專題09塞函數(shù)與二次函數(shù)

一、【知識梳理】

【考綱要求】

11

1.了解新函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)/=入，y=x,y=x,y=x,尸-的圖象，了解它們的變化

22x

情況；

2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.暴函數(shù)

(1)嘉函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做幕函數(shù),其中x是自變量，。是常數(shù).

(2)常見的五種募函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)。＞0時(shí)，塞函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：f(x)=ag+6x+c(a#0).

頂點(diǎn)式：F(x)=a(x—0)2+〃(aWO),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(必，n).

零點(diǎn)式：F(x)=a(x—xi)(x—X2)(a=0),荀，也為/1(x)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax+bx~\-cy=ax+bx~\-c

函數(shù)

(a>0)(a<0)

j

圖象

/

i\]

(拋物線)1

定義域R

4ac—B、4ac-B

值域[4a，+sj—oo

'4a_

b

對稱軸片二逋

頂點(diǎn)（_A_4ac~/^\

（一^^4a）

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)6=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)6W0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在(在(61

上是遮函數(shù)；—8,F_上是增函數(shù)；

單調(diào)性

+)上是增函數(shù)+)上是遮函數(shù)

在總°°,在總°°,

【常用結(jié)論】

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

仿>0,[a<0,

2.若/'(x)=8/+方匠+。(己/0),則當(dāng)《時(shí)，恒有/1(x)>0；當(dāng)，時(shí)，恒有/'(x)<0.

[A<0[zl<0

3.(1)嘉函數(shù)y=x“中，。的取值影響塞函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；

⑵募函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限.

【方法技巧】

1.幕函數(shù)的形式是尸x°(aGR),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解

析式.

2.在區(qū)間(0,1)上，塞函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)

間(1,+8)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

3.在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合塞值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩

個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線;

“一開口”是指拋物線的開口方向.

5.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條

件.

6.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)

和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

7.不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接

借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

二、【題型歸類】

【題型一】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【典例1】若累函數(shù)了=/1,尸4與尸/在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則加與〃的取值

情況為()

A.—1<2ZK0<77<1

1

B.-1.〈水0〈冰5

c.一i〈水o〈水;

D.—1〈水0〈加1

【典例2】累函數(shù)/U)=(以2—3〃+3)/的圖象關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)0=.

1

【典例3】若事函數(shù)/5)=(3-5a-5)1-針在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a等于()

A.1B.6C.2D.-1

【題型二】求二次函數(shù)的解析式

【典例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足F(2)=—1,且f(x)的最大值是8,試確

定此二次函數(shù)的解析式.

【典例2］己知尸/1(x)是二次函數(shù)，且｛—■!+，=/1—對xGR恒成立,

方程f(x)=0的兩實(shí)根之差的絕對值等于7.求此二次函數(shù)的解析式.

【典例3]若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,6eR)滿足條件f(一力=f(x),定義域?yàn)镽,

值域?yàn)?-8,4],則函數(shù)解析式_f(x)=.

【題型三】二次函數(shù)的圖象問題

【典例1]在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)尸石與尸石X+6(劭#0)的圖象可能是()

【典例2】設(shè)aZ?c>0,二次函數(shù)F(x)=aX2+6匠+。的圖象可能是()

【典例3]一次函數(shù)尸石X+6(HW0)與二次函數(shù)尸a/+6x+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致

是()

【題型四】二次函數(shù)的單調(diào)性與最值問題

【典例1］已知廣(x)=ax—2x+l.

(1)若Ax)在［0,1］上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

⑵若［0,1］,求廣(x)的最小值g?.

【典例2】設(shè)函數(shù)Mx)=x2—2x—1在區(qū)間［［，方+1］上有最小值g1),求g1)的解析式.

【典例3】已知函數(shù)/'(x)=f+ax+6(a,6GR),記“(a,6)是|f(x)］在區(qū)間［―1,1］上的

最大值.

(1)證明：當(dāng)⑶22時(shí)，〃(a,方)22；

⑵當(dāng)a,6滿足〃(a,6)W2時(shí)，求|a|+|引的最大值.

【題型五】二次方程根的分布問題

【典例1】(多選)已知函數(shù)Hx)=x2—2x+a有兩個(gè)零點(diǎn)荀，也，以下結(jié)論正確的是()

A.a<l

112

B.若荀恁#0,則一十—=一

XiX2a

C./,(-1)=/(3)

D.函數(shù)y=f(|x|)有四個(gè)零點(diǎn)

【典例2］己知二次函數(shù)f(x)=f+26x+c(6,cGR)滿足/U)=0,且關(guān)于x的方程/"(x)

+x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(—3,-2),(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

［典例3］已知關(guān)于x的二次方程x+2,/nx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(—1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求加的取值范圍;

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求0的取值范圍.

【題型六】二次函數(shù)中的恒成立問題

【典例1］已知二次函數(shù)『(X)滿足/'(x+D—f(x)=2x,且f(O)=l,若不等式/?(x)>2x+/

在區(qū)間

［—1,1］上恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為.

【典例2】函數(shù)/■(x)=a2'+3/—2(a〉l),若在區(qū)間［―1,1］上f(x)(8恒成立，則a的最大

值為.

【典例3】已知函數(shù)f(x)=/—2ax+2a+4的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+°°),則a的值為

【題型七】二次函數(shù)的綜合問題

【典例1】設(shè)函數(shù)F(x)=f—2x+2,xe［t,t+1］,teR,求函數(shù)f(x)的最小值.

【典例2]已知函數(shù)f{x)=tx,g(x)=(2—t)x—4x+l.若對于任一實(shí)數(shù)xo,函數(shù)值Hxo)

與g(加中至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(—8,-2)U(0,2]

B.(-2,0)U(0,2]

C.(-2,2]

D.(0,+°°)

【典例3]已知f(x)=〃(x—24(x+勿+3),g(x)=2"—2.若同時(shí)滿足條件：

①f(<x)<0或g(x)〈0；

②8,—4),f(x)g{x)<0.

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知函數(shù)/1(X)=(f—2X—3)(f+ax+6)是偶函數(shù)，則f(x)的值域是.

【訓(xùn)練二】已知二次函數(shù)f(x)=V—2力x+2力+1,xG［—1,2］.若f(x)2—1恒成立，求

力的取值范圍.

【訓(xùn)練三】若函數(shù)0(工)=/+加了-1］在［0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

【訓(xùn)練四工是否存在實(shí)數(shù)ae［—2,1］,使函數(shù)/■(x)=V—2ax+a的定義域?yàn)椋?1,1］時(shí),

值域?yàn)椋邸?,2］?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.

【訓(xùn)練五】已知二次函數(shù)F(x)=ax2+6x+l(a,bGR且aWO),xGR.

(1)若函數(shù)/(x)的最小值為F(—1)=0,求/'(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；

(2)在⑴的條件下，/'(x)>x+/在區(qū)間［—3,—1］上恒成立，試求4的取值范圍.

【訓(xùn)練六】已知a,6是常數(shù)且aWO,f(x)=a/+6x且f⑵=0,且使方程f(x)=*有等根.

⑴求f(x)的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)如欣成垃,使得f(x)的定義域和值域分別為［0，加和［2q2加？

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1

1.函數(shù)y=的圖象是()

2.若/U)是募函數(shù)，且滿足盟=3,則f/等于()

11

3-3C---

A.B.3D.3

3.若幕函數(shù)/(為=(加2—4加+4>x"-6〃，+8在(0,+8)上為增函數(shù)，則0的值為()

A.1或3B.1C.3D.2

4.函數(shù)f(x)=aV+(a—3)x+l在區(qū)間［-1,十8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[—3,0)B.(—8,—3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

5.已知&b,c￡R,函數(shù)廣(x)若廣(0)=_f(4)>_f(l),貝！J()

A.a〉0,4a+6=0B.水0,4a+8=0

C.a>0,2a+6=0D.水0,2a+8=0

6.若函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(3,0),則函數(shù)f(x)()

A.在(一8,2)上遞減，在[2,+8)上遞增

B.在(一8,3)上遞增

C.在[1,3]上遞增

D.單調(diào)性不能確定

7.若函數(shù)f(x)=x2+a|x|+2,xGR在區(qū)間[3,+-)^[-2,-1]上均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.—-3B.[—6,—4]

C.[—3,—2^2]D.[—4,—3]

8.已知函數(shù)/'(x)=2axJax+1(a〈0),若水熱，xi+x2=0,則/1(為)與f(xz)的大小關(guān)系是

()

A.f(xi)=f(x2)B.

C.A^1)<f(,X2)D.與x的值無關(guān)

【多選題】

9.已知函數(shù)f(x)=3x°—2(R+3)X+R+3的值域?yàn)閇0,+8),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.0B.[-3,0]

C.3D.-3

10.若二次函數(shù)曠=反2—4x+2在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值可以是

()

A.0B.1

C.2D.3

11.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象

過點(diǎn)(1,0),…，求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的

二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是()

A.在x軸上截得的線段的長度是2

B.與y軸交于點(diǎn)(0,3)

C.頂點(diǎn)是(一2,—2)

D.過點(diǎn)(3,0)

12.設(shè)函數(shù)f{x)=aV+6x+c(aH0),對任意實(shí)數(shù)/都有A4+t)=f(一力)成立，則函數(shù)值

f(—1),f(l),f(2),f(5)中，最小的可能是()

A.A-l)B.AD

C./(2)D./(5)

【填空題】

13.已知累函數(shù)y=Rx"C?,〃eR)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則加一〃=.

14.二次函數(shù)/=@夕+公+。(4矛0)的圖象如圖所示，確定下列各式的正負(fù)：b0,

ac0,a-b+c0.(填“>”“<”或“=”)

15.如果函數(shù)/'(x)=x2—ax—a在區(qū)間［0,2］上的最大值為為1,那么實(shí)數(shù)a=.

16.定義：如果在函數(shù)y=『(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間［a,6］上存在xo(a〈xo〈6),滿足f(xo)

=’")三,(a),則稱函數(shù)尸a*)是［a,句上的“平均值函數(shù)”，荀是它的一個(gè)均值點(diǎn),

Da

如尸X4是［—1,1］上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)有函數(shù)f(x)=—/+%+1是［一

1,1］上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【解答題】

17.已知函數(shù)/'(x)=x2+2ax+2,xG［―5,5】.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)/<x)的最大值和最小值；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間［—5,5］上是單調(diào)函數(shù).

18.已知二次函數(shù)/"(X)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>—2