2025屆江蘇省常州市田家炳高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．三角形的一個角為60°，夾這個角的兩邊之比為，則這個三角形的最大角的正弦值為（）A． B． C． D．2．已知、都是公差不為0的等差數(shù)列，且，，則的值為（）A．2 B．-1 C．1 D．不存在3．供電部門對某社區(qū)1000位居民2019年4月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計后，按人均用電量分為[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（）A．4月份人均用電量人數(shù)最多的一組有400人B．4月份人均用電量不低于20度的有500人C．4月份人均用電量為25度D．在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費，選到的居民用電量在[30,40)一組的概率為14．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．325．某數(shù)學(xué)競賽小組有3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，現(xiàn)從這5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．7．一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是（）A．8π B．6π C．4π D．π8．直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當(dāng)弦AB最短時直線l的方程為A． B．C． D．9．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg10．已知在中，兩直角邊，，是內(nèi)一點，且，設(shè)，則（）A． B． C．3 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．己知函數(shù)，有以下結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線軸對稱②在區(qū)間上單調(diào)遞減③的一個對稱中心是④的最大值為則上述說法正確的序號為__________（請?zhí)钌纤姓_序號）.12．設(shè)y＝f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且它的圖象關(guān)于點（2，0）對稱，若當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）＝x2，則f（19）＝_____13．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．14．函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．15．已知函數(shù)，若，則的取值圍為_________.16．67是等差數(shù)列-5，1，7，13，……中第項，則___________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，經(jīng)過村莊有兩條夾角為的公路，根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關(guān)系式表示出來；（2）如何設(shè)計（即為多長時），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小（即工廠與村莊的距離最大）？18．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設(shè).(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小.19．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和對稱軸；（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性．20．為了了解四川省各景點在大眾中的熟知度，隨機(jī)對歲的人群抽樣了人，回答問題“四川省有哪幾個著名的旅游景點？”統(tǒng)計結(jié)果如表．組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第，，組每組各抽取多少人？（3）通過直方圖求出年齡的眾數(shù)，平均數(shù)．21．已知等比數(shù)列的公比，前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由余弦定理，可得第三邊的長度，再由大角對大邊可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【詳解】解：三角形的一個角為，夾這個角的兩邊之比為，設(shè)夾這個角的兩邊分別為和，則由余弦定理，可得第三邊的長度為，三角形的最大邊為，對應(yīng)的角最大，記為，則由正弦定理可得，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

首先根據(jù)求出數(shù)列、公差之間的關(guān)系，再代入即可?！驹斀狻恳驗楹投际枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，所以設(shè)故，可得又因為和代入則．故選：C．【點睛】本題主要考查了極限的問題以及等差數(shù)列的通項屬于基礎(chǔ)題。3、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖逐一計算分析.【詳解】A：用電量最多的一組有：0.04×10×1000=400人，故正確；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正確；C：人均用電量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故錯誤；D：用電量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故選C.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求解相關(guān)量，難度較易.頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法：每一段的組中值×頻率4、A【解析】

由題意：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數(shù).【詳解】解：由題意：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.5、A【解析】

把5名學(xué)生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計數(shù)后可得概率．【詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【點睛】本題考查古典概型，方法是列舉法．6、D【解析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.7、C【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則＝8，∴a＝2.而此正方體的內(nèi)切球直徑為2，∴S表＝4π＝4π.選C.8、A【解析】

先求出直線經(jīng)過的定點，再求出弦AB最短時直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點P.當(dāng)CP⊥l時，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A【點睛】本題主要考查直線過定點問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．10、A【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點坐標(biāo)為（1，0），C點坐標(biāo)為（0，2），因為∠DAB=60°，設(shè)D點坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出各點坐標(biāo)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解析】

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項得到答案.【詳解】，根據(jù)圖像知：①的圖象關(guān)于直線軸對稱，錯誤②在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確③的一個對稱中心是，錯誤④的最大值為，正確故答案為②④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)的綜合理解和應(yīng)用.12、﹣1.【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與對稱性分析可得，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，據(jù)此可得，再由函數(shù)的解析式計算即可.【詳解】根據(jù)題意，是定義域為的偶函數(shù)，則，又由得圖象關(guān)于點對稱，則，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，又當(dāng)時，，則，所以.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.13、2【解析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡單題.14、.【解析】

將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由函數(shù)，根據(jù)，得到，再由，得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，又由，即，即，因為，則，所以或，即或，所以實數(shù)的取值圍為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、13【解析】

根據(jù)數(shù)列寫出等差數(shù)列通項公式,再令算出即可.【詳解】由題意,首項為-5,公差為,則等差數(shù)列通項公式,令,則故答案為：13.【點睛】等差數(shù)列首項為公差為,則通項公式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）由余弦定理，得到，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，得到，取最大值時，噪聲對居民影響最小，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由題意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小，此時.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.18、(1)，.(2)時,達(dá)到最大此時八角形所覆蓋面積前最大值為.【解析】

（1）注意到，從而的周長為，故，所以，注意.（2）令，則，根據(jù)可求最大值.【詳解】(1)設(shè)為,，，，，(2)令,只需考慮取到最大值的情況,即為，當(dāng),即時,達(dá)到最大，此時八角形所覆蓋面積為16+4最大值為.【點睛】如果三角函數(shù)式中僅含有和，則可令后利用把三角函數(shù)式變成關(guān)于的函數(shù)，注意換元后的范圍.19、(1);，(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【解析】

(1)先由題意得到，再化簡整理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）所以最大值為，由，，所以對稱軸，（2）當(dāng)時，，從而當(dāng)，即時，單調(diào)遞增當(dāng)，即時，單調(diào)遞減綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.20、（1）;（2）第組抽取人，第組抽取人，第組抽取人;（3）40,．【解析】

（1）由頻率分布表得第四組人數(shù)為25人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為0.25，從而求出．由此求出各組人數(shù)，進(jìn)而能求出，，，的值．（2）由第2，3，4組回答正確的人分別有18、27、9人，從中用分層抽樣的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4組每組各抽取多少人．（3）由頻率分布直方圖能求出年齡的眾數(shù)，平均數(shù)．【詳解】（1）由頻率分布表得第四組人數(shù)為：人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為，．第一組抽取的人數(shù)為：人，第二組抽取的人數(shù)為：人，第三組抽取的人數(shù)為：人，第五組抽取的人數(shù)為：人，．（2）第，，組回答正確的人分別有、、