第4節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能夠利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系.研考點精準(zhǔn)突破目錄索引

強基礎(chǔ)固本增分12強基礎(chǔ)固本增分知識梳理1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

條件f'(x0)=0x0附近的左側(cè)f'(x)______0,右側(cè)f'(x)______0

x0附近的左側(cè)f'(x)_______0,右側(cè)f'(x)_______0

圖象

形如山峰

形如山谷極值f(x0)為極_______值

f(x0)為極_______值

極值點

x0為極_______值點

x0為極_______值點

函數(shù)極值反映的是函數(shù)局部的性質(zhì)

極值點是一個實數(shù)

><<>大小大小微點撥對函數(shù)極值的理解(1)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值,即端點一定不是函數(shù)的極值點.(2)在一個給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個極值點,也可能不存在極值點;函數(shù)可以只有極大值沒有極小值,或者只有極小值沒有極大值,也可能既有極大值又有極小值.極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.微思考若函數(shù)f(x)可導(dǎo),則當(dāng)f'(x0)=0時,f(x)一定在x=x0處取得極值嗎?提示

不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,例如f(x)=x3,滿足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0處不取得極值.2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條__________的曲線,那么它必有最大值和最小值.

(2)一般地,求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的__________;

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值__________比較,其中最大的一個是__________,最小的一個是__________.

反映的是函數(shù)整體的性質(zhì)

連續(xù)不斷

極值

f(a),f(b)最大值

最小值

微點撥對函數(shù)最值的理解(1)函數(shù)在其定義域上或在某給定區(qū)間上若存在最大(小)值,則其具有唯一性,即只能有一個最大(小)值;(2)函數(shù)的最值可以在區(qū)間端點處取得,但極值不能在端點處取得;(3)當(dāng)函數(shù)有最值時,不一定有極值;有極值時,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a),f(b)分別是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a),f(b)分別是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.常用結(jié)論1.有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).2.如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極值,那么這個極值就是相應(yīng)的最值.3.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判別式Δ=4b2-12ac,有以下結(jié)論:Δ>0函數(shù)f(x)在R上存在極值(既有極大值又有極小值)函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)Δ≤0函數(shù)f(x)在R上不存在極值函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)(單調(diào)遞增或單調(diào)遞減)自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.若函數(shù)f(x)可導(dǎo),且在x=x0取得極值,則必有f'(x0)=0.(

)2.一個函數(shù)的極大值一定比極小值大.(

)3.函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一定在端點處取得.(

)4.函數(shù)在開區(qū)間上的最值一定是相應(yīng)的極值.(

)√××√題組二

回源教材5.(人教B版選擇性必修第三冊6.2.2練習(xí)B第3題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+3x+2有極值,則實數(shù)a的取值范圍是__________,極值點是__________.

a<06.(人教A版選擇性必修第二冊5.3.2例7改編)給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex,則函數(shù)的最小值為__________.

解析

當(dāng)a=0時,f(x)=3x+2沒有極值,不合題意;當(dāng)a≠0時,f'(x)=3ax2+3,則f'(x)=3ax2+3=0應(yīng)有兩個不相等的實數(shù)根,所以Δ=-36a>0,解得a<0,此時f'(x)=0的根是

,此即為極值點.題組三

連線高考

B8.(2021·新高考Ⅰ,15)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2ln

x的最小值為__________.

1研考點精準(zhǔn)突破考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(多考向探究預(yù)測)考向1求函數(shù)的極值(極值點)例1(1)(2024·浙江杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=2ln

x-x2,則(

)A.x=e為極大值點

B.x=1為極大值點C.x=1為極小值點

D.無極值點B令f'(x)=0,解得x=1,當(dāng)x>1時,f'(x)<0,當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故x=1是極大值點,故選B.(2)(2024·山西臨汾模擬)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的極小值為__________.

-e2解析

由已知得f'(x)=(x-2)ex,顯然f'(2)=0,∴當(dāng)x<2時,f'(x)<0,當(dāng)x>2時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,因此f(x)在x=2時取得極小值f(2)=-e2.規(guī)律方法求函數(shù)極值(極值點)的方法步驟(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),并求方程f'(x),=0的根;(3)判斷f'(x),=0的根的左右兩側(cè)f'(x),值的符號,確定極值點;(4)求出極值.考向2已知極值(點)求參數(shù)值(范圍)例2(1)(2024·遼寧沈陽模擬)若函數(shù)f(x)=ax3+3x2+b在x=1處取得極值2,則a-b=(

)A.-3

B.3

C.-2

D.2A解析

f'(x)=3ax2+6x,依題意知3ax2+6x=0的根為1,且f(1)=2,此時f(x)=-2x3+3x2+1,f'(x)=-6x(x-1),所以在(-∞,0)內(nèi)f'(x)<0,在(0,1)內(nèi)f'(x)>0,在(1,+∞)內(nèi)f'(x)<0,所以f(x)在x=1處取得極大值,且f(1)=2,符合題意,因此a-b=-2-1=-3,故選A.(2)(2024·湖南長沙模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函數(shù)f(x)的極值點,則實數(shù)a的值為(

)A.-1

B.0

C.1

D.2D解析

由題意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函數(shù)f(x)的極值點,設(shè)h(x)=x2-3x+a,則h(1)=0,即1-3+a=0,解得a=2,當(dāng)a=2時,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故當(dāng)x>2時,f'(x)>0;當(dāng)x<2時,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的極值點,1不是極值點,所以a=2滿足題意,故選D.(3)(多選題)(2023·新高考Ⅱ,11)若函數(shù)

(a≠0)既有極大值也有極小值,則(

)A.bc>0

B.ab>0C.b2+8ac>0

D.ac<0BCD變式探究1在本例(2)中,其他條件不變,將“若1不是函數(shù)f(x)的極值點”改為“若-1是函數(shù)f(x)的極值點”,則實數(shù)a的值為__________.

-4解析

由于-1是函數(shù)f(x)的極值點,所以f'(-1)=g(-1)=0,即(-1-1)(1+3+a)=0,解得a=-4,此時f'(x)=(x-1)(x2-3x-4)=(x-1)(x+1)(x-4),經(jīng)檢驗符合題意,故實數(shù)a的值為-4.變式探究2在本例(2)中,其他條件不變,將“若1不是函數(shù)f(x)的極值點”改為“若1是函數(shù)f(x)的極大值點”,則實數(shù)a的取值范圍為__________.

(-∞,2)考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(多考向探究預(yù)測)考向1求函數(shù)的最值例3(1)(2024·廣東深圳模擬)函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,0]的最大值和最小值分別為(

)A.2和-2

B.2和0C.1和0

D.0和-2A解析

f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)>0,解得-2<x<-1,令f'(x)<0,解得-1<x<0,則函數(shù)f(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,又因為f(-2)=-2,f(-1)=2,f(0)=0,則所求最大值為2,最小值為-2,故選A.(2)(2024·河北邢臺模擬)函數(shù)f(x)=+x-ln

x的最小值為(

)A.e B.e+1C.1 D.e-1B因為x>0,所以ex+x>0,當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值即最小值,故f(x)的最小值為f(x)min=f(1)=e+1,故選B.規(guī)律方法求函數(shù)最值的方法(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值:①求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有點;③計算f(x)在區(qū)間[a,b]上使得f'(x)=0的所有點以及端點的函數(shù)值;④比較以上各個函數(shù)值,其中最大的是函數(shù)的最大值,最小的是函數(shù)的最小值.(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間或無窮區(qū)間上的最值:先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值,再結(jié)合單調(diào)性、極值情況、函數(shù)值的正負(fù)情況等作出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象觀察分析得到函數(shù)的最值.考向2根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)

B(2)(2024·山東實驗中學(xué)檢測)若函數(shù)f(x)=x3+x2-2在區(qū)間(a-4,a)內(nèi)存在最小值,則整數(shù)a的取值集合是__________.

{1,2,3}規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)的注意點(1)注意分析判斷最值是在極值點還是區(qū)間的端點處取得.(2)注意分析區(qū)間是無窮區(qū)間、開區(qū)間還是閉區(qū)間.(3)注意結(jié)合函數(shù)圖象及單調(diào)性分析最值情況.B考點三利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題例5(2024·廣東東莞模擬)某物流公司購買了一塊長AM=30米,寬AN=20米的矩形地塊AMPN,規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩