安徽省合肥市2024屆高三第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設全集U=R,集合4={小2一%一2>0},3=3底21},貝1]44人8=()

A.{^|1<%<21B.{x|l<%<2}C.{x[%>2}D.1X|1<X<2}

2.己知T=2+i,則忖=()

Z

A.；B.—C.1D.2

22

3.設d〃是兩個平面，匕是兩條直線,則a〃/7的一個充分條件是()

A.a//a,b///3,a//bB.a-La,b-L/3,a-Lb

C.aIa,b10,a〃bD.a〃。/〃/?，。與b相交

4.甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）.已

知每局比賽甲獲勝的概率均為則甲以4比2獲勝的概率為（）

15

A-上BcD.——

-i-i64

5.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期,

記為T（單位：天）.鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為，心.開始記

錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的則5滿足的

關系式為（）

c512512c512512

A--2+T=TB-2+7=可

c.-2+log2^=log2^D.2+log2^p=log2^

X2-lx,X<1/、/、

6.已知函數(shù)"》）=<X>],若關于X的方程，（無）-/（1-。）=。至少有兩個不同

1Tx-31,

的實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.(-oo,-4][五,+oo)B.[-1,1]

C.(-4,V2)D.[-4,72]

7.記ABC的內(nèi)角48,C的對邊分別為。也c,已知0=2,」7+'+―—=1.則

tanAtanBtanAtanB

ABC面積的最大值為（）

A.1+V2B.1+73C.2V2D.2百

22

8.已知雙曲線C：/-方=1（“>0,6>0）的左、右焦點分別為不且，點P在雙曲線左支上，線

段尸入交y軸于點E,且質(zhì)=3而.設。為坐標原點，點G滿足：PO=3GO,GF?PFi=G,

則雙曲線C的離心率為（）

A.B.1+72C.1+75D.2+72

2

二、多選題

9.已知圓。:=1,圓C:（犬-。）？+（y-l）2=4,。eR,則（）

A.兩圓的圓心距的最小值為1

B.若圓。與圓C相切，則。=±20

C.若圓。與圓C恰有兩條公切線，則-2應<"2?

D.若圓。與圓C相交，則公共弦長的最大值為2

10.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為9,前〃項和為s“，貝ij（）

A.Sn+i=Si+qSn

B.對任意neN*,Sn,S2n-Sn,S3n-S2ll成等比數(shù)列

C.對任意“eN*,都存在4,使得S,,2邑”3邑“成等差數(shù)列

D.若％<0,則數(shù)列應“7｝遞增的充要條件是-1<”。

11.已知函數(shù)〃x）=sin卜:+j-sinx-sin￡,貝1」（）

TT

A.函數(shù)“X）在-,7t上單調(diào)遞減

B.函數(shù)++3為奇函數(shù)

7T71

C.當XC時，函數(shù)y="（x）+l恰有兩個零點

20242027

D.設數(shù)列｛4｝是首項為g公差為5的等差數(shù)列，則￡=〃《）=———

66i=i2

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.在卜-1]的展開式中，V的系數(shù)為.

13.拋物線C：V=4x的焦點為/，準線為/,A為C上一點，以點尸為圓心，以|A尸|為半徑

的圓與/交于點氏。，與x軸交于點〃,N,若A8=FM，則,加卜.

14.已知實數(shù)x，%z,滿足y+z-2=0,貝I]

y]x2+y2+z2+7(^-2)2+y2+z2+yJ(x-V)2+y2+(z-2)2+^(x-1)2+(y-2)2+z2的最小值

為.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是邊長為2的菱形，/BAD=60。,“是側(cè)棱PC

的中點，側(cè)面PAD為正三角形，側(cè)面上M>_L底面A3CD.

(1)求三棱錐ABC的體積；

⑵求AM與平面PBC所成角的正弦值.

22

16.已知橢圓C:=+2=13>6>0)的右焦點為F，左頂點為A,短軸長為2g,且經(jīng)過

ab

點o

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點/的直線/(不與X軸重合)與C交于尸，。兩點，直線ARA。與直線尤=4的交點分

別為",N,記直線MP,NE的斜率分別為《，及，證明：％"?為定值.

17.樹人中學高三(1)班某次數(shù)學質(zhì)量檢測(滿分150分)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

性別參加考試人數(shù)平均成績標準差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為再，々，￡,…,血,其

平均數(shù)記為"方差記為s：;把第二層樣本記為%，%，%，，%,，其平均數(shù)記為亍，方差記

為官；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為白方差記為

⑴證明：/=白卜/+[4)2]+加值+("習』；

(2)求該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差(精確到1)；

(3)假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布N(〃,4),以該班參加考試學生成績的平均數(shù)

和標準差分別作為〃和。的估計值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分

到低分依次劃分為四個等級，試確定各等級的分數(shù)線(精確到1).

附：P(//-cr<X<^+CT)~0.68,V302-17,7322-18,7352-19.

18.已知曲線C:〃x)=eXTe，.在點4(1,/⑴)處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

⑵證明：除點A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設/(Xi)=/(x,)=f,XiWX,,求證：X]+x.

2e

19.在數(shù)學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一.對平面直角坐標系中兩個點

[(%,必)和5(馬,%),記山心max/71一%|稱田凰為點片與點尸2之間

」+總一劃1+|%一%|,

的“，一距離”，其中max{p，9}表示P應中較大者.

(1)計算點尸(1,2)和點。(2,4)之間的“-距離”;

(2)設兄(%,%)是平面中一定點，r>0.我們把平面上到點耳的距離"為『的所有點構成

的集合叫做以點外為圓心，以「為半徑的“-圓”.求以原點。為圓心，以J為半徑的“二-圓”

的面積；

(3)證明:對任意點子(七,％),用(%,期)，6(知灼)，山以4歸泓+|5地.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】解不等式得到A,進而根據(jù)補集和交集求出答案.

【詳解】A={x|%2={小>2或％<—1},

^/A=|x|-l<x<2},故&A)c5={R_1W2}c{'x之1}={中W2}.

故選：A

2.B

【分析】由復數(shù)的運算和模長計算求出即可.

z—ii1i

【詳解】—=l-=2+i=>Z=-^—,

ZZ-1-1

TOT-i-111.

所以Z=------=---------]

222

故選：B.

3.C

【分析】通過舉反例可判定ABD,利用線面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定

C.

【詳解】選項A：當滿足?！╝力〃￡,〃〃人時，?月可能相交，如圖：用四邊形ABCD代表

平面

a,用四邊形皿D代表平面夕，故A錯誤；

選項B：當滿足。_1_。力_1/,。_1/時，a,6可能相交，如圖：用四邊形A3CD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面夕，故B錯誤；

答案第1頁，共17頁

選項C：因為“_L%iz〃b=>6_La,又b工。,所以a〃夕，

故分,a〃，是a〃力的一個充分條件，故C正確；

當滿足。〃a,6〃尸，。與6相交時，a,〃可能相交，如圖：用四邊形A3CD代表平面

a,用四邊形皿D代表平面夕，故D錯誤；

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)題意只需前5場甲贏3場，再利用獨立事件的乘法公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，甲運動員前5場內(nèi)需要贏3場，第6場甲勝，

則甲以4比2獲勝的概率為C-(|)3-(1)2x；=:.

故選：C.

5.B

【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題

意列出等式即可得答案.

【詳解】設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,

512512

則512天后，甲的質(zhì)量為：($了，乙的質(zhì)量為：§)至，

512512512

由題意可得(夢=:?(夢=(l)+v，

c512512

所以2+工-=亍.

故選：B.

6.D

答案第2頁，共17頁

【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得y=/(x)的圖象與，至少有兩個不同的交點,

從而得a)4l,結合圖象可得1—0W1—a<5,求解即可.

x2-2x,x<l

x2-2x,x<l

【詳解】因為，(x)=x-2,l<x<3,

1-|x-3|,x^l

-x+4,x>3

作出函數(shù)的圖象，如圖所示:

由此可知函數(shù)>=于(X)在(-8,1)和(3,+8)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

且/'(1)=一1,/(3)=1,

又因為關于x的方程/(x)-/(l-a)=O至少有兩個不同的實數(shù)根，

所以/?=/d-?)至少有兩個不同的實數(shù)根，

即y=f。)的圖象與>=/(l-a)至少有兩個不同的交點，所以

又因為當XVI時，f{x}=x1-2x,令X2-2X=1,可得x=l-

當x23時，f(x)=4-x,令4r=-1,解得x=5,

又因為一1</(1一。)<1,所以1一0vi-a45,解得-4VaV0.

故選:D.

7.A

【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小,

再由余弦定理及基本不等式可得必的最大值，進而求出該三角形的面積的最大值.

【詳解】因為高+烹+a1tanB

1ali=1可得tanA+tan5+l=tanAtanB,

sinAsin3,sinAsinB

Q即rl----+----+1=

cosAcosBcosAcosB

整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(A+B)=-cos(A+B),

在三角形中sin(A+5)=sin。，cos(A+B)=-cosC,

答案第3頁，共17頁

即sinC=cosC,。￡（0,兀）,可得。二:;

由余弦定理可得嶗2。-缶。，當且僅當一時取等號,

而。=2,

所以他—五=2（2+&），

所以SABC=gobsinCwgx2（2+逝）x1=1+應.

即該三角形的面積的最大值為1+忘.

故選：A.

8.D

7r2

【分析】設尸（/，%）1<0），根據(jù)題設條件得到無。=-；c，yl=—，再利用尸?，%）在橢

圓上，得到,4一12“2c2+4/=。，即可求出結果.

【詳解】如圖，設尸（%,%）（%<0）,片（一。,0）,月（GO）,則直線PF,的方程為y=』一（x-c）,

—一x0-c

令x=0,得至1」>=二^,所以E（0,二^）,

Xc

xQ-c0~

PF2=（c-x0,-y0）,PE=（-x0,-^--y0）,因為尸發(fā)=3尸E,

一x0-c

所以c-x0=-3%,得到故尸

又尸O=3GO,所以G（—f,萼）,得到南=（與,-陰兩=（-：,-%）,

63632

又GF?PF\=0,所以一卷+曰=0,得到*=2/①，

c）

又因為R-不為）在雙曲線上，所以W_lLi②，又。2=02—片③，

202bL

由①②③得到c4-12a2c2+4/=0,所以e4-126?+4=0,

解得/=6+40或/=6-4>/2，又e〉l,所以/=6+4拒=(2+^2)2,得到e=2+逝，

答案第4頁，共17頁

故選：D.

9.AD

【分析】根據(jù)兩點的距離公式，算出兩圓的圓心距421,從而判斷出A項的正誤；根據(jù)兩

圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出”的取值范圍，判斷出BC兩項的正誤；當圓。的圓心在兩

圓的公共弦上時，公共弦長有最大值，從而判斷出D項的正誤.

【詳解】根據(jù)題意，可得圓。：/+丁=1的圓心為o(o,o),半徑廠=1,

圓C:(x—a)~+(y—1)~=4的圓心為C(a,1),半徑R=2.

對于A,因為兩圓的圓心距d=所以A項正確；

對于B,兩圓內(nèi)切時，圓心距d=1。。=尺-廠=1,即J)+1=1,解得。=0.

兩圓外切時，圓心距4=1。。=尺+廠=3,即J/+l=3,解得a=±2近.

綜上所述，若兩圓相切，則。=0或°=±2近，故B項不正確；

對于C,若圓。與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d=\OC\e(R-r,R+r),

即，?2+le(l,3),可得1＜解得-2后＜。＜2立且0，故C項不正確；

對于D,若圓。與圓C相交，則當圓。：/+丁=1的圓心。在公共弦上時，公共弦長等于

2r=2,達到最大值，

因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2,故D項正確.

故選：AD.

10.ACD

【分析】對于A：分4=1,4—兩種情況計算可判斷A；對于B：4=-1可說明不成立判

斷B；,分4=1,4片1兩種情況計算可判斷C；根據(jù)邑用-S21=卬1+4)/7,若｛邑,1｝是

答案第5頁，共17頁

遞增數(shù)列，可求9判斷D.

【詳解】對于A：當4=1時，U=("+Dq,S]+贅“=%+=(”+1)%,故成立,

史戶，24(1人)

當4x1時，5,+1=al+qx，所以S“+i=4+qS,成

i-ql-q

立，故A正確;

對于B：當4=-1時，$2=0,所以S,,$2“-S”,$3“-色，不成等比數(shù)列，故B錯誤;

對于C：當4=1時，5“=叫,2s2“=4nat,3S3?=9nat,故S”,2S2?,3S3?不成等差數(shù)列,

當"1時,若存在q,使S”2s2”,3s3"成等差數(shù)列,

貝lj2x2邑，=S“+3s3”，貝lj4x叫-小)=+3x,

整理得4(1+/)=1+3(1+/"+/),所以％"-q"=0,所以g"=g,

所以對任意〃eN*,都存在4,使得S,,2s2”,3s3”成等差數(shù)列，故C正確；

對于D：邑“廣邑1=的“+%+1=6(1+加2"7,若于2-｝是遞增數(shù)列,

則可得％(l+q)/7>0,因為％<0,所以(l+q)q2H<0,可解得-l<q<0,

所以若4<0,則數(shù)列｛8,7｝遞增的充要條件是-1<4<。，故D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】利用三角恒等變換化簡/(x),再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC,利用裂項

相消及累加求和判斷D.

【詳解】易知sin2E=sin［二+二］=立?"+'?也="逑,

12(34122224

pzq-rm.7L77r—

I可埋sin—=cos—=-----------

12124

..71

/("=—sinx-sin——

6

V3-2.11此詆sin|x+—7冗1

sinx—cosx—

2222122

717兀137r197r

對A,xe一,71,XH-----G—，/(x)先減后增，故A錯誤;

2212

答案第6頁，共17頁

對B,y=x++=-——①sinx為奇函數(shù)，故B正確；

I12）22

.兀兀7兀7L13TT.（兀7L?、,、e、乂?az.

對C,,t=X+~nEvi9~n~，則sin,在島，不單倜遞增，

乙乙JL4X乙A4\X乙乙J

在［于"Tri單調(diào)遞減，即于（%）在（一孑―不］單調(diào)遞增，在1―77，不］單調(diào)遞減,

\\乙）乙\乙j\乙乙j

^-A/2V6-V21V3_2

42--V-4

故函數(shù)y=4,（尤）+1恰有兩個零點，故C正確;

貝1■（無）（）；，

對D,易知》兀令g（%）=sin[x+g）—sinxJ/=gx-

o

.71

g（4）=sin]-sm—,

6

、.（2024兀兀）.（2023兀兀）

喂4）=sm［,+旬-sq.+w}

2024

（202471兀）.兀,Io0^7兀3

則￡?（《）=sin+--sin—=sm337兀+一

[~6~6）6

1=1I222

20242024i2C7

故￡=〃4）=?＞（4）-2024'5=--，故D正確.

i=li=l',

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應用，關鍵是利用利用裂項相消

及累加求和判斷D.

12.15

6"（0<r<6,reN）>即可求出結果.

=15,

故答案為：15.

答案第7頁，共17頁

13.4A/3

【分析】首先得到拋物線的焦點坐標與準線方程，設準線與x軸交于點E,根據(jù)圓的性質(zhì)及

拋物線的定義可得△,為等邊三角形，即可求出忸耳，再在△曲中利用余弦定理計算

可得.

【詳解】拋物線C：V=4x的焦點為尸(1,0),準線/：x=-l,設準線與x軸交于點E,貝I

￡(-1,0),

依題意8、。均在>軸的左側(cè)，又AB=FM，所以M也在>軸的左側(cè)且B點在龍軸上方，

7T

又AD為圓尸的直徑，所以48。=—,即

2

由拋物線的定義可知|AS|=|/S|,又怛典=|/田，

ITJT

所以△人￡尸為等邊三角形，所以NA4b=NAEB=—,則N3式M=NAFN=—,

33

所以忸司=但用=4,

11cosZBFM

所以I明=胸=胸=4,ZAFM=~-,

在AAFM中|AM|=+\MF\"-2\AF\\MF\cosZAFM

22

=I4+4-2X4X4X^-1^|=4^.

故答案為：4A/3.

14.2A/3+2A/2

【分析】建立空間直角坐標系，將所求轉(zhuǎn)化為距離和的最小值，利用幾何關系求得最值.

【詳解】如圖，設正方體的邊長為2,建立如圖所示的空間直角坐標系，

答案第8頁，共17頁

設P(x,y,z)為空間任意一點，因為y+z-2=0,則尸在平面ABCQ所在的平面內(nèi)運動，

7%2+y2+z2+yl(x-2)2+y2+z2表示P與點4(0,0,0)和點4(2,0,0)的距離之和，

因為4關于平面ABCQ的對稱點為。，故PA+PBRDBI=26

當且僅當尸為。耳中點即尸為正方體中心時等號成立；

222

J(x-1)2+/+(Z―2)2+^(x—I)+(y—2)+z

表示P與點M(1,0,2)和點N(l,2,0)的距離之和，則PM+PNNMN=2也,

當且僅當P在MN所在直線上時等號成立，

222222

故次+y2+z2+^(%-2)+j+z+J(x-])2+y2+(Z-2)2+^/(x-1)+(y-2)+z

的最小值為2萬+2應，當且僅當P為正方體中心時等號成立

故答案為：2國2母

【點睛】關鍵點點睛：本題考查空間中距離最值問題，關鍵是利用空間坐標系將所求轉(zhuǎn)化為

距離和，并注意等號成立條件.

15.⑴g

⑵返.

11

【分析】(1)作出輔助線，得到線線垂直，進而得到線面垂直，由中位線得到/到平面ABCD

的距離為進而由錐體體積公式求出答案；

2

(2)證明出建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進而由法向量的夾角余

弦值的絕對值求出線面角的正弦值.

答案第9頁，共17頁

【詳解】(1)如圖所示，取AD的中點0,連接尸O.

因為皿)是正三角形，所以尸0J_AD.

又因為平面上4￡>_L底面A3cZ),尸Ou平面PAD,平面PADc平面ABCD=AD,

所以平面ABC。，且=

又因為M是PC的中點，M到平面ABCD的距離為也，

2

5AABc=1x2x2xsiny=^3，

所以三棱錐ABC的體積為=L

322

JT

(2)連接80,BO,因為/區(qū)4。=§,

所以△ABD為等邊三角形，所以

以。為原點，。4,。民OP所在直線分別為x軸，了軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則尸(0,0,⑹,A(i,o,o),B(o,￡o),c(-2,￡o),

所以M一1,與W，AM=一2,#,乎,PB=(0,73,-A/3),BC=(-2,0,0).

\7\7

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

PBn=O島-島=0

,即＜解得x=0,取z=l,則y=i,

BCn=O[-2x=0

所以“=(0,1,1).

答案第10頁，共17頁

設AM與平面PBC所成角為。,

|AM.川

則sin。=|cosAM,?|=A/33

\AM\-\n\

即期與平面PBC所成角的正弦值為叵.

11

22

16.⑴L+匕=1；

43

（2）證明見解析.

【分析】（1）由題意得6=如，將點（1,/代入橢圓的方程可求得/的值，進而可得橢圓的

方程；

（2）設/：x="+l,P&,%）,Q（X2,%），聯(lián)立直線/和橢圓的方程，可得X+%，

%%=-粵二，直線承的方程為y=一45+2），令x=4,得M（4,=1）,同理

3t+4X]+N玉十，

N（4,一吟），由斜率公式計算即可.

【詳解】⑴因為2b=2。所以6=5再將點]臼代入，■+:=1得，：=1,

22

解得〃=4,故橢圓C的方程為土+乙=1；

43

⑵由題意可設/：%=）+1,。（石,乂）,。（%2，%），

x=ty+l

由爐＞2可得（3產(chǎn)+4*+69-9=0,

--------1--------=1

143

6tQ

易知A＞。恒成立，所以必+%=飛2+“必％=一3r+4，

又因為4（一2,0）,

所以直線以的方程為y=』7（x+2）,令＞4,則＞=?，故回以，

同理N〔4,且

1X2+2J

答案第11頁，共17頁

6yl

從而k=_+26M______k__=_6%

14-13（鳥+3）'23（仇+3）

36

36%當4yly23r+4

故Kk2==T為定值.

9（01+3）（佻+3）t2yy+3t（y+y）+918產(chǎn)

1212+9

3?+43產(chǎn)+4

17.(1)證明見解析;

⑵平均數(shù)為96分，標準差為18分;

(3)將X上114定為A等級，96Vx<114定為B等級，78<X<96定為C等級，X<78定為

D等級.

【分析】(1)利用平均數(shù)及方差公式即可求解；

(2)利用平均數(shù)及方差公式，結合標準差公式即可求解;

(3)根據(jù)(2)的結論及正態(tài)分布的特點即可求解.

【詳解】⑴『

nm

12

Z（%一萬+元y+y-z）

m+n,i=li=l

xi~

Z[2（M—可（無一為]=2（元一彳）^（為一可二2（元一彳）（/+x2+x3++xn-nx）=O,

Z=1Z=1

同理￡[2（?-y）（y-7）]=o.

Z=1

答案第12頁，共17頁

(2)將該班參加考試學生成績的平均數(shù)記為I，方差記為

-1

則z=.(30x100+20x90)=96,

所以s?=*{30[256+(100-96)2]+20[361+(90-96)2])=322

又底屋18,所以「18.

即該班參加考試學生成績的平均數(shù)為96分，標準差約為18分.

(3)由(2)知〃=96,b=18,所以全年級學生的考試成績X服從正態(tài)分布N(96,18?),

所以尸(96—184XV96+18)q0.68,尸(X296)=0.5.

P(78<X<96)=P(96<X<114)?0.34,P(X>114)=P(X<78)?0.16.

故可將X上114定為A等級，96WX<114定為B等級，78Vx<96定為C等級，X<78定

為D等級.

18.(l)y=-ex+e.

⑵證明見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)求導，得到/⑴=0,/'(l)=-e,利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程；

(2)令g(x)=-ex+e-e￡+xe)二次求導得到函數(shù)單調(diào)性，結合特殊點函數(shù)值，得到所以

g(x)>g(l)=0,當且僅當x=l等號成立，得到證明；

(3)求導得到了("的單調(diào)性，結合函數(shù)圖象得到不妨令王，結合曲

線C在。,0)點的切線方程為e(x)=-ex+e,得到%<W=-：+1，轉(zhuǎn)化為證明花<252,

又r=e*1-XR*1,只要證無]<2e*'-2尤戶*-2,F(x)=2e'-2xev-x-2,x<0,求導得到函

數(shù)單調(diào)性，結合特殊點函數(shù)值得到答案.

【詳解】(1)因為/(x)=e'-xe)

所以/⑴=0(x)=-xe'J'⑴=-e,

答案第13頁，共17頁

所以直線/的方程為：y=Y(x-l),即了=一9+6

(2)g(x)=-ex+e-eA+xex,貝!]8(力二力—3+^+祝工=_e+xe*,

令秋尤)=g<x),則〃(x)=(x+l)e",

由〃(x)>0,解得尤>—1,由/?x)<0,解得x<—l,

所以/l(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

當x--8時，〃(x)—>-e,/?(l)=O,

所以g(x)在(-叫1)上單調(diào)遞減，在(1,+力)上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g⑴=0,當且僅當x=l等號成立，

所以除切點(1,。)之外，曲線C在直線/的下方.

(3)由尸("=-配￡>0,解得x<0"'(x)=-xe、<0,解得尤>0,

所以〃x)在(-雙0)上單調(diào)遞增,在(0,+功上單調(diào)遞減，

/?_=/(0)=1,/(1)=0,

當X--8時，

因為/(%)=/(/)=1,%,則不妨令X]<0,。<9<1.

因為曲線C在(1,0)點的切線方程為姒x)=-er+e,

設點1J)在切線上，有/=-e(七-1),故無3=-；+1，

由⑴知xe(O,l)時，(p(x)>f(x),

則9(工2)>"/)=/=0(￡)，即々<電=一一+1，

答案第14頁，共17頁

要證：X]+%2<21------1f

e

只要證：石+兀2<玉+1<21------1,