第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念

教材分析

本節(jié)課是在七年級(jí)學(xué)習(xí)平方根的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)二次根式的概念，是初中階段對(duì)“數(shù)與式”的進(jìn)一步拓展，

為后面勾股定理、一元二次方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).本課時(shí)主要對(duì)二次根式的概念以及二次根式有意義的條件

進(jìn)行研究，教學(xué)時(shí)要注意強(qiáng)調(diào)二次根式被開方數(shù)大于等于零，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.

備課素材

GL新課里人設(shè)比

【情景導(dǎo)入】

如果已知學(xué)校正方形花壇的面積為20m2,那么你知道正方形花壇的邊長(zhǎng)是多少嗎？

如果已知學(xué)校圓形花壇的面積為Sm2,那么你知道圓形花壇的半徑是多少嗎？

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：從學(xué)生熟悉的情境入手，感受二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)學(xué)習(xí)二次根式

的必要性.建議：讓學(xué)生相互討論，使學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過(guò)解決所

設(shè)置的問(wèn)題，使學(xué)生充分理解二次根式的概念.

【置疑導(dǎo)入】

1.4的平方根是,0的平方根是,-16平方根.

2.5的平方根是,5的算術(shù)平方根是.

3.若正方形的面積為S,則它的邊長(zhǎng)為.

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：讓學(xué)生在填空過(guò)程中得到一些需要開平方的式子，結(jié)合平方根的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解

所給的式子的實(shí)際意義，從而自然地給出二次根式的概念.建議：讓學(xué)生獨(dú)立完成上述問(wèn)題，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和

評(píng)價(jià).注意讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.

㈡命題熱點(diǎn))

命題角度1用定義判斷一個(gè)式子是不是二次根式

1.下列式子中，不是二次根式的是(C)

A.B.C.X2—1D.^/x2+l

2.下列各式：乖,65,7—3,訴，y/x—1(x2l),yjx2+2x+l中，一定是二次根式的有(B)

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

命題角度2二次根式有意義的條件

3.二次根式十:1中字母x的取值可以是(D)

A.-1C.0D.3

4.要使式子力中有意義，字母x的取值范圍必須滿足x2—3.

命題角度3二次根式非負(fù)性的應(yīng)用

5.已知實(shí)數(shù)m,n滿足|m+3|+)n—1=0,貝!Jm=二n=l.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題16.1第1課時(shí)二次根式的概念授課人

1.理解二次根式的概念.

2.理解并掌握二次根式有意義的條件.

素養(yǎng)目標(biāo)3.通過(guò)對(duì)二次根式的概念的探究，提高數(shù)學(xué)探究和歸納能力.

4.經(jīng)歷觀察、歸納、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和趣

味性.

教學(xué)重點(diǎn)二次根式的概念以及被開方數(shù)的取值范圍.

教學(xué)難點(diǎn)二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生回憶平方根

還記得“廠”表示什么嗎？事又讀作什么呢？你知道平方根和算術(shù)平方根的

回顧

與算術(shù)平方根之間有什么區(qū)別嗎？?jī)?nèi)容，為突破本節(jié)

難點(diǎn)做準(zhǔn)備.

【課堂引入】

請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題：

(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為________,面積為S的正方形的

從學(xué)生已有的知

邊長(zhǎng)為________;

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情識(shí)出發(fā)，由平方根

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m②，則它的寬

境、導(dǎo)入新課過(guò)渡到二次根式

為________m;

的學(xué)習(xí).

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)

與開始落下的高度h(單位：in)滿足關(guān)系式h=5t2.若用含有h的

式子表示t,則t=________.

【探究新知】

1.二次根式的概念

(1)觀察上面得到的式子小，乖，對(duì)，,分別表示什

么意義？它們有什么共同特征？

(2)你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

歸納：一般地，我們把形如雨(a20)的式子叫做二次根式，

“廠”稱為二次根號(hào).

通過(guò)觀察、歸納、

2.二次根式有意義的條件

總結(jié)等過(guò)程,讓學(xué)

問(wèn)題1被開方數(shù)需要滿足什么樣的條件？

生發(fā)現(xiàn)二次根式

問(wèn)題2為什么要滿足這樣的條件？

的概念及有意義

活動(dòng)二：實(shí)踐探問(wèn)題3當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，爐在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？或

的條件，教師提問(wèn)

究、交流新知呢？

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)二次

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)

根式的雙重非負(fù)

數(shù)無(wú)平方根，所以被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù).x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，x2

性,從而培養(yǎng)學(xué)生

都為非負(fù)數(shù)，V7都有意義.x20時(shí)，X，為非負(fù)數(shù)，或有意

的抽象邏輯思維.

義.

總結(jié)：二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

3.乖的雙重非負(fù)性

請(qǐng)同學(xué)們想一想，事有沒(méi)有可能小于零？為什么？

由平方根的意義可得/(a20)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，一

定也是非負(fù)的.由此可得的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)a》0,a

的算術(shù)平方根/'0.

【典型例題】1.典型例題進(jìn)一

例1(教材第2頁(yè)例1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，4口在實(shí)數(shù)范

步鞏固新知，培養(yǎng)

圍內(nèi)有意義？學(xué)生的思維習(xí)慣，

活動(dòng)三：開放訓(xùn)解：由x—220,得xN2.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二次

當(dāng)x22時(shí)，Vx-2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

練、體現(xiàn)應(yīng)用根式相關(guān)概念的

例2若42x—1+W—2x+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿足

理解.

的條件是(C)2.變式訓(xùn)練使學(xué)

J11

A.x三5B.xW]C.x="D.xW]生進(jìn)一步體會(huì)二

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成作答，教師對(duì)二次根式被開方數(shù)大于次根式被開方數(shù)

等于零再次進(jìn)行強(qiáng)調(diào).為非負(fù)數(shù)的條件.

【變式訓(xùn)練】

當(dāng)X是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

x；(2)^/2x—3；(3)^/l+x2；x2.

3

解：⑴xWL(2)x》g.(3)x為任意實(shí)數(shù).⑷一IWxWL

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并作答，教師進(jìn)行提問(wèn)并及時(shí)對(duì)回答正

確的同學(xué)給予肯定.

【課堂檢測(cè)】

1.下列式子中，不屬于二次根式的是(C)

A.^5B.yp

C.廣D.V

2.已知小是二次根式，則a的值可以是(C)針對(duì)本課時(shí)的主

A.-2B.-1C.2D.-7要問(wèn)題，從多個(gè)角

活動(dòng)四：課堂檢

3.已知一個(gè)正方形的面積是6,那么它的邊長(zhǎng)為恒.度，分層檢測(cè)，達(dá)

測(cè)

4?使式子《三有意義的x的取值范圍是x>2.到了解課堂學(xué)習(xí)

效果的目的.

5.已知x,y都是實(shí)數(shù)，且y=7x-2+/—x+3,求x'的值.

解：根據(jù)二次根式的定義，得x—220,2—x20,

所以x=2,y=3.則X"=23=8.

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、

講解.

1.課堂小結(jié)：小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)置

(1)二次根式的概念.能夠讓學(xué)生養(yǎng)成

課堂小結(jié)(2)怎樣求二次根式的被開方數(shù)中字母的取值范圍？自主歸納課堂重

2.布置作業(yè)：點(diǎn)的習(xí)慣，提高學(xué)

教材第3頁(yè)練習(xí)第1,2題.生的學(xué)習(xí)能力.

反思，更進(jìn)一步提

教學(xué)反思

升.

經(jīng)典導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

詳見電子資源

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

教材分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)二次根式的概念之后，繼續(xù)深入探索二次根式的性質(zhì)，利用性質(zhì)來(lái)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，為后

面學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算奠定基礎(chǔ).本課時(shí)從算術(shù)平方根的意義出發(fā)，探究二次根式的兩條基本性質(zhì)，引出代數(shù)式的

概念，使學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)充與發(fā)展.教學(xué)過(guò)程中，教師要注意強(qiáng)調(diào)對(duì)兩條性質(zhì)進(jìn)行區(qū)分，培養(yǎng)學(xué)生的抽

象邏輯思維.

備課素材

⑥新課導(dǎo)入設(shè)比

【置疑導(dǎo)入】

你能指出下列運(yùn)算過(guò)程中的錯(cuò)誤嗎？

1155

(2)2=(一］)2,可以寫為(I—2)2=(2—5)2.

兩邊開平方，得(|-2)2=yj(2-1)2.

所戚-2=2-1,嗎=-1.

學(xué)了今天的內(nèi)容我們就徹底明白以上運(yùn)算為什么錯(cuò)誤了，讓我們進(jìn)入今天的探索吧！

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：設(shè)計(jì)糾錯(cuò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性.建議：教學(xué)中教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極地

投入到觀察、分析、計(jì)算、討論中，讓學(xué)生獨(dú)立應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解決對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，教師最后作適當(dāng)點(diǎn)評(píng).

◎命題熱點(diǎn)〕

命題角度1利用二次根式的性質(zhì)(,)2=a(a20)解題

1.計(jì)算：

⑴)1⑵(34)2；⑶)2；⑷(平)2-

357

解：(1)原式=弓.(2)原式=45.(3)原式=1.(4)原式=彳.

264

命題角度2逆用二次根式的性質(zhì)(6)2=a(a20)解題

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X2-3=(x~^)(X+A/3).

命題角度3利用二次根式的性質(zhì)聲=a(a2O)解題

3.化簡(jiǎn)：

(1)^9；⑵、(—4)2；(3)^25；⑷7(T)-.

解：(1)原式=3.(2)原式=4.(3)原式=5.(4)原式=3.

4.若弋(x—3)2=3—x成立，則x滿足的條件為(B)

A.x》3B.xW3C.x>3D.x<3

金數(shù)學(xué)文化拓展閱詆

根號(hào)的由來(lái)

現(xiàn)在，我們都認(rèn)識(shí)了根號(hào)，并感受到它使用起來(lái)既簡(jiǎn)潔又方便.那么，根號(hào)是怎樣產(chǎn)生和演變成現(xiàn)在這種樣子

的呢？古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“廠”表示平方根.印度人在開平方時(shí)，在被開方數(shù)的前面寫上ka.1480年前后，德

國(guó)人用標(biāo)注在數(shù)字前的一個(gè)點(diǎn)表示平方根，兩個(gè)點(diǎn)表示四次方根，三個(gè)點(diǎn)表示立方根.到十六世紀(jì)初，可能是書寫

快的緣故，小點(diǎn)上帶了一條細(xì)長(zhǎng)的尾巴.1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了根號(hào)，但是他的寫法未

得到普遍認(rèn)可與采納.與此同時(shí)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫R來(lái)表示開方運(yùn)算，并且

后面跟著拉丁文“平方”一詞的第一個(gè)字母q或“立方”一詞中的第一個(gè)字母c來(lái)表示開的是多少次方.直到十七

世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(1596—1650)第一個(gè)使用了現(xiàn)在通用的根號(hào).在一本書中，笛卡爾直接展示了現(xiàn)在所用的

根號(hào)的寫法.這是出于什么考慮呢？有時(shí)候被開方數(shù)的項(xiàng)數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項(xiàng)連

起來(lái)，前面放上根號(hào)]，不過(guò)，它比路多爾夫的根號(hào)多了一個(gè)小鉤，這就是現(xiàn)在的根號(hào)形式.現(xiàn)在所用的立方根

符號(hào)出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀(jì)，才在一些書中看到立方根的符號(hào).之后，現(xiàn)在所用的根號(hào)漸漸使用開來(lái).

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題16.1第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)授課人

1.理解二次根式的兩個(gè)性質(zhì))2=a(a^0)WA/H5=a(a20).

2.會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和化簡(jiǎn).

3.通過(guò)對(duì)聲的化簡(jiǎn)，了解分類討論的思想；利用乘方與開方互為

素養(yǎng)目標(biāo)

逆運(yùn)算推導(dǎo)結(jié)論(4)2=a(a^0),感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

4.經(jīng)歷對(duì)二次根式性質(zhì)的探究活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的探索性和創(chuàng)造性，

體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè).

教學(xué)重點(diǎn)二次根式的兩個(gè)性質(zhì)：(*)2=a(a20),y/a=a(a>0).

教學(xué)難點(diǎn)二次根式性質(zhì)的運(yùn)用與化簡(jiǎn).

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

利用這兩個(gè)式子復(fù)

問(wèn)題：習(xí)算術(shù)平方根的基

回顧1.乖，6有意義嗎？為什么？本形式和二次根式

2.鄧表示的意義是什么？y[a表示的意義是什么？被開方數(shù)的取值范

圍，為學(xué)習(xí)二次根式

的性質(zhì)打下基礎(chǔ).

【課堂引入】

活動(dòng)一：創(chuàng)

根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：為突破本節(jié)難點(diǎn)做

設(shè)情境、導(dǎo)

(幣)2=________;W)2=________;

準(zhǔn)備.

入新課

)2=________；(^0)2=________.

【探究新知】

1.(y[a)2=a(a》0)

皿是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，y[4是一個(gè)平方等

于4的非負(fù)數(shù)，因此有(小尸=4.

活動(dòng)二：實(shí)(1)請(qǐng)同學(xué)們按照這種方法說(shuō)出其他幾道題的做法.

踐探究、交(2)觀察上面幾個(gè)式子有什么共同點(diǎn)？能夠用含字母的式子歸納出來(lái)

流新知嗎？

師生活動(dòng)：組織學(xué)生小組討論思考作答，教師再予以評(píng)價(jià)與補(bǔ)充，最

后一起歸納出二次根式的性質(zhì)L

歸納：一般地，

=a(a，0)

2.y[^=a(a2O)

問(wèn)題1巾=________;y/0.012=________；

N52=--------;價(jià)=---------

通過(guò)問(wèn)題串帶領(lǐng)學(xué)

問(wèn)題2請(qǐng)學(xué)生計(jì)算出上面各式的答案，類比性質(zhì)1的探究過(guò)程，嘗生進(jìn)入數(shù)學(xué)的思考

試用字母a寫出你的猜想.中，引導(dǎo)學(xué)生自主探

22

活動(dòng)二：實(shí)問(wèn)題3N(-4)=________；q(―y)=________.究，小組合作，類比

踐探究、交歸納，發(fā)現(xiàn)二次根式

問(wèn)題4a的取值范圍有什么要求？

流新知的性質(zhì)，鍛煉學(xué)生自

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生類比思考，得出二次根式的性質(zhì)2.

主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)

總結(jié)：當(dāng)a2O時(shí)，=a；當(dāng)a〈O時(shí)，=-a.

其數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)

根據(jù)絕對(duì)值的意義可知：

性.

當(dāng)a》O時(shí)，a=a；當(dāng)a〈O時(shí)，|a|=—a.由此可知：A/P=a.

由于6(a》O)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，根據(jù)平方根的意義

的平方等于a,因此我們就得到一個(gè)結(jié)論：

(^/a)2=a(a20)

3.代數(shù)式

代數(shù)式的定義：用基本運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘

方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，叫做代數(shù)式.

【典型例題】1.典型例題是對(duì)新

例1(教材第3頁(yè)例2)計(jì)算：(l)(Vn)2；(2)(2^5)2.知的運(yùn)用，提高學(xué)生

解：(1)原式=1.5.(2)原式=20.對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用能力，

例2(教材第4頁(yè)例3)化簡(jiǎn)：⑴班；(2)7(-5)2.強(qiáng)化對(duì)兩條性質(zhì)的

解：(1)原式=4.(2)原式=5.理解與區(qū)分.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成作答，教師對(duì)二次根式的兩條性質(zhì)之間的

活動(dòng)三：開區(qū)別作出強(qiáng)調(diào).

放訓(xùn)練、體【變式訓(xùn)練】

現(xiàn)應(yīng)用說(shuō)出下列各式的值：

(1)(―^/o.2)2:(2)—yj(一”)2；(3)^(―1)2；

2.變式訓(xùn)練提高難

⑷弋(m—1)2.

度，拓展思維，進(jìn)一

7

解：(1)0.2.⑵一兀.⑶鼻.(4)|m-l|.

o步加深學(xué)生對(duì)二次

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并作答，并說(shuō)出運(yùn)用的是哪一條性質(zhì)，教師根式兩條性質(zhì)的理

及時(shí)對(duì)回答正確的同學(xué)給予肯定.解與運(yùn)用.

【課堂檢測(cè)】

I.下列式子中，計(jì)算正確的是(C)

A.7一5=一4B.一、JT6=-0.6

C.yj(—13)2=13D.(—小y=36當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固新

2.已知必是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值企1(B)知，靈活運(yùn)用所學(xué)知

活動(dòng)四：課

A.4B.2C.3D.0識(shí)解決問(wèn)題，及時(shí)反

堂檢測(cè)

3.若實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖，見化簡(jiǎn)：qp—b—c=饋學(xué)習(xí)效果，做到

—a+b-c.“堂堂清”.

????___

ab0c.

4.若yj(X—3)2=3—x,則x的取值范圍強(qiáng)xW3.

5.已知一個(gè)圓柱體的體積為V,高為h,求它:的底面半徑r(用含有V

和h的代數(shù)式表示)；當(dāng)V=80“，h=5時(shí)，求底面半徑r的值.

解：圓柱體的體積v=兀ih,所以

把V=80兀，h=5代入上式，得r=4.

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解.

1.課堂小結(jié)：小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)置能

(1)本節(jié)課有哪些收獲？夠讓學(xué)生養(yǎng)成自主

課堂小結(jié)(2)學(xué)習(xí)本節(jié)課后，還有哪些困惑？歸納課堂重點(diǎn)的習(xí)

2.布置作業(yè)：慣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)

教材第4頁(yè)練習(xí)第1,2題；第5頁(yè)習(xí)題16.1第2,4題.能力.

反思，更進(jìn)一步提

教學(xué)反思

升.

經(jīng)典導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

詳見電子資源

16.2二次根式的乘除

第1課時(shí)二次根式的乘法

教材分析

本節(jié)課是在學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次根式的乘法，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)二

次根式的除法、加減法等運(yùn)算做準(zhǔn)備，具有承上啟下的作用，在教材中處于重要的地位.對(duì)于學(xué)生，之前學(xué)習(xí)了二

次根式的性質(zhì)、化簡(jiǎn)，現(xiàn)在所學(xué)的乘法是對(duì)性質(zhì)的應(yīng)用和實(shí)踐.學(xué)生在觀察討論交流的過(guò)程中，能主動(dòng)探索，勇于

發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的遷移和聯(lián)系能力以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

備課素材

GL新課里人設(shè)比

【情景導(dǎo)入】

張大爺有一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)為標(biāo)m,寬為乖m,你能求出菜地的面積嗎？

J6m

J]~5m

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：利用實(shí)際問(wèn)題引入新課，感受二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極

性.建議：讓學(xué)生相互討論，使學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過(guò)解決所設(shè)置的

問(wèn)題，使學(xué)生充分理解二次根式乘法法則學(xué)習(xí)的必要性.

【置疑導(dǎo)入】

1.填空：

(1)^4Xm=6,74X9=6^

(2)716X#=20,，16X25=20;

(3)y[T6dXy/36=60,100X36=60.

2.提出問(wèn)題：你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算、觀察的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題.建議:

教師要使學(xué)生主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并積極發(fā)言，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興

趣，通過(guò)教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，學(xué)生積極開展小組合作學(xué)習(xí)，交流探索新知.

◎命題熱點(diǎn)〕

命題角度1二次根式的乘法

1.下列各等式成立的是(D)

A.4#X24=8#B.5-73X4y12=20書

C.4小X3y[2=7乖D.X4巾=20m

2.計(jì)算：⑴/Xy[16；(2)雄X乖;(3)訴E;(4)-573X6-

b

解：(1)原式=8.(2)原式=2.(3)原式=￡.(4)原式=-10.

命題角度2逆用二次根式乘法法則進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)

3.化簡(jiǎn)：⑴[9X16；(2)^18；(3)麻孑；(4)754.

解:(1)原式=12.(2)原式=34.(3)原式=3|xy|.(4)原式=3季.

命題角度3二次根式的大小比較

4.比較大?。??。?75.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題16.2第1課時(shí)二次根式的乘法授課人

1.理解4,y/b=4m(a'O,b?0),并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

2.利用逆向思維，得出=y/a?y/b(a20,b20),并運(yùn)用它

進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

素養(yǎng)目標(biāo)

3.經(jīng)歷二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的形成過(guò)程.

4.通過(guò)合作探究，激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)合作交

流能力.

教學(xué)重點(diǎn)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)能利用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

二次根式有哪些性質(zhì)？回顧舊知，為學(xué)習(xí)新

回顧

二次根式的性質(zhì)有哪些用法？知做鋪墊.

【課堂引入】

計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)(1)^/1Xy/9=________,74X9=________.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

情境、導(dǎo)入新(2)716X^/25=________,^16X25=________.以及合作解決問(wèn)題的

課(3)725X^/36=________,^25X36=________.好習(xí)慣.

利用多媒體出示問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，并分小組討論，共同發(fā)

現(xiàn)并總結(jié)式子有什么規(guī)律.

【探究新知】

1.二次根式的乘法法則

(1)參考上面的結(jié)果，用“>”或“="填空，并通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)

證.

A/100X標(biāo)_______-^100X36.

弧Xyf0.01A/81X0.01.

(2)你找出二次根式乘法運(yùn)算的規(guī)律了嗎？嘗試寫出含字母的二次根

式等式？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后再小組內(nèi)交流想法，最后全班分享，教師通過(guò)觀察、歸納、總

幫助完善和補(bǔ)充，得出法則.結(jié)等過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)

結(jié)論：一般地，二次根式的乘法法則是現(xiàn)二次根式的乘法法

活動(dòng)二：實(shí)踐

y[a,y[b=y[ab(a>0,b20)貝！1.探究法則的正用、

探究、交流新

2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)逆用，可以培養(yǎng)學(xué)生

知

把6.乖=相反過(guò)來(lái)，可以得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：靈活運(yùn)用代數(shù)法則解

?\/ab=,?4(a20,b20).決問(wèn)題，對(duì)于提高運(yùn)

問(wèn)題1a,b的取值有什么特點(diǎn)？算能力有幫助.

問(wèn)題2為什么要滿足這樣的關(guān)系？

問(wèn)題3積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式的乘法法則在用法上有什

么區(qū)別和聯(lián)系？

總結(jié)：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).

注意：(1)公式中的非負(fù)數(shù)的條件；

(2)在被開方數(shù)相乘時(shí)，就應(yīng)該考慮因式分解(或因數(shù)分解)；

⑶,.乖可推廣為：y[a,-\[b,yjc=#abc(a20,b

20,c20).

1.通過(guò)典型例題和變

【典型例題】

式訓(xùn)練幫助學(xué)生掌握

例1(1)(教材第6頁(yè)例1)計(jì)算：X#；②X^27.

活動(dòng)三：開放解題過(guò)程及書寫格

解：①原式.②原式=3.

訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)式，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生良

⑵(教材第7頁(yè)例2)化簡(jiǎn)：6/16X81；?y/4aV.

用好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

解：①原式=36.②原式=2|ab|福.

2.學(xué)生到黑板演練，

例2(教材第7頁(yè)例3)計(jì)算：

可促進(jìn)學(xué)生之間取長(zhǎng)

⑴/X木；(2)375X2^/10；⑶江-^y|xy.補(bǔ)短，相互借鑒，共

同進(jìn)步.

解：(1)原式=7s.(2)原式=30斕.(3)原式=x/.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥，指定不同學(xué)生到黑板做題，完成后師生

共同評(píng)價(jià).

【變式訓(xùn)練】

1.化簡(jiǎn)4(-2)'X8X3的結(jié)果是(D)

A.2724B.-2^/24

C.一4mD.4乖

2.填空：(1)(qi赤=^/5_;(2):2xy2?^/8xy=4xy\/y.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并作答，教師進(jìn)行提問(wèn)并及時(shí)對(duì)回答正確的

同學(xué)給予肯定.

【課堂檢測(cè)】

1.下列各等式成立的是(D)

A.4小X2乖=8#B.5小X4y/2=20^5

C.4-J3X3/=7乖D.5事X4取=2哪當(dāng)堂檢測(cè)，及時(shí)獲知

2.計(jì)算：(1)^/2Xy/5；(2)A/3X^12；(3)2y[xy..學(xué)生所學(xué)知識(shí)的掌握

活動(dòng)四：課堂解：(1)原式.(2)原式=6.(3)原式=2而.情況，明確哪些學(xué)生

檢測(cè)3.化簡(jiǎn)：(1)弁X^12l；(2)^225；(3)匹；(4)^/16ab2c3.需要在課后加強(qiáng)輔

解：(1)原式=77.(2)原式=15.(3)原式=2、1.(4)原式=導(dǎo)，達(dá)到全面提高的

4be\y[dic.目的.

4.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，而cm和2/cm,則這個(gè)長(zhǎng)方形

的面積為生匠cm)

師生活動(dòng)：學(xué)生完成當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解.

1.課堂小結(jié)：通過(guò)課堂小結(jié)的形

(1)本節(jié)課你學(xué)到了什么？有哪些收獲？式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)

課堂小結(jié)(2)在計(jì)算過(guò)程中，你認(rèn)為應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整

2.布置作業(yè)：理，同時(shí)明確學(xué)習(xí)重

教材第7頁(yè)練習(xí)第1,2題，教材第10頁(yè)習(xí)題16.2第1題.點(diǎn).

教學(xué)反思反思，更進(jìn)一步提升.

經(jīng)典導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

詳見電子資源

第2課時(shí)二次根式的除法

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在二次根式的乘法性質(zhì)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過(guò)前一節(jié)的復(fù)習(xí)，

讓學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，類比二次根式乘法的性質(zhì)，歸納得到二次根式的除法性質(zhì).結(jié)合二次根式的除法性質(zhì)的正用

和逆用進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，是本節(jié)的主線.從化簡(jiǎn)與運(yùn)算引出分母有理化，這是將二次根式化為最簡(jiǎn)二次

根式的必要方法.

備課素材

⑥新課導(dǎo)入設(shè)比

【情景導(dǎo)入】

小明家里有一塊長(zhǎng)方形地毯，已知面積為用1U2,長(zhǎng)為m,寬為多少呢？

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：利用實(shí)際問(wèn)題引入新課，感受二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極

性.建議：讓學(xué)生相互討論，使學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過(guò)解決所設(shè)置的

問(wèn)題，使學(xué)生充分理解二次根式除法法則學(xué)習(xí)的必要性.

【置疑導(dǎo)入】

1.填空：

2.提出問(wèn)題：你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【說(shuō)明與建議】說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算、觀察的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題.建議:

教師要使學(xué)生主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并積極發(fā)言，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興

趣，通過(guò)教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，學(xué)生積極開展小組合作學(xué)習(xí)，交流探索新知.

◎命題熱點(diǎn)〕

命題角度1二次根式的除法

1.計(jì)算:;⑵

解：(1)原式=2.(2)原式=2.

命題角度2最簡(jiǎn)二次根式

2.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是(B)

A.取B.y/13C.y/27D.y[12

3.把下列二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式：

；(2)^32；；(4)^40.

解：⑴'=噂.(2)V^16X2=4鏡.⑶=2x^3x.=^/4X10=

2^（10.

命題角度3二次根式的乘除混合運(yùn)算

⑵原式=<1+耒Y=,汨=鈍=1-

]3__________

(3)原式=5X4X-X^/6X124-2=3標(biāo)=3X6=18.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題16.2第2課時(shí)二次根式的除法授課人

1.理解意=yjl（aNO,b〉0）,并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.利用逆向思維，得出—宗（aNO,b〉0）,并運(yùn)用它進(jìn)行

素養(yǎng)目標(biāo)

解題和化簡(jiǎn).

3.掌握用從特殊到一般的方法，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

4.通過(guò)合作探究，激發(fā)求知欲，了解類比思想.

教學(xué)重點(diǎn)二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì).

能利用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根

教學(xué)難點(diǎn)

式.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

復(fù)習(xí)二次根式的乘

回顧計(jì)算:(1)^14X^2；(2)3^/6；(3)^/3x?.