2024三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十三講平均數(shù)問題

（一）

第十三講平均數(shù)問題（一）

第一部分：趣味數(shù)學(xué)

國際象棋起源于印度。棋盤上共有8行8列構(gòu)成64個(gè)格子。

傳說國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，他的大宰相西薩?班?達(dá)伊爾，問他有什么要求，

這位聰明的大宰相的胃口并不是太大，他跪在國王面前說：“皇帝陛下，請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格

子里放上1顆麥粒，在棋盤的第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在棋盤的第3個(gè)格子里放上4顆

麥粒，在棋盤的第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，以此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)

格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子。請(qǐng)都賞給你的仆人吧！”

國王聽了很不以為然，說：“愛卿，你的要求并多呀!我一定滿足你的要求！”沒過一會(huì)

兒，他的糧管，就來報(bào)告了，“國王，不對(duì)呀！我們的整個(gè)國家的糧庫的糧食都才能擺到30

格，如果滿足他這個(gè)要求，我們國家要全國不吃不喝種兩千多年哪！"你知道為什么嗎？

下面讓我們來計(jì)算一下：

1.麥粒數(shù)目：

因?yàn)閲H象棋的棋盤上共有64個(gè)格子，根據(jù)發(fā)明者的要求，各個(gè)格子的麥粒數(shù)應(yīng)該依次

是：1,2,22,23,263個(gè)。因此發(fā)明者所要求的麥?？倲?shù)是：1+2+22+23+...+263

=264-1=18446744073709551615（粒）。這個(gè)結(jié)果太大了，太恐怖了！

2.單位數(shù)目麥粒質(zhì)量的計(jì)算：

我稱量了1000粒小麥，它們的質(zhì)量約是40g,通過計(jì)算18446744073709551615

粒小麥的質(zhì)量大于7000億噸！

3.與2008年全球小麥產(chǎn)量比較：2008/09年度全球小麥產(chǎn)量將達(dá)到創(chuàng)紀(jì)錄的6.56億噸,

要種植1067年,恐怖嗎?

4.給載重量為30噸的大卡車?yán)?3300000000輛。

想一想，這個(gè)故事能帶給你什么啟示呢？是的，不要小看1、2、4、8……這些數(shù)字，當(dāng)它

們不停地累積時(shí)，數(shù)字大的驚人。我們的學(xué)習(xí)不也是如此嗎？只要我們堅(jiān)持不懈，日積月累，

收獲也是很大的。

第二部分奧數(shù)小練

專題簡(jiǎn)析：

在日常生活中，我們會(huì)遇到下面的問題：有幾個(gè)杯子，里面的水有多有少，為了使杯中水

一樣多，就將水多的杯子里的水倒進(jìn)水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。

這就是我們所講的“移多補(bǔ)少”，通常稱之為平均數(shù)問題。

解答平均數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是要求出總數(shù)量和總份數(shù)，然后再根據(jù)“總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)”

這個(gè)數(shù)量關(guān)系式來解答。

1例題11用4個(gè)同樣的杯了裝水，水面的高度分別是8厘米、5厘米、4厘米、3厘

米。這4個(gè)杯子里水面的平均高度是多少厘米？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)已知條件，先求出4個(gè)杯子里水的總厘米數(shù)，再用總厘米數(shù)除以杯子的

個(gè)數(shù)就可以求出平均每個(gè)杯子里水面的高度。

(8+5+4+3)+3=5厘米

練習(xí)一：

1.小華期末測(cè)試語文、數(shù)學(xué)、英語、社會(huì)分別得了90分、96分、92分、98分，這四門的

平均分是多少？

2.某校1——4年級(jí)分別有260人、300人、280人、312人，平均每個(gè)年級(jí)有多少人？

3.甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁筐共有梨50千克，平均每筐多少千克？

1】例題2幼兒園小朋友做紅花，小華做了7朵，小方做了9朵，小林和小寧合做了

12朵。平均每個(gè)小朋友做了多少朵？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)已知條件，先求出做花的總朵數(shù)，再用花的總朵數(shù)除以人數(shù)就可求出

平均每人做花的朵數(shù)。

(7+9+12)+4=7朵

練習(xí)二：

1.一個(gè)書架上第一層放書52本，第二層和第三層共放70本，第四層放了46本，平均每

層放書多少本？

2.某工廠第一、二車間共有工人180人，第三車間有103人，第四車間有81人。平均每

個(gè)車間多少人？

3.商店有藍(lán)色氣球和紅色氣球共43只，黃氣球有20只，綠氣球有33只。平均每種氣球

多少只？

【例題3】植樹小組植一批樹，3天完成。前2天共植113棵，第3天植了55棵。植

jT樹小組平均每天植樹多少棵？

【思路導(dǎo)航】要求植樹小組平均每天植樹的棵數(shù)，必須知道植樹的總棵數(shù)和植樹的天數(shù),

植樹的總棵數(shù)用前2天植的113棵加上第3天植的55棵：113+55=168棵，植樹的天數(shù)為3

天。所以，平均每天植樹：168+3=56棵。

練習(xí)三：

1.小佳期中考試語文、數(shù)學(xué)總分為197分，外語考了91分，小佳三門功課的平均成績是

多少分？

2.小紅、小青的平均身高是103厘米，小軍的身高是115厘米，三個(gè)人的平均身高是多少

厘米？

3.一個(gè)同學(xué)讀一本故事書，前4天每天讀25頁，以后每天讀40頁，又讀了6天正好讀

完。這個(gè)同學(xué)平均每天讀多少頁？

【例題4】一輛摩托車從甲地開往乙地，前2小時(shí)每小時(shí)行駛60千米，后3小時(shí)每小

時(shí)行駛70千米。平均每小時(shí)行駛多少千米？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)已知條件，先求這輛摩托車行駛的總路程：60X2+70X3=330千米，再

求行駛的總時(shí)間：2+3=5小時(shí)。所以，平均每小時(shí)行駛：330+5=66千米。

練習(xí)四：

1.小華家先后買了兩批小雞，第一批的20只每只重60克，第二批的30只每只重70克。

小華家的小雞平均多重？

2.少先隊(duì)員為飼養(yǎng)場(chǎng)割草，第一組7人，平均每人割草13千克，第二組5人，平均每人

割25千克。平均每人割草多少千克？

3.一小組同學(xué)量身高，其中2人都是124厘米，另外4人都是130厘米。這組同學(xué)的平均

身高是多少？

[例題5]數(shù)學(xué)測(cè)試中，一組學(xué)生的最高分是98分，最低分是86分，其余5名學(xué)生

子廠的平均分為92分。這一組學(xué)生的平均分是多少分？

【思路導(dǎo)航】要求平均分，應(yīng)用總分?jǐn)?shù)+總?cè)藬?shù)=平均分，依題意，總分?jǐn)?shù)為：98+86+

92X5=644分，總?cè)藬?shù)為：1+1+5=7人。

所以，這組學(xué)生的平均分為：644+7=92分。

練習(xí)五：

1.一組同學(xué)進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)的跳了152厘米，最近的跳了144厘米，其余6名同學(xué)都

跳了148厘米。這一組同學(xué)的平均跳遠(yuǎn)成績是多少？

2.一組學(xué)生測(cè)量身高，最高的是150厘米，最矮的是136厘米，其余4名同學(xué)都是143厘

米。這組同學(xué)的平均身高是多少？

3.音樂考試中，一組學(xué)生中有2人得了最高分90分，1人得了最低分70分，其余5名同

學(xué)都得了78分。這組學(xué)生的平均成績是多少？

第三部分：數(shù)學(xué)史話

平均數(shù)的由來

早在三千年前，我國《周易》即已產(chǎn)生了平均數(shù)的思想?！吨芤住贰爸t”卦說：“謙，君子

以裒多益寡，稱物平施?！蓖蹂龅淖⒄f：“多者用謙以為裒，

少者用謙以為益；隨物而與，施不失平也?？诐}達(dá)的正義

說：“稱此物之多少，均平而施。物之先多者，而得其施；

物之先寡者，而亦得其施也?！彼未祆涞淖⒄f：“裒多益

寡，所以稱物之宜而平其施，損高增卑，以趣于平，亦謙之

意也?！?/p>

概括《周易》謙卦以及王弼、孔穎達(dá)與朱熹等人的注解，可見“裒”指減少，“益”指增

益。“裒多益寡”就是指對(duì)研究對(duì)象的各個(gè)單位的數(shù)量減有余而補(bǔ)不足；“稱物平施”就是指

衡量事物要均等。

上述思想，為統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概念與作用奠定了基礎(chǔ)：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)

之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的

一項(xiàng)指標(biāo)。解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。在統(tǒng)

計(jì)工作中,平均數(shù)（均值）和標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)