2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理科）模擬試題（二模）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則A．， B．， C．， D．，2．已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位），其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的模為2，則的最大值為A．2 B．3 C． D．3．甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)折線圖如圖，記甲、乙二人成績(jī)的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，則A．， B．， C．， D．，4．若、為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，則、在上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及直線外一點(diǎn)．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是A．①②③B．②③④C．①③④ D．①②④5．如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，，，，輸出，，則A．和分別是，，，中最小的數(shù)和最大的數(shù) B．和分別是，，，中最大的數(shù)和最小的數(shù) C．為，，，的算術(shù)平均數(shù) D．為，，，的和6.成都石室中學(xué)從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有A．40種B．60種 C．100種 D．120種7．在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)在圓心為半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為，角速度為1，那么點(diǎn)到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的圖象大致為A．B．C．D．8．某隨機(jī)模擬的步驟為：①利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，，；②進(jìn)行平移和伸縮變換，，；③共做了次試驗(yàn)，數(shù)出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．則A． B． C． D．9．一邊長(zhǎng)為4的正方形，為的中點(diǎn)，將，分別沿，折起，使，重合，得到一個(gè)四面體，則該四面體外接球的表面積為A． B． C． D．10．已知，則的值為A．1 B． C．2 D．11．已知圓在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)作圓的一條切線，交于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，則的離心率為A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則下列錯(cuò)誤的是A． B． C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是減函數(shù)第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.13．已知向量滿足，且是單位向量，若，則．14．關(guān)于雙曲線，四位同學(xué)給出了四個(gè)說(shuō)法：小明：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8；小紅：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；小強(qiáng)：雙曲線的離心率為；小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說(shuō)法錯(cuò)誤，則說(shuō)法錯(cuò)誤的是．（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）15．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為.16．定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，．分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域D，則平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍是___________．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．18.(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，于，，已知，，，．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題滿分12分)某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對(duì)其2023年全年網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所統(tǒng)計(jì)的金額均在區(qū)間，內(nèi)，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）若將全年網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購(gòu)迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購(gòu)迷與性別有關(guān)系？說(shuō)明理由．男女合計(jì)網(wǎng)購(gòu)迷20非網(wǎng)購(gòu)迷47合計(jì)（3）若甲、乙兩位網(wǎng)購(gòu)迷網(wǎng)購(gòu)時(shí)支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網(wǎng)購(gòu)時(shí)采用支付方式相互獨(dú)立．在甲、乙各自獨(dú)立完成的2次網(wǎng)購(gòu)中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數(shù)分別為，，令，求的分布列和數(shù)學(xué)期望下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)點(diǎn)，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在上，記平行四邊形的面積為，求證.（二）選考題:共10分.請(qǐng)考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題給分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)寫出及的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)．23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求證:數(shù)學(xué)（理科）答案1.D2．已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位），其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的模為2，則的最大值為A．2 B．3 C． D．解：且，，即，故點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，又，它表示點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，則的最大值為3．故選：．3.解：由表中折線圖可知，甲組數(shù)據(jù)總體比乙組數(shù)據(jù)高，且甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的振動(dòng)幅度要小，故，．故選：．4.解：不妨以正方體為例，與在平面上的射影互相平行，①正確；與在平面上的射影互相垂直，②正確；如果、在上的射影是同一條直線，那么、共面，③不正確；與在平面上的射影是一條直線及其外一點(diǎn)，④正確．正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．故選：．5.解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是：求出，，，中最大的數(shù)和最小的數(shù)其中為，，，中最大的數(shù)，為，，，中最小的數(shù)故選：．6.解：根據(jù)題意，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動(dòng)，有種情況，再?gòu)氖Ｏ碌?人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動(dòng)，有種情況，則由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的選派方法共有種，故選：．7.解：通過(guò)分析可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到軸距離為，于是可以排除答案，；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在軸上，此時(shí)點(diǎn)到軸距離為0，排除答案；故選：．8.解：把，，代入，得到，如圖：坐標(biāo)為，該圓半徑為，該圓的面積為，則落在該圓的概率為，故選．9．解：如圖所示，由圖可知在四面體中，由正方形，為的中點(diǎn)，可得，，，故平面，將圖形旋轉(zhuǎn)得到如圖所示的三棱錐，其中為等邊三角形，過(guò)的中心作平面的垂線，過(guò)線段的中點(diǎn)作平面的垂線，由球內(nèi)截面的性質(zhì)可得直線與相交，記，則即為三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，連接，，可得，在△中，，故該外接球的表面積．故選：．10．解：，則，故選：．11.解：如圖，設(shè)，，，，，，則，，兩式作差，可得，，則，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，，即，則，設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，連接，則，得，解得或（舍去）．可得，則，，橢圓的離心率．故選：．12.解：令，，則有，又，故，即，令，，則有，即，由，可得，又，故，故正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故正確、錯(cuò)誤、正確．故選：．13．已知向量滿足，且是單位向量，若，則．【正確答案】所以，，又因?yàn)椋?，即，解得，所?14．關(guān)于雙曲線，四位同學(xué)給出了四個(gè)說(shuō)法：小明：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8；小紅：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；小強(qiáng)：雙曲線的離心率為；小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說(shuō)法錯(cuò)誤，則說(shuō)法錯(cuò)誤的是．（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）【正確答案】小強(qiáng)【詳解】假設(shè)小明說(shuō)法正確，則，即，又小紅說(shuō)法正確，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則此時(shí)雙曲線為，則，雙曲線的離心率為，雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，綜上，小明、小紅、小同的說(shuō)法正確的，小強(qiáng)的說(shuō)法錯(cuò)誤.故小強(qiáng).15．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則切線方程為.【正確答案】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以，即，所以，則，，故16．定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，．分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域D，則平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍是___________．【正確答案】.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦公式求出.（2）利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合向量的三角不等式求出區(qū)域D的“直徑”關(guān)系式，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍即得.【詳解】如圖，F(xiàn)，G是AC，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線，設(shè)P，Q分別為、上任意一點(diǎn)，，，即PQ的長(zhǎng)小于等于周長(zhǎng)的一半，當(dāng)PQ與HE重合時(shí)取等，同理，三個(gè)半圓上任意兩點(diǎn)的距離最大值等于周長(zhǎng)的一半，因此區(qū)域D的“直徑”為的周長(zhǎng)l的一半，由正弦定理得：，，，則，由為銳角三角形，得，即，則，，于是，所以平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍是.17.解：（1），當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又………………4分，滿足上式，………………5分即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；………………6分證明：（2），………………8分………………11分．………………12分18.解：（1），為的中點(diǎn)，，，，平面，平面，，，，平面；……5分（2）以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，以射線的方向?yàn)檩S正方向，建立空間坐標(biāo)系，則，0，，，，，，2，，，2，，，0，設(shè)，，則，，，，，，，，，，0，設(shè)平面的法向量，，則令，則，1，平面的法向量，，，，5，，，，令，則，4，……9分由二面角的大小為，得，方程無(wú)解，不存在點(diǎn)使得二面角的大小為．……12分19.某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對(duì)其2023年全年網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所統(tǒng)計(jì)的金額均在區(qū)間，內(nèi)，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）若將全年網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購(gòu)迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購(gòu)迷與性別有關(guān)系？說(shuō)明理由．男女合計(jì)網(wǎng)購(gòu)迷20非網(wǎng)購(gòu)迷47合計(jì)（3）若甲、乙兩位網(wǎng)購(gòu)迷網(wǎng)購(gòu)時(shí)支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網(wǎng)購(gòu)時(shí)采用支付方式相互獨(dú)立．在甲、乙各自獨(dú)立完成的2次網(wǎng)購(gòu)中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數(shù)分別為，，令，求的分布列和數(shù)學(xué)期望下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得．……2分（2）根據(jù)頻率分布直方圖得樣本中網(wǎng)購(gòu)迷的人數(shù)為，列聯(lián)表如下：男女合計(jì)網(wǎng)購(gòu)迷152035非網(wǎng)購(gòu)迷471865合計(jì)6238100解得．……6分有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購(gòu)迷與性質(zhì)有關(guān)系．（3）根據(jù)題意，的可能取值為0，1，2，，，．……9分的分布列為：012．……12分20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，……1分設(shè)，則恒成立，又，…2分所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；…4分（2），設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，…5分又，，所以存在，使得，即，…6分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，…7分所以，…9分所以，即，設(shè)，易知單調(diào)遞增，且，所以，解得，綜上，.…12分21．已知直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)點(diǎn)，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在上，記平行四邊形的面積為，求證.【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為過(guò)定點(diǎn)，依題意，，…2分化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.…4分（2）顯然點(diǎn)不在曲線上，設(shè)