售單價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系。求y（kg）與x（元）（x>0）的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)該超市銷售這種水果每天獲取的利潤為W元，那么當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？[利潤=銷售量×（銷售單價-進價）]典型例題：例1已知二次函數(shù)，并且這個函數(shù)圖象上兩點A、B的橫坐標(biāo)分別為=，=4，不求函數(shù)值，請比較、的大小。例2某化工材料經(jīng)銷公司購進一種化工原料7000千克，購進時價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于70元，也不得低于30元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價定為70元，日均銷售60千克，單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支付其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按整天計算），設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。求y關(guān)于x的二次函數(shù)表達式，并說明x的取值范圍；將（1）中所求出的二次函數(shù)配方寫成[或]的形式，寫出頂點坐標(biāo)，并畫出圖象，由圖象指出單價定為多少元時，日均獲利最多？最多是多少？若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種方式，哪種方式獲利較多？多多少？第7節(jié)最大面積是多少本節(jié)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)：1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實際最值問題的過程。2、會綜合運用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問題。3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。教學(xué)重點和難點：重點：利用二次函數(shù)的知識對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)地分析，即用數(shù)學(xué)的方式表示問題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問題。難點：例3將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，情景比較復(fù)雜。：長方形的最大面積是多少卡車過橋問題1、長方形的最大面積是多少當(dāng)題目中要求矩形的最大面積時，通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出二次函數(shù)的最大值，同時要注意自變量的取值范圍。例1如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。求S與x的函數(shù)關(guān)系式；如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由。2、卡車過橋問題這類問題所給的問題情境常有一個拋物線形橋頂或隧道，已知卡車的高和寬，問卡車是否能完全通過。在問題中，拋物線的函數(shù)表達式是首要條件，有時函數(shù)表達式已經(jīng)給出，有時需要先求出來，求出函數(shù)表達式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當(dāng)于告訴x的值，求y的值，然后把限制的高的值與y的值比較大小）；固定卡車的高，看拋物線是否夠?qū)挘聪喈?dāng)于告訴y的值，然后再根據(jù)函數(shù)表達式求x的值，再與限制的寬的值比較大小）。例2一座拱橋的輪廓是拋物線形，如圖1。拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離為5m。將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中，如圖2。其表達式是的形式，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出a、c的值；求支柱MN的長度；拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排形式寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由。典型例題：例1如圖，在△ABC中，AF⊥BC，AB=AC=5，BC=6，矩形PQED的邊PQ在線段BC上，D、E分別在線段AB、AC上，設(shè)BP=x。求矩形PQED的面積y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)x取什么值時，矩形PQED的面積