安徽省A10聯(lián)盟2024屆高三最后一卷（三模）數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本數(shù)據(jù)：1,3,5,1,9,5,6,11,8的60%分位數(shù)是（）

A.5B.5.5C.6D.7

2.已知集合4={0,1,2,3,4},3=卜€(wěn)^^?可，則AcB的子集的個數(shù)為（）

A.16B.8C.4D.2

3.已知數(shù)歹!的前w項和S“滿足S"="+〃,貝|J%=（）

A.272B.152C.68D.38

4.已知函數(shù)/（x）=I。g2（x+^/77I）,則對任意實數(shù)々/,“a+6W0”是“fm）+/（6）W0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

2

5.己知尤>0,y>0,且2無+y=l,則二±￡的最小值為（）

xy

A.4B.4忘C.45/2+1D.272+1

6.某年級在元旦活動中要安排6個節(jié)目的表演順序，其中有3個不同的歌唱節(jié)目和3個不

同的舞蹈節(jié)目，要求第一個和最后一個都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個歌唱節(jié)目，

則不同的安排方法有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

7.過雙曲線=的下焦點下作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸近線

ab

相交于兩點，若行=2fM,則C的離心率為（）

A.空B.上C.2也D.3

3

8.已知〃=eA3,Z?=ln（e7i—2e）,c=7i-2,貝ij（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多選題

9.已知向量〃=(1,2),〃—/?=(3,1),貝！J()

A./?=(—2,1)B.a//b

C.a-LbD.〃一辦在〃上的投影向量為〃

10.已知函數(shù)/(x)=|sinx|-73cos尤,則()

A.是偶函數(shù)B.的最小正周期是兀

C.的值域為卜石,2]D./(x)在［-兀上單調(diào)遞增

11.在棱長為2的正方體ABC。-AAGA中，點石為棱。。的中點，點廠是正方形CD2G內(nèi)

一動點(包括邊界)，則()

A.三棱錐3-4出廠的體積為定值

B.若用尸//平面ABE,則點尸的軌跡長度是四

C.當點。在直線BG上運動時，AQ+QC的最小值是26

D.若點尸是棱G2的中點，則平面AB尸截正方體所得截面的周長為20+26+2

三、填空題

12.若復(fù)數(shù)z滿足i(z-l)=2,則八.

13.在一ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且滿足a=6,

sini_ccq

(a+c)(sinA+sinC)=Z?sinB+3csinA,----=-------,貝|,ABC的面積是___________.

sinBcosB

14.已知曲線G：(x-2)2+(y+l)2=5與曲線C?:y=x2在第一象限交于點A,記兩條曲線在

點A處的切線的傾斜角分別為名￡(&<￡),貝Ijtan(力-□)=.

四、解答題

15.甲、乙兩人進行知識答題比賽，每答對一題加20分，答錯一題減20分，且賽前兩人初

始積分均為60分，兩人答題相互獨立.已知甲答對每題的概率均為。，乙答對每題的概率

試卷第2頁，共4頁

Qi

均為q(O<p<q<l),且某道題兩人都答對的概率為木，都答錯的概率為不

(1)求。，4的值；

(2)乙回答3題后，記乙的積分為X,求X的分布列和期望E(X).

16.如圖，在四棱錐中，底面A3CD為直角梯形，ABLAD,AD//BC,平面

平面ABC2E為尸。上一點，S.PB=AB=AD^2,BC^4.

(1)若一臉是直角三角形，求證：CD工BE；

⑵若NP8A為銳角，且四棱錐P-ABCD的體積為2世，求平面P4B與平面PCD夾角的余

弦值.

17.已知橢圓C:]+y'l的右焦點為凡C在點P(x°,%)(%xO)處的切線/分別交直線》=1

和直線x=2于兩點.

⑴求證：直線x°x+2%y-2=0與C相切；

\MF\

⑵探究：焉是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

18.已知函數(shù)/(無)=碇*-e-*-(a+l)x,a>。.

⑴求證：/(丈)至多只有一個零點；

(2)當0<a<l時，?。シ謩e為了(X)的極大值點和極小值點，若〃%)+必伍)>0成立，求實

數(shù)左的取值范圍.

19.特征根方程法是求一類特殊遞推關(guān)系數(shù)列通項公式的重要方法.一般地，若數(shù)列｛〃"｝滿

足為+2=她+1僅。20萬+4c>0),q=s,a2=t,則數(shù)列｛。,｝的通項公式可按以下步驟求

解：①?！?2=兒同+外,對應(yīng)的特征方程為無2=bx+c,該方程有兩個不等實數(shù)根&,夕；②令

nn

an=A-a+B-/3,其中A,B為常數(shù),利用4=$,4=?求出4B,可得｛%｝的通項公式.已

知數(shù)列也｝滿足bn+2=bn+l+2,4=1也=3.

⑴求數(shù)列｛2｝的通項公式；

(2)求滿足不等式(3+班)”+(3-百)”>2024的最小整數(shù)n的值；

]n+1

(3)記數(shù)列也｝的所有項構(gòu)成的集合為求證：都不是M的元素.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解即可.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序為1,1,3,5,5,6,8,9,11,

因為60%x9=5.4,

所以樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是第6個數(shù)，為6.

故選：C.

2.B

【分析】利用交集定義與子集個數(shù)與元素個數(shù)的關(guān)系計算即可得.

【詳解】由4={0,1,2,3,4},3=卜€(wěn)1^]€1^,可得A3={0,2,4},

則AcB的子集的個數(shù)為23=8.

故選：B.

3.B

【分析】借助數(shù)列前"項和性質(zhì)計算即可得.

【詳解】==(43+4)-(33+3)=68-30=38,

貝I]%=38x4=152.

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)/(x)的解析式判斷出了(%)在R上是奇函數(shù)、增函數(shù)，然后可以判斷出答案.

【詳解】/(X)的定義域為R,且在R上是增函數(shù),

因為J(-X)=log2

所以=所以f(x)是奇函數(shù),

所以由a+bVO可得6,所以/⑷"(詢=-/伍)，所以/3)+/S)40,

反之，由〃。)+/(6)<0得/⑷<-/(?=/(—>),所以aW—A,a+b<0.

所以“a+6<0”是"⑷+于(b)40”的充要條件,

答案第1頁，共14頁

故選：c.

5.D

【分析】由2x+y=l,可得工±1=1+)+三，再利用基本不等式計算即可得.

xyxy

【詳解】4=，］_=2+2=1+2+生21+2,^=2五+1,

xyxyxyxyxy

當且僅當上=2，即丫=應(yīng)-1,尤=1-比時，等號成立.

xy2

故選：D.

6.B

【分析】先排第一及最后一個節(jié)目，再排歌唱節(jié)目，最后用插空法計算即可得.

【詳解】先從3個不同的舞蹈節(jié)目選出2個分別安排在第一及最后一個，有A；種,

再將3個不同的歌唱節(jié)目排成一列，有A；種,

3個不同的歌唱節(jié)目中間有2個空，從中選1個安排最后一個節(jié)目，有C；種,

故共有A；A；C；=6x6x2=72.

故選：B.

7.A

【分析】過點尸作另一條漸近線的垂線E0'于借助雙曲線的對稱性計算可得即可

0

得離心率.

【詳解】過點尸作另一條漸近線的垂線列，于由對稱性可得|根|=|引01,

由NF=2FM，則有|NF|=2|W|,則g

6

Z.NOM=—,故NNO_F=工，故—=tan|-------|=tan—=y[3,

36b<26J3

即e―=、唐J+產(chǎn)■友.

a\a2V3J3

故選：A.

答案第2頁，共14頁

8.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'T-x,利用導數(shù)求取單調(diào)性可得。、c之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=lnx-x+1,利用導數(shù)求取單調(diào)性可得6、c之間大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】由。=0鵬力=111(頌—2e),

即a=,￡>=In(ere—2e)=In(7r—2)+1,

令y(x)=ex-'-x(x>l),

則f(x)=八一1>0在(1,+8)上恒成立,

故〃x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則有/(兀_2)=/-2戶一(兀一2)>/⑴=0,即a>c,

令g(x)=lnx-x+l(x>l),

11_

則g'(x)=上-1=」r<0在(1,+⑹上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

貝I有g(shù)(?r—2)=ln(兀-2)+1-(兀-2)<g(l)=0,即Z?<c,

t^b<c<a.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造出函數(shù)/(x)=e'T-x、g(x)=lnx-x+1,以比

較a、c與6、c之間大小關(guān)系.

9.ACD

【分析】由向量的線性運算、平行以及垂直的坐標表示可判斷ABC,由投影向量的定義可

判斷D.

答案第3頁，共14頁

【詳解】對于A,=o-(fl-=(1,2)-(3,1)=(-2,1),故A正確;

對于BC,由于1*1-2*(-2)=5-0,lx(-2)+2x(-l)=0,故B錯誤，C正確;

^a-b^-a

5

對于D,4一匕在［上的投影向量為a=a,故D正確.

H5

故選：ACD.

10.AC

【分析】對于A,直接用偶函數(shù)的定義即可驗證；對于B,直接說明了(0)。〃兀)即可否定;

對于C,先證明-64〃力<2,再說明對—總有/(力=瓦有解即可驗證；對于D,

直接說明"―gbg］即可否定.

【詳解】對于A,由于/(力的定義域為R,且

/(—x)=|sin(―x)|—\/3cos(―x)=|—sinx|—A/3COSx=|sinx|—V5cosx=f(x),

故是偶函數(shù)，A正確;

對于B,由于〃0)=bin0|_gcos0=_G,f(7c)=|sinTI|-A/3COS7C=73,故/(。)w/(兀)，

這說明兀不是的周期，B錯誤;

對于C,由于/(x)=|sinx|-A/3cosx<

Jsin2x+3cos2x+2^/31sinxcosx|+3sin2x+cos2%一2君|sinxcosx|

=v4sin2x+4cos2x=V4=2，

_&/(x)=|sinX|-A/3COSX>-百cosx>-V3,故-石4〃x)42.

而對有/'(())=-若=故由零點存在定理知一定存在

57r

xe。，不使得/(x)=".

所以/(x)的值域為［-6,2］,C正確；

對于D,由于5<_T=道=/(一gj,故〃x)在,?！副巧?/p>

答案第4頁，共14頁

并不是單調(diào)遞增的，D錯誤.

故選：AC.

11.AB

【分析】對A：由平面平行可得點歹到平面AB4A的距離為定值，結(jié)合體積公式即可得；

對B：借助線面平行的判定定理與性質(zhì)定理與面面平行的性質(zhì)定理可得平面與〃平面

ABE,計算即可得點尸的軌跡長度;對C：將BCG沿Bq翻折到與△人（出在同一個平面,

借助兩點之間線段最短計算即可得；對D：畫出截面圖形后計算即可得.

【詳解】對于A：平面ABBA"平面CDDG,則點尸到平面ABB{\的距離為定值2,

114

則匕一型獷=VF-AB,B=JX^X2X2X2=,故A正確；

對于B：如圖1,分別取GQ、GC中點M,N,連接B\N,NE,MN,B\M,

則NEV/GQ,且NE=CR,又A4//CQ1，A4=G2，

故NE//A\BI且NE=AB、,所以四邊形4月八石是平行四邊形,

所以AE//BW，因為用N<z平面平面ABE,

所以8戶//平面A8E,同理MN〃CR//A8,有MN〃平面

因為4NcMN=N且都在面B,MN,所以平面B,MNII平面A{BE,

因為平面B\MN1平面CDD￡=MN,

所以點尸的軌跡是線段MN,其長度為近，故B正確；

對于C,把BCG沿BC翻折到與△ACS在同一個平面（如圖2所示），

連接AC,則4c是A。+QC的最小值，

其中田是邊長為2&的等邊三角形，

BCG是直角邊為2的等腰直角三角形，

由對稱性得4。=4。+。。=20、咚+0=n+夜，

即4Q+QC的最小值是遍+夜，故C錯誤；

答案第5頁，共14頁

對于D：如圖3,由B選項知，四邊形A出NP就是平面截正方體所得截面的圖形,

其周長為0+2&+正+石=30+26，故D錯誤.

故選：AB.

【分析】借助復(fù)數(shù)四則運算與共軌復(fù)數(shù)定義計算即可得.

2

【詳解】由i(z—l)=2,則z-l=：=-2i,即z=l-2i,

1

故7=1+2i.

故答案為：l+2i.

13.￡!/33

44

【分析】先化角為邊結(jié)合余弦定理得出B,利用tin嗎C=1—rca:C可得A=5,利用面積公式

sinBcosB

可得答案.

［詳解］因為(。+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA,

〃242_yi

由正弦定理可得(Q+C)2=〃+3CQ,整理得/+o2_/=QC，COSB=-

2ac2

因為3e(O,7t),所以3=］；

sinC1—ccsC

由----=--------得sinCcosB+sinBcosC=sinB,即sin(B+C)=sinB,

sinBcosB

因為sin(+C)=sin(兀一A)=sinA,

jr

所以sinA=sin5,即A=3=§,所以三角形是正三角形,

因為〃=所以ABC的面積是S=且x3=±叵.

44

故答案為：史

4

3

14.-/0.75

4

答案第6頁，共14頁

【分析】求出交點后，借助圓的切線的性質(zhì)與導數(shù)的幾何意義計算即可得.

22

(x-2)+(y+l)=5=0XQ—1/、

【詳解】＜,解得2「故A。」),

y=x2%=o'%=1

設(shè)曲線C1在點A處的切線為/］：y=%(x-l)+l,即/|：《尤一〉一勺+1=0,

曲線C?在點A處的切線為4：y=&(x-l)+l,

由G：(x-2)2+(y+l)2=5可得其圓心為(2,-1),半徑為右,

|2勺+1-勺+1|/Z2解得勺=；，

則有?而+1'=小,即46-4勺+1=。,

對C2：y=x2,有y'=2x,則切泡=2x1=2,貝I］左？=2,

即tan0=匕=；,tan〃=&=2,

2一13

則皿尸一小韋黑3

____2_=2.=

l+2x-24

2

3

故答案為：--

(2)分布列見解析，E(X)=72

【分析】(1)借助相互獨立事件的乘法公式可得方程組，解出該方程組即可得；

(2)得出X的所有可能取值后計算相應(yīng)概率即可得分布列，借助分布列計算即可得其期望.

答案第7頁，共14頁

11n

【詳解】(1)由題意可得。-0)(i-g)=y,解得；

q=一

p<qI5

(2)X的可能取值為0,40,80,120,

p(x=o)=c4i-1P(X=40)=C；.|/l-13

5

2

3543?_27

p(X=80)=C1-產(chǎn)(X=120)=C；

■ri125-125

則其分布列為:

X04080120

8365427

P

125125125125

￡(X)=0x—+40x—+80x—+120x—=72

''125125125125

16.(1)證明見解析

⑵骼

【分析】(1)借助面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的性質(zhì)定理可得線面垂直，再利用線面垂

直的性質(zhì)定理推導即可得；

(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理及體積公式計算相應(yīng)長度，再建立適當空間直角坐標系，借

助空間向量計算即可得.

【詳解】(1)連接因為是直角三角形，PB=AB,所以PB_L54,

因為平面PAB_L平面45cD,平面PABc平面ABCD=AB,P8u平面

所以尸3_L平面ABC。，CDu平面ABCD,所以B5_LCD,

因為四邊形ABCD為直角梯形，ABLAD,AB=AD=2,BC=4,ZDBC=45°,

2122

所以=2&CD=ylBD+BC-2BD?BC-cosZDBC=2夜，所以瓦y+C￡>=BC,

所以BDLCD,因為PBcBD=B,尸8,8。u平面「即，

所以CD_L平面PBD,因為BEu平面P8D,所以CD_L3E；

答案第8頁，共14頁

（2）因為NP8A為銳角，作「于0,則點。在線段上，

因為平面平面ABC。，平面PABc平面ABC￡>=AB,尸Ou平面P4B,

所以P?！蛊矫鍭BCD,則P。為四棱錐尸-ABCD的高，

因為四棱錐尸-ABCD的體積為2TL

所以％.AB8=；xgx（2+4）x2-OP=2百，解得0尸=血，則OB7PB2-0「2=1，

以。為坐標原點，。4,。尸所在直線分別為x，z軸，過。與4）平行的直線為>軸，

建立空間直角坐標系如圖，則。（-1,4,0）,。（1,2,0）,尸（0,0,白），

所以PC=卜1,4,-右）,CD=（2,-2,0）,

設(shè)平面PCD的法向量為〃=x,y,z,則，即>”,

n-CD=Q|2x-2y=0

令x=l,得y=l,z=逐，即平面PCD的一個法向量為〃=（1,1,8）,

易知平面R4B的一個法向量為加=（0』,0），

m-n\1V5

設(shè)平面P4B與平面PCD的夾角為a,則cosa=

網(wǎng)同逐I5'

17.（1）證明見解析

⑵孝,理由見解析

【分析】（1）聯(lián)立曲線后消去縱坐標可得一元二次方程，借助橢圓方程代入計算可得該一元

答案第9頁，共14頁

二次方程有唯一解即可得證;

MF

（2）由（1）可得直線/的方程，即可得",N兩點坐標，計算出,|〃,目,與,|杯|即可得\帚.\

xox+2yoy-2=0

【詳解】（1）聯(lián)立反+2_1，整理得：（片+2'）》2-4%環(huán)+（4-4尤）=0,

、萬+y-

又因為當+/=1,即x；+2y；=2,則Y-Z/x+x：=0,

即（x-尤。）2=0,此方程有唯一解，即直線x。x+2%y-2=。與橢圓C相切；

2—xx

（2）由（1）知，直線/的方程為天工+2%,-2=。，即,

將直線X=1和直線x=2分別與上式聯(lián)立，

由題意可得M1,

因為尸（1,0）,所以開=（2；1），

即曾為定值也.

18.（1）證明見解析

⑵(-8,-1]

答案第10頁，共14頁

【分析】(1)分“=1、0<。<1及。>1進行討論，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性后結(jié)合零點的

存在性定理即可得；

(2)由⑴可將/&)+如2)>0轉(zhuǎn)換為佇再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=lnx-^l-^.1^-,xe(O,l),分左W-l及-1<%<0進行分類討論即可得.

【詳解】(1)由題意得，(何=*一(〃+1)+?=.-1)["(]=!佇川(加，一1),

當a>0時，令/''(x)=0,解得玉=0,々=-lna,

①當。=1時，〃x)=e一廠一2尤/(尤)=1；1)20,所以在R上單調(diào)遞增，

又"0)=0,此時函數(shù)〃x)有唯一的零點0；

②當Ovavl時，-Ina>0,

所以xe(-8,0)時，/'(X)>0,/㈤單調(diào)遞增,

xe(0,-lna)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(-Ina,+8)時，r(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

又/(-Ina)<〃。)=a-l<0,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間(-co,-Ina)上無零點，

在(-山4,+8)上至多只有一個零點，

所以函數(shù)/(%)至多只有一個零點；

③當a>l時，-lna<0,

所以xe(-8,—Ina)時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

xe(-IM,。)時,/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,

x?0,+8)時,4(x)>OJ(x)單調(diào)遞增,

又〃-lna)>/(0)=a-l>0,

則函數(shù)〃元)在(-^,-lna)上至多只有一個零點，在區(qū)間(-Ino,+e)上無零點，

所以函數(shù)/(“至多只有一個零點，

答案第11頁，共14頁

綜上，函數(shù)/(X)至多只有一個零點;

(2)由(1)知，當Ovavl時，”X)在(—8,0),(—Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(。，-Ina)單調(diào)遞

減,

所以/(X)的極大值點為玉=0，極小值點為％2=Tn。,

此時/(A；)=/(O)=6Z-l,/(x2)=/(-ln^)=l-6Z+(?+l)lna,

因為/(石)+V>(%2)>0，所以a-l+%[l-a+(a+l)ln〃]>0,

因為0<avl,所以〃%2)</(石)<°，所以化<0,

1a-\

所以左(a+l)lna>(a-l)(女一1),即ln〃<1*

k)a+1

設(shè)g(x)=lnx]l一J,,尤eg)，2d+4+l

k

XyfCJ(X+1J%(x+l)2

c24

令d+—x+l=O,貝必=丁4,

kk

①當左4—1時,A<0,此時g'(x)?O恒成立，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以g(x)<lnl一號=0,此時1皿〈『力㈡

2

②當一1〈人<0時，A>0,設(shè)％2+—尤+1=。的兩個根為退,%4，且％3<%4,

k

2

則%+%4=-_7>°，￡乂=1，所以。<%3<1<工4，

k

則當退<%<1時，/(尤)<0,此時g⑴在(.1)上單調(diào)遞減,

力方與(*)矛盾'不合題意?

所以當天<。<1時，g(〃)>g(l)=。，止匕時Ina>1

綜上所述，上的取值范圍是

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于借助第一問所得，將雙變量4、巧變?yōu)閱?/p>

變量，從而可構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-卜一。1=,xe(O/)，分左V—1及一1<%<0進行討論即

可得.

(2)5

答案第12頁，共14頁

(3)證明見解析

【分析】(1)借助題目中所給特征根方程法計算即可得;

(2)(3+君)”+(3-石y>202402”?%,>2024,結(jié)合數(shù)列｛2"也“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，計算

即可得;

]〃+i22

(3)由%2=6向+2計算可得丁-?2=%2-廠，由2eN*可得廠eN*,即可得