河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題

一、選擇題

2+4i

Z=------

1.設1—3i,貝i]z=（）

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

【答案】B

2+4i_(2+4i)(l+3i)_-10+10i

【解析】zl-3i(l-3i)(l+3i)--10=-l+i,

故口-1-i，

故選：B.

2.在/ABC中，內角A,3,C的對邊分別為。，/?,。，且。=7,6=3,。=5,則（）

A.為銳角三角形B.JWC為直角三角形

C.ABC為鈍角三角形D.ABC的形狀無法確定

【答案】C

h22-a232+52-729+25-49

【解析】由于cosA=2*+c_上仍＜0,

2bc3030

故A為鈍角，進而三角形為鈍角三角形

故選：C.

3.已知直線x+2y+2=0與拋物線C：/=。X的圖象相切，則。的焦點坐標為（）

B.(-1,0)D.(1,0)

【答案】C

x+2y+2=0、

【解析】依題意，聯(lián)立《2，消去X，得y+20+2。=0,

y=ax

則A=4a2—8Q=0，由〃。0,所以a=2,

故拋物線。方程為丁二2%，則其焦點坐標為故選：C.

4.已知cosO=L,則COS36=()

4

【答案】A

17015

【解析】因為cos6=—,可得cos29=2cos0之。-1二——,sin2^=l-cos92=一,

4816

貝(Jcos36=cos(26+6)=cos29cos6-sin20sin0=(2cos20-1)cos0—2sin26cos6，

=q“xL11

8416416

故選：A.

5.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分

得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意進行分類：

第一類：甲、乙、丙每人分得2本，Ni=C：C；C；=15x6x1=90（種）；

第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，

N2=C；C：C；A；=15x4x1x2=120（種）.

所以由分類加法計數(shù)原理可得共有N=M+N2=90+120=210種不同的分法.

故選：D.

6.函數(shù)/（尤）=因被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中國表示不大于實數(shù)x的最大整

數(shù).若X/777?（）,+<?）,滿足[疔+卜]<史坦，則%的取值范圍是（）

m

A.[-1,2]B.（-1,2）C.[-2,2）D.（-2,2]

【答案】C

【解析】Vme（O,+a））Z!￡±l=m+X>2,當且僅當加=1時取等號，

mm

由[x]2++1可得田2+國v2n([x]+2乂國一1)V0,

m

所以-2＜國＜1,故一2〈無＜2,

故選：C

7.己知函數(shù)"%)滿足/(x+y+l)=/(x)+/(y),則下列結論一定正確的是()

A./(力+1是奇函數(shù)B.7'(x—i)是奇函數(shù)

C./(x)—1是奇函數(shù)D./(X+1)是奇函數(shù)

【答案】B

【解析】因為〃x+y+i)=/(x)+/(y)，

令x=y=—i,可得/(_1)=/(-1)+/(_1)，則/(-1)=0；

令y=-2—X,貝1/(—1)=/(%)+/(—2—x)=0,

故了⑴的圖象關于點(-1,0)對稱，

則/(X—1)的圖象關于點(0,0)對稱，即fa—1)是奇函數(shù)，故B正確；

對于C,令尤=y=0,可得y(l)=/(o)+/(o),則=

當了⑴。2時，/(0)-1^0,此時/(%)—1不可能是奇函數(shù)，

由于無法確定了。)的值，故/(￡)-1不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于AD,取/(X)=X+1,滿足題意，但易知D錯誤；故選：B.

8.已知圓錐的底面半徑為6,高為1，其中。為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，

若點P在圓錐MO的側面上運動，則73A.p8的最小值為()

93

A.--B.---C.—2D.—1

42

【答案】A

【解析】圓錐MO的底面半徑為豆，高為1,其中。為底面圓心，AB是底面圓的一條直

徑,

M

則有。4=-05，|。4|=|。4=有，

點尸在圓錐MO的側面上運動，

則PA-PB=(OA-OP^(OB-<9P)=OAOB-(OA+OByOP+OP*2=OP2-(^)2,

"P|最小時，PA.PB有最小值，|。尸|的最小值為O點到圓錐母線的距離，

RtAJWOA中，OA=5OM=1,貝|」40=2,。點到的距離絲”=土

AM2

則|OP|的最小值為乎，pA.pB的最小值為

故選：A.

二、選擇題

9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在/S時相對于平衡位置的高度人(單位：cm)由

關系式久=Asin(就+0,fe[0,+8)確定，其中A>0,a)>0,0e(O,兀].小球從最

高點出發(fā)，經(jīng)過2s后，第一次回到最高點，則()

Ah>0

-h=0

Jh<0

B.0)=71

t=3.75s與方=10s時的相對于平衡位置的高度丸之比為巫

2

D.t=3.75s與f=10s時的相對于平衡位置的高度〃之比為g

【答案】BC

【解析】對于AB,由題可知小球運動的周期T=2s,又(y〉0,所以?=2,解得。=兀，

CO

當，=0s時，Asin(p=A,又0e(O,兀所以0=3，故A錯誤，B正確;

對于CD,則h=Asin=Acosnt

所以f=3.75s與/=10s時的相對于平衡位置的高度之比為

157rcos(-工)

ACOS(TIX3.75)_「°,丁=故C正確D錯誤.

ACOS(KXIO)cos1OncosO2

故選：BC.

10.已知WGR,集合A={(x,y)|mx+y—l=0},3={(x,y)12mx+2y—9=。},

C={(x,y)|x24-y2+2x-4y+l=o},D={(%,y)|x2+y2-2x=o},則下列結論一定成

立的是()

A.Ar\B-0B.AcCw0C.BC=0D.CoD=0

【答案】AB

【解析】A={(x,y)\nix+y-l=0}表示過定點(0,1)，且斜率為一加的直線的點構成的集合,

3={(x,y)|2/nx+2y—9=0}表示過定點(0，a且斜率為一根的直線的點構成的集合，

C={(x,刈/+/+2x-4y+l=0}表示圓心為(-1,2),半徑為r=2的圓上的點構成

的集合，

D={(%?),+丁—2x=o}表示圓心為(1,0),半徑為4=1的圓上的點構成的集合，

對于A,集合A5中的直線平行，故Ac6=0,故A正確,

對于B,由于。2+1+?！?+1<。，故(0,1)在圓一+丁+2X—4y+l=0內，

故經(jīng)過點(0,1)的直線與圓相交，AcCw0,故B正確，

對于C,由于+0-4x1+l>0,故［o，T］在圓V+>2+2x—4y+l=0外,

故當經(jīng)過點[o,。）的直線與圓相離時，此時AcC=0,故C錯誤,

對于D,由于J（_]_l『+22=206（1_小廠+%）,故兩圓相交，CcDwO,D錯

誤，

故選：AB

22

11.如圖，已知雙曲線C：二—二=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為￡（—3,0）,

ab

笈（3,0）,點A在C上，點8在y軸上，A,F1,B三點共線，若直線8耳的斜率為6,

A.C的漸近線方程為）=±且％

B.|Afi|=16

-2

C.一A3片的面積為166D.△△與工內接圓的半徑為公

【答案】ABD

【解析】對于A,依題意，直線圻;的斜率為白，所以Nm月=],又怛耳卜忸7訃

所以片乙為等邊三角形，故忸周=忸閭=|片用=2c=6,NB且片=j,

在4A與工中，tan/月4A=王〉0,/巴耳A為銳角，

sin/工耳A=辿,cos/F,4A=—

21142114

6nl5G3A/3

所以sinA=sin__x____x___—___

214214-14

陽閭回

根據(jù)正弦定理可得

sinAsmZF{F2AsmZF2F}A

6|AF,|\AF2\

即3A/3-G-573,解得|明|=14,|你|=10,

ITE~\A

所以2a=4，即a=2,b=\lc2—a2=6，

22

所以雙曲線C的方程為土-乙=1,

45

對于AB,C的漸近線方程為y=土^^尤,|AB|=6+10=16，故AB正確;

對于C,ABE的面積為:|BF|-|AB|sin-=-x6xl6xsin-=24V3,故C錯誤;

11111323

對于D,片瑪?shù)拿娣e為Lx6xl4xd叵=156，

214

15下_a

所以△”內接圓的半徑”(6+10+14)'故口正確.

故選：ABD,

三、填空題

12.已知一平面截球O所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的距離為1,則

該球的體積為.

［答案］"叵

3

【解析】由球的截面圓性質可知球的半徑R=正淳=6，

則該球的體積為把x(逐)3=型叵

33

故答案為：牛

［8

13.若一組數(shù)據(jù)為,a2,a3,%，%的平均數(shù)為3,方差為不，則%,%，的，%，%，

9這6個數(shù)的平均數(shù)為,方差為

【答案】48

5x3+9

【解析】依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為一廣=4,

6

1/5A1O5

又2X^2-5X32,得=63,

53=i)5i=i

1A5、］

所以這6個數(shù)的方差為一^?,2+92-6X42=-(63+92-6X42)=8.

63=i76

故答案為：4；8.

2x,%<0,

14.已知函數(shù)八元)=，21n%g(x)=d+2x—42,2eR,若關于1的方程

----,x>0,

y(g(%))=；1有6個解，則之的取值范圍為

【解析】令g(x)=￡,由函數(shù)〃力的圖象可知，方程4(2為常數(shù))最多有3個解,

/1)在(TAO］上單調遞增，

當00時，/⑺=2(1”),則/⑺在(o,e)上單調遞增，在(e,+“)上單調遞減,

2

故結合圖象可得0<2<一,且方程/?)=2的三個解中最小的解為t=log,2.

e

又g(x)=/+2x—4/l=(x+l)2—42—1,在1)上單調遞減，在(—1,+")上單調

遞增，

所以g(x)最小值為g(T)=T4T，即當d-44-1時，g(x)=/有2個零點,

log22>-42-1

所以使關于X的方程/(g(x))=2有6個解，貝卜0<2<2，

、e

log2■>—44—1,即42+log2A+1>0,令/i(4)=44+log24+1,

易知〃(/I)在(0,+“)上單調遞增，又=所以44+log22+l>0的解集為

綜上所述，2的取值范圍為弓

四、解答題

15.如圖，在三棱錐P—A3C中，平面平面ABC,且B4=PC,PA±AB.

(1)證明：AB_L平面PAC；

(2)若K4=A5=AC=2,點M滿足=，求二面角P—AC—M的大小.

(1)證明：過尸作P￡)J_AC于點。，平面平面ABC,且平面PAC平面

ABC=AC,PDu平面APC,

故QD,平面ABC.又ABu平面PAC,.?.FDLAB.

又R4LAB，PAiPD=P,?Du平面PAC,ABu平面PAC,

所以AB/平面？AC,

(2)解：由(1)AB,平面PAC，ACu平面PAC,故ABSAC,

以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z,

則A(0,0,0),8(2,0,0),P(0,l,aC(0,2,0),

依=(：,一:一/),所以“彳,：,芋),

故麗=(2,-1,一百),

AC=（0,2,0）,AM=

設平面ACM的法向量m=(x,y,z),

m-AC=2y=0

222令z=l有，故m=(一百,0,1),

m-AM=—x+—y+—vr3z=0

333

平面B4c的法向量AB=(2,0,0),

273_A/3

則|cos〈m,A3〉|=—|~,

11\m\\AB\2^2

又二面角P—AC—M所成角為銳角,

二面角P-AC-M所成角的余弦值為角的大小為四.

26

2%-l,“為奇數(shù)，

16.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,a

n+l<3a.+3,九為偶數(shù)一

⑴記勾=%-，證明數(shù)列出｝是等比數(shù)列，并求低｝的通項公式；

(2)求｛%｝的前2九項和S2“，并證明2S2“Ng“M—2.

(1)證明：由題意可知，垣=3=3a2"+3=3a(2“T)+I+3=3(2--1)+3=$,

2。2〃-1%〃—1。2〃—1。2〃—1

所以數(shù)列出｝是首項4=6=1,公比為6等比數(shù)列.于是〃=6〃)

(2)解：由題意可知，%”=2%〃_]—1,

所以S2"=%+4+%++02,

=(q+。3++%++a

—(q+4+)+(2q-i+2?3-i++-1)

=3(q+/+一"=3(々+&+4++&)-

1,4I141

c,-c=—X6n+1-2n+xl)+~--x6n-2n+-=6"—2>0,

n+l"5[J5[55)

所以數(shù)列｛cj單調遞增，故%>q=0,即2s2“2為用一2.

17.根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期(2月10日至2月17日)全國電影票房為80.16

億元,觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%,

均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄.2024年2月10日某電影院調查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名

觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分(滿分100分)，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的

頻率分布直方圖(分組區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).

頻率

[藕

0.030..............?—I

0.020........1—]

0.015……——-------

0.010…L

0.005

。六K)5060708090%滿熹度評分

(1)求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；

(2)估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)(結果精確到0.1)；

(3)設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為A，小于80分的頻率為。2,若

甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A,8影片的概率分別為

p2,1-必，乙觀看A，B影片的概率分別為Pi，1-A-當天甲、乙觀看哪部電影相互

獨立，記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看A影片的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

解：(1)由圖可知，滿意度評分不低于60分頻率為1—(0.010+0.020)x10=0.7,

所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為0.7x100=70.

(2)因為(0.010+0.020)xl0=0.3<0.4,(0.010+0.020+0.030)x10=0.6>0.4,

所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，

04-03

則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計值為60+工———X10工63.3.

0.030x10

(3)由圖可知，px=1-(0.02+0.015+0.005)x10=0.6,

同理p2=0.8,

而X的可能取值為01,2,

則P(X=0)=(1-/?2)(1-A)=0.2X0.4=0.08,

P(X=1)=P2(1-乩)+Pi(1-0)=0.8x0.4+0.6x0.2=0.44,

p(X=2)=p2Pl=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列為

X012

p0.080440.48

故E(X)=0x0.08+1x0.44+2x0.48=1.4.

xy2

18.已知A,3分別是橢圓—+=1（a>6>0）的左、右頂點,C為的上

a鏟

頂點，尸是"上在第一象限的點，=直線E4,尸3的斜率分別為尤，k2,且

她=一/?

（1）求M的方程；

陷PD\

（2）直線4。與3尸交于點。，CP與x軸交于點E，求??五才的取值范圍.

解：（1）依題意，設尸（天,陽），顯然4-。,0）,5（。,0）,C（0,Z?）,

,又%*即六也2

%%1,a-

則匕左2=22

2

/o+QxQ-ax^-aa

b2

所以左］《二一r即

a2

由|AC|=6,得片+/=5②,

聯(lián)立①②，解得。=21=1,

尤2

所以橢圓M的方程為工+>2=1,

4-

(2)由(1)得A(—2,0),3(2,0),C(0,l),

設直線BP的方程為y=k(x-2),

因為點尸位于第一象限，所以左〈左BC=—；

y=k(x-2)

聯(lián)立《一2，整理得(4左2+1)尤2—1642%+1642—4=0,

彳+y=1

16k28k°—24k

則%+2=，所以Xp=,則yP=左(與一2)=_

442+14k~+14k2+1

"8F-24k、

所以P2-2

^+r4^+l>

y-10-1

又直線AC的方程為2—=—,即y=；jr+l,

x—2

1,

y——x+1_44+24k

所以聯(lián)立《2,解得。

212k—1

y=k(x-2)

\PE\\PD\_\PE\\PD\_ypyD-yp_yD-yp

故

\PB\\PC\\PC\\PB\l-ypyp1—%

4k,4k

=21+442+1=16左2=8

4k__

n8^-24_X

4k2+1e

1,11<4,0<4—j<4,

因為左<---，所以左>—,0<—y

24k2

則。>2

k2

儂?也

\PB\\PC\

19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點尸，。滿足曲線y=在尸和。處

的切線重合，則稱尸，Q為曲線y=/(x)的“雙重切點”，直線尸。為曲線y=/(x)的“雙

重切線”.

(1)直線y=2%是否為曲線/?(；(：)=V+工的“雙重切線”，請說明理由；

ex__<o

(2)已知函數(shù)g(x)=e%'—'求曲線y=g(x)的“雙重切線”的方程；

In%,%>0,

(3)已知函數(shù)〃(尤)=sin尤，直線尸。為曲線y=/?(￡)的“雙重切線”，記直線尸。的斜率

所有可能的取值為左，左2，…，k,t,若《>網(wǎng)>《(，=3,4,5「-,“)，證明：

k.15

--<---

左28,

(1)解：/(%)=/+工的定義域為(-^,0)50,+8),求導得尸(%)=3/—直線

XX

y=2%的斜率為2,

令尸(x)=3x?-』=2,解得.±1,不妨設切點P(—1,—2),Q(1,2),

則點尸處的切線方程為y+2=2(x+l),即y=2x,

點。處的切線方程為y—2=2(x—1),即y=2尤，

所以直線y=2%是曲線/(x)=V+工的“雙重切線”.

X

2ex,%<0

ex--,x<0

(2)解：函數(shù)g(x)=<e,求導得g1X)=1

—，元〉0

Inx,x>0

顯然函數(shù)y=e'在(—8,0)上單調遞增，函數(shù)y=1在(0,+。)上單調遞減,

設切點尸(外,%),。(％，%)，則存在入＜。＜巧，使得/'(石)=/'(%)，

則在點P處的切線方程為y—(e*——)二9(x—再),

e

在點。處的切線方程為y-ln%=^-(x-%2)，

因此＜",消去巧可得e』一工2為+%一2+1=0,

—e司Xy—=In%—1

Ie

2

令人(x)=e"—xe無+九一一+1(%＜0),求導得女'(%)=匕”一(1+尤)匕*+1=—屁］+1〉0,

則函數(shù)左⑴在(—8,0)上單調