銅川市2024年高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）試題

注意事項：

1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時間120分鐘

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4={1,2,%},5={削f―2%—3<。},若=則實數(shù)加的值可能是（）

A.OB.lC.2D.3

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（i—l）=4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

3.已知雙曲線。：/+匕=1（加工0）的一條漸近線方程為〉=岳，則C的焦點坐標(biāo)為（）

A.（±A/3,0）B.（0,±A/3）C.（±l,0）D.（O,±l）

4.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為

9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則下列說法錯誤的是（）

A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差

B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)

C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)

D.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差

（3a-1）x+2a,x<1,

5.若函數(shù)y）在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是（）

log^x.l

B.D.r1

6.已知cos[o—g)—cosa=萬，則sin[2a+《J=(

)

113

A.一一B.-

2244

7.已知a,。為正實數(shù),則“@<1”是〈但”的()

bbZ?+l

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x—cos2x,則下列說法中不正確的是()

A./(x)的最小正周期為兀

BJ(尤)的最大值為夜

C"(九)在區(qū)間-上單調(diào)遞增

9.已知函數(shù)/(九)是定義域為R的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，若/⑼+〃3)=3,貝|()

A./(^-l)=/(x+l)B./(2025)=3

C.函數(shù)/(x)的周期為2D./(2024)=3

10.在正方體ABC。—A4G。中，2￡6分別為8。,。。,。2的中點，若A3=4,則平面ERG截正

方體所得截面的面積為()

A.672B，6A/3C.12V2D.12V3

11.梯卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運用，使得柳卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種

簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木搬、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊

形A3CD是邊長為2的正方形，且-ADE,8CT均為正三角形，EF//CD,EF=4,則該木楔子的外

接球的體積為()

12.已知片、鳥為橢圓。：0+當(dāng)=1伽〉6〉0）的左、右焦點，點P在C上且位于第一象限，圓。1與線段

￡尸的延長線、線段PK以及X軸均相切，/耳心的內(nèi)切圓的圓心為。2.若圓。1與圓。2外切，且圓。1與

圓。2的面積之比為9,則橢圓。的離心率為（）

A￡BgC也D班

2522

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個景點游玩，每名學(xué)生必須去一個景點，每

個景點至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有種.

14.已知點。為ABC外接圓的圓心，且。4+。8+。0=0，則cos（AC,BC）=.

15.已知dABC的內(nèi)角A,5C所對的邊分別是。,,點。是AB的中點.若2a+Z?=2ccos5,且

AC=1,CD=—,則AB=

2

16.若函數(shù)/'"”加+——有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛4｝滿足：%+4%++4'T%=〃.4",〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

1111

（2）若一+——++------<6，求正整數(shù)機(jī)的最大值.

^^2^3^2^^3,“""+1

18.（本小題滿分12分）

學(xué)校團(tuán)委和工會聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.

決賽共設(shè)三個項目，每個項目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的獲

得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為0.4,0.6,0.6，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.甲、乙獲得冠

軍的概率分別記為

㈤+0,i,則認(rèn)為甲、乙獲得冠軍

（1）判斷甲、乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若E—pJ.

5

的實力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；

（2）用X表示教師甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐尸-A3CD的底面是正方形，平面A5CD,點￡是1%的中點，下是線段上

（包括端點）的動點，PD=AD=2.

（1）求證：PC〃平面E6D；

\PF

（2）若直線所與平面P3C的夾角為60，求阿的值.

20.（本小題滿分12分）

過拋物線C:y2=2px（p>0）焦點下的直線/交C于兩點，若直線/垂直于x軸，則OMN的面積

為2,其中。為原點.

（1）求拋物線。的方程;

（2）拋物線C的準(zhǔn)線上是否存在點P，使得當(dāng)PWLPN時，的面積為2&.若存在，求出點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)=—+—+.

xxe

⑴當(dāng)a=l時，求曲線y=/（x）在點處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（X）存在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計

分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=5cosa+4,

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<u,c（&為參數(shù)），以原點。為極點，X軸

y=5sincr+3

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)是曲線C上的兩點，且O暇，QV,求面積的最大值.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)〃x)=|x—1+2,+斗

（1）求不等式/（尤）,,9的解集;

[23

⑵記函數(shù)〃尤）的最小值為M，若正數(shù)。,瓦。滿足一+：+二=知+5,證明：3a+2b+c..2+y/3.

abc

銅川市2024年高三年級第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.A【解析】依題意8={x|-l<x<3},由=可得meB,當(dāng)根=0時，符合題意，應(yīng)選A

項；當(dāng)〃2=1或2時，不符合集合中元素的互異性，從而排除B,C項；當(dāng)根=3時，m史B,從而排除D

項.

4i4i(-l-i)

2.D【解析】復(fù)數(shù)2=口=2-2i,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選D

(-l+i)(-l-i)

項.

3.A【解析】易知〃z<0,令^+上―=0,解得y=土J—inx，故J—m=，即m=—2,從而

m

c=jm=百，從而C的焦點坐標(biāo)為(±6,0).故選A項.

4.D【解析】10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0,4,故A正確；

=|x(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,&=|x(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=j^,

故8正確；甲種的樣本中位數(shù)為10.0,乙種的樣本中位數(shù)為10.0,故C正確.

2(9.8-10)2+(10.2-10)2

舜=-----------5-----------，

2(9.6-10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

5乙=-----------------------5--------------------------------'

顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故。錯誤.

(3a-1)x+2a,x<1,

5.C【解析】函數(shù)y=[)、在R上單調(diào)遞減，

log^x.l

3cl—1<0,

：.<0<a<l,解得,,，a<1.故選。項.

53

3a-l+2a」og

1

AAr鏟矯、(兀)6?.(兀)小

6.A【角牛析】cosa——-cosiz=——since——coscz=sina——=—

13)2212

7.C【解析】若應(yīng)＜1,根據(jù)糖水不等式可得@＜但，充分性得證；

bbb+1

若巴＜"+1,則即。＜0,故@＜1,必要性得證.

bb+1b

8.C【解析】依題意/(x)=0sin|2x-則函數(shù)/(力的最大值為&,最小值正周期為兀，從而

可排除A,B選項.

一卜段"47十訃一夜,即/-撲/4,故小)在區(qū)間-號上不可能

單調(diào)遞增，應(yīng)選c項.

/卜—5)=夜sin2[x—：=V^sin[2x—])=—夜cos2x為偶函數(shù)，從而

/1―x—W),從而可排除。選項.

9.D【解析】/(x+1)為奇函數(shù)，.?./(—x+l)=—/(x+l),

又為偶函數(shù)，.."(r+l)=/(x—l),.??/(%—l)=—/(x+l)，故A項錯誤.

即/(%)=—/(x+2),；"(x+4)=—〃x+2)=/(x),.?.函數(shù)/(%)的周期為4,即C項錯誤.

由/(一1+1)=—/(%+1),令x=0,得

/(l)=0,/(3)=/(-l)=/(l)=0,.-./(2025)=/(l+506x4)=/(l)=0,即B項錯誤.

又/(。)+/⑶=3,/(0)=3,/(2024)=/(0+506x4)=/(0)=3,故選。項.

10.D【解析】如圖，過點G作所的平行線交8用于點J,過點/作EG的平行線交44于點/,

過點/作所的平行線交42于點”，易知點JJ,"都在截面跳G內(nèi)，且都是其所在棱的中點，從而

所得截面是邊長為2a的正六邊形，所求面積s=6xgx20x2應(yīng)xsin60)=12石.故選D.

ll.c【解析】如圖，分別過點A8作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,C",則

4_2______________

EG=-^-=l,故AG=JAE2_EG2*=5

取AD的中點O',連接GO',

又AG=GO,.?.GO'LAO,則GO'=JAG?-[yj=也.

由對稱性易知，過正方形A3CD的中心。1且垂直于平面A3CD的直線必過線段所的中點。2,且所求

外接球的球心。在這條直線上，如圖.

設(shè)球。的半徑為H，則R2=OO；+AO；,且R?=OO；+E。；,

從而oof=OO[+2,即（oq+0。2）（OQ—。。2）=2，

當(dāng)點。在線段。1Q內(nèi)（包括端點）時，有001+0.=GO'=夜，可得0Q—OQ=J5,

從而oq=J5,即球心。在線段所的中點，其半徑尺=2.

當(dāng)點。在線段。1。2外時，0^=41,（41+00^=001+2,解得。。2=0（舍）.

故所求外接球的體積V=國羽=坦:故選C項.

33

12.A【解析】由已知及平面幾何知識可得圓心。]、。2在二「￡月的角平分線上.

如圖，設(shè)圓。1、。2與X軸的切點分別為AB,由平面幾何知識可得，直線尸名為兩圓的公切線，公切點。

也在NP/花的角平分線上，貝|歸周=閨司=2c,

由橢圓的定義知|尸制+|尸耳|=2a,則愿=2a-2c,

:.\F2D\=^\PF2\=a-c,:.\F2A\=\F2B\=\F2D\=a-c,

.,.閨H=閨月|+|月川=2c+a—c=a+c,

閨目=閨司一優(yōu)同=2c-(?-c)=3c-a.

又圓。1與圓。2的面積之比為9,.?.圓。1與圓。2的半徑之比為3,

F.B\O2B\3c-a11

aA,.?.：—=上訝，即—=-,故橢圓c的離心率6=—.

耳A|QA|a+c32

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.240【解析】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有C；=10種方法，

然后將4組學(xué)生分配到4個景點，有禺=24種方法，

由分步計數(shù)原理知共有10x24=240種不同的游玩方式.

14.—；【解析】由OA+OB+CO=0，得。4+OB=OC，由。為..A5C外接圓的圓心，得

|OA|=|(9B|=|C>C|,如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形CMGB為菱形，且/C4O=60，故

^ACB=120.故cos(AC,5C)=—g.

15.小【解析】2a+b-2ccosB,2sinA+siiiB=2sinCcosB,

又,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2siiiBcosC+siiiB=0,cosC=--.

2

,CD為，ABC的一條中線，CD=g(C4+CB),

_.21/_2.2,*\31?1?

CD=-\CA+CB'+2CACBj,即7=7l+?2+2xlx?xl--I,解得a=2,或a=—l

(舍).

由余弦定理得AB=c=Va2+b2-2abcosC=)22+12-2xlx2x1-1j=77.

【解析】f\x)=2ca+^^,

令/'(x)=0,得a=

2x

人/、lnx-1,./、4-31nx

令g(x)=3T，則rtg(x)=2.?

4

令g'(%o)=O,則31nx0=4,gplnx0=即XQ=e.

當(dāng)0cx</時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x()時，g'(%)<Qg(x)單調(diào)遞減.

4.1

Y(X)mLg(x°)=T=V=!’

又當(dāng)xfc)+時，g(x)——8；當(dāng)時，g(x)-c)+,

???當(dāng)0<a<V時，方程a=莊?有兩個正根，從而函數(shù)/(%)有兩個極值點.

6e2x

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第11~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.解：(1)當(dāng)〃=1時，%=4=4,

當(dāng)九.2時，％+4a,++4"?=〃?4”,

tZj+4a2++4"-a“_]=(九-1)?4^1,

/!n1

兩式相減，得=n.4-(n-l)-4-=40T-(3?+1),

/.an=3〃+l,

顯然。i=4也符合上式，

數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3n+\.

（2）由（1）知------=-------------—=-

q1A+i（3m+1）（3m+4）33m+13m+4

+-----++

ci?a?^^33477103m+13m+4

中-，［J,

3（43m+4j13

解得m<16.

..?正整數(shù)加的最大值為15.

18.解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個項目中獲勝的事件依次為A

則教師甲獲得冠軍的概率Pi=P（ABC）+。（施。）+P（A§C）+P（486

=0.4x0.6x0.6+0.6x0.6x0.6+0.4x0.4x0.6+0.4x0.6x0.4=0.552,

則教師乙獲得冠軍的概率0=1—0=0.448,

.■.\p}-p2\=0.104,J——--^+0.1工0.376，

,?"fl討

?■?|A-P2|<J--—+0」，

二甲、乙獲得冠軍的實力沒有明顯差別.

（2）易知X的所有取值為-15,0,15,30,

.-.P（X=-15）=0.6x0.4x0.4=0.096,

P（X=0）=0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4+0.4x0.4x0.4=0.352,

p（X=15）=0.4x0.6x0.4+0.4x0.4x0.6+0.6x0.6x0.6=0.408,

P（X=30）=0.4x0.6x0.6=0.144,

則X的分布列為：

X-1501530

P0.0960.3520.4080.144

，E（X）=-15x0.096+0x0.352+15x0.408+30x0.144=9.

19.解：（1）證明：如圖，連接AC交于點。，連接E。，

四邊形A3CD是正方形，.為AC的中點，

E是Q4的中點，，石。〃。。，

EOu平面EBD,PC<Z平面EBD,PC//平面EBD.

(2)易知ZM,DC,DP兩兩垂直,

以。為原點，DA,DCDP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則以2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),后(1,0,1).

CB=(2,0,0),=(2,2,-2),PE=(1,0,-1),

設(shè)PF=2PB，則C啜!R1.

.?,EF=PF-PE=2(2,2,-2)-(1,0,-1)=(22-1,22,1-22).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

nCB=0,2x=0,/、

則即<2x+2y-2z=。令k1'則"=(°』D

n-PB-0,

n-EF11

cos<n.EF>=

In\\EF\V2x7(2^-l)2+(22)2+(l-21)22A/622-42+1

又直線與平面尸3C的夾角為60，

1解得/J

2A/622-42+123

.\IL=L

\BF2

20.w：(1)根據(jù)拋物線概念易知

一直線/垂直于X軸，

.??不妨設(shè)〃［，%)乂(一九)，代入/=2四("〉0),可得聞=p,

:.\MN\=2p.

■-S解得p=2.

OMN=^\OF\\MN\=^X2P=2,

拋物線C的方程為/=4x.

(2)由(1)易知拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-l，/(1,0),

設(shè)點尸"(%,%),N(9,%)，

當(dāng)直線/的斜率等于0時，不符合題意；

故可設(shè)直線/的方程為：x=ty+l,

聯(lián)立=4X，消去了得丁―4?！?=0,

x=ty+l,

△=16/+16>0，得teR，

由韋達(dá)定理得%+%=%%=-4,

PM_LPN,：.PM-PN=(%+1,%-777)?(%2+1,y2_772)=0,

.?.(%+1)(1+l)+(y1-m)(y2-m)

2

=xlx2+xl+x2+l+y1y2-m(yl+y2)+m

=")+￡)+1+x%—制x+%)+療

(yy)2］「-i

=+：(%+%)2—+1+%%一機(jī)(y+%)+加

1。4L」

=1+；［(4，)2+8^+1—4—4mt+m2

=4/-4mt+nt?=(2%-m)2=0,

/.2t=m.

\MN\=A/1+FI弘-y2kA/1+7x4%%=&x,16/+16=4(1+產(chǎn)］

原點。到直線/的距離d=~^T，

Jl+/

「?SOMN=~^|^^H~X-7==X4(1+^2)=2A/2,解得%=±1.

2241+產(chǎn)

/.m=±2.

.,?存在點P(—L±2),符合題目要求.

11Q

21.解：(1)當(dāng)4=1時，/(x)=—+-+X--,

%%e

.W華+L

X

3

.?.〃1)=2一,八1)=1,

e

3

???所求切線方程為y-/(l)=(%-l),即y=x+l—_.

e

I1Q

(2)函數(shù)/(九)存在零點，等價于方程」竺+—+◎-—=0有正根,

xxe

13

即1皿一廠+1有解，

—a=--------------

33

人lux—x+1—x—21nx—1

令g(x)=^^'n則itg'(x)=」^.

332

令/z(x)=_x_21nx_l,則/f(x)=------,

eex

令〃(％)=——=0,得不=—,

ex3

9A

當(dāng)0<x<§時，單調(diào)遞減;

2e

當(dāng)時，〃(x)>0,&(x)單調(diào)遞增;

五(x)..及［寺］=l-21n寺，

當(dāng)X-0+時，a(x)f+8；當(dāng)Xf+8時，+8,

又立［寺］=l—21n,<0,丸(1)=3_1〉0,

二.存在1<玉<九2，使得/?(%)二人(%2)=。.

33

一再一21n%j-1—0,即［HX］—石+1——InXj,

ee

.,.當(dāng)0<x<%i時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)藥<%<%2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)X〉9時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

,31

1%一產(chǎn)+1-1叫

<0'

X1

當(dāng)X-0+時，g（x）f-8；當(dāng)Xf+R時，g（x）f（r,

一。v0,即a>0.

??.實數(shù)a的取值范圍為（0,+"）.

（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計

分.

x=5cosa+