文科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前、考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼貼在條形碼

區(qū).

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知全集U={M<x<6，xeN},A={2,3},3={2,4,5},則@可。嘰（）

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D,{2,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由并集和補集的定義求解即可.

【詳解】因為U={x[l<x<6,xeN}={2,3,4,5},A={2,3},3={2,4,5},

故gA={4,5},所以（，力uB={2,4,5}.

故選：D.

A.2&B.2C.72D.1

【答案】C

【解析】

22/~

【詳解】因為幣=1,所以用故選C.

【考點定位】本小題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模的概念，復(fù)數(shù)在高考中主要以小題形式出現(xiàn)，屬容

易題，主要考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義與四則運算是等基礎(chǔ)內(nèi)容.

3.某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的人與自然和諧共生的發(fā)展理念，對該地企業(yè)已處理的廢水進行

實時監(jiān)測.對當(dāng)?shù)丶?、乙兩家企業(yè)20天內(nèi)已處理的廢水的某項指標值的檢測結(jié)果如下圖，則下列說法正確

的是（）

57789

6899

7999

87889

95

甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)？?葉圖乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

A.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72

B.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于80

甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)大于乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)

D.不低于80的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)，甲企業(yè)多于乙企業(yè)

【答案】C

【解析】

【分析】求得甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)判斷A；求得甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)判斷B；求得甲乙企業(yè)樣本數(shù)

據(jù)的眾數(shù)判斷C；求得甲乙兩企業(yè)不低于80的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)判斷D.

72+74

【詳解】對于A：甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是-------=73,故A錯誤;

2

對于B：甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:

-1

%=—(57x2+58+59+66+68x2+69x2+72+74+79x4+87+88x2+89+95)=74,

故甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)小于80,故B錯誤；

對于C：甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為79,由頻率分布直方圖可得乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75,故C正確;

對于D：不低于80的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)甲企業(yè)為5個，乙企業(yè)為20x（0.02+0.005）x10=5,故D錯誤.

故選：C.

4.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3

的倍數(shù)的概率為（）

12

AB.一D.-

-I343

【答案】B

【分析】利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式即得.

【詳解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2

4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種結(jié)果,

其中數(shù)字之和為3的倍數(shù)的有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5),共5種結(jié)果，

故抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為2=工.

153

故選：B.

5.函數(shù)/(￡)=卜+:卜05%的部分圖象大致是()

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A；由特值法可排除B；當(dāng)x>0,且X趨近。時，所以/(￡)>0可排除

C,即可得出答案..

【詳解】/(可=、+：卜05%的定義域為3%/0},

所以〃龍)為奇函數(shù)，故A錯誤；

當(dāng)%>0,且尤趨近0時，x+—>0,cos%>0,

X

所以/(x)>0,故C錯誤,

當(dāng)x=2兀時，I7r+^jcos7t=-f27t+^-1<0,故B錯誤.

故選：D.

6.由直線y=x上的一點P向圓（X—4了+丁=4引切線，切點為Q,貝||PQ|的最小值為（）

A.72B.2C.76D.2亞

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，求得閘=力2"=加_4,由此可知d=J備=20時，|PQ|取得最

由已知有：圓的圓心（4,0）,半徑為r=2,直線的一般方程為x—y=0,

設(shè)點尸到圓心的距離為d,則有PQLCQ,所以|尸0=7[7=獷7，

所以d取最小值時，|PQ|取得最小值，

因為直線上點P到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，

所以d=^U=2夜，故I尸Q|的最小值為=J，二2.

V1+1

故選：B

7.若正項等比數(shù)列｛叫滿足a“4+i=22"則數(shù)列｛4｝的前4項的和S4的值是（）

L15X/2L1-

A.1572B.C.8A/2D.60+6

4

【答案】A

【解析】

?2(n+1)

【分析】設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的公比為q>0,由4Mm=22"(〃eN*),可得a~a求解

4。"+12

可得4,進而可求得明，可求得數(shù)列｛%｝的前4項的和S4的值.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛%J的公比為q>0,

2n+1

an?()

n+1+2

因為anan+l=22"(“eN*),所以?=—=4=/,

anan+l2

解得4=2,所以42、2=22"(4>0),

2n-l2-1

所以?！?2亍，所以4=2三=應(yīng)，

所以$4=3(1-24)=15血，

所以數(shù)列｛%,｝的前4項的和$4的值為15&.

故選：A.

8.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.48+871B.48+16兀C.64+871D.64+16兀

【答案】C

【解析】

【分析】由三視圖可知，該幾何體是一個正方體截去兩個半圓柱，結(jié)合圓柱的表面積公式計算即可求解.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個正方體截去兩個半圓柱，

其表面積為2x4?+2><271><4+2（42-22兀）=64+8兀.

故選：C

22

9.已知雙曲線=-七=1(°>0/>0)的左、右焦點分別為耳(―2,0),耳(2,0),尸為雙曲線上位于第二象限

ab

內(nèi)的一點，點。在y軸上運動，若|為2|+|。6|-歸耳|的最小值為半，則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=+yf2xB.y=+2%C.y-±VlTxD.y—±2^3%

【答案】C

【解析】

【分析】由|「。|+|。8|一|尸片閆尸《|一|尸耳|=2。，可求得。，再由左、右焦點分別為

月(-2,0),8(2,0),可求得c,進而求得力，可求雙曲線的漸近線方程.

【詳解】作出雙曲線的示意圖，如圖所示：

連接尸工,因為|「。|+|。8I—|PK必尸鳥|一|尸耳|=2a,

當(dāng)且僅當(dāng)尸,。,馬在同一直線上時取等號，

又IPQI+IQ凡I-1代1的最小值為38,

3

所以2a=冬回，所以。=立，

33

又因為雙曲線的左、右焦點分別為片(-2,0),且(2,0),

10.將函數(shù)y=siMx-cos2x的圖象向右平移，篦(加＞0)個單位長度后得到的圖象與y=sin2x的圖象關(guān)于原

點對稱，則〃2的最小值是()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件利用二倍角公式化簡求出函數(shù)的解析式/（X）=-cos2x,根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律結(jié)

合誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)論.

【詳解】令/（DusinA-cos?%,則有/（x）=-cos2x,

設(shè)"％）向右平移m伽＞0）個單位長度后得到的函數(shù)為g（X）,

則有=-cos[2（x-m）]=-cos（2x-2m）,

根據(jù)已知條件g（x）圖象與y=sin2x的圖象關(guān)于原點對稱，

則有g(shù)（x）=-sin（-2x）=sin2x,即-cos（2x-2m）=sin2x,

所以-2zn="1?+2E（左eZ）,解得機=—E（左eZ）,

3兀

又因為相＞0,所以當(dāng)左二一1時，機取最小值為一.

4

故選：B

11.在一個圓錐中，。為圓錐的頂點，。為圓錐底面圓的圓心，P為線段的中點，A￡為底面圓的直徑，

ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，A5=,給出下列結(jié)論:①BEH平面PAC；②。A，平面PBC；

③圓錐的側(cè)面積為也兀；④三棱錐尸—ABC的內(nèi)切球表面積為（2-退）兀.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理求得圓錐的底面半徑，從而求的圓錐的高，再計算出圓錐的側(cè)面積即可判斷③；采

用反證的方法可判斷①；根據(jù)線面垂直的判定定理可判定平面尸5C判斷②，求出三棱錐尸-ABC

的各個面的面積及體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷④.

【詳解】由ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，AB=AD=6，

AUN—7

設(shè)圓錐的底面半徑為「，則可得------=2r,即也,則r=1，

sin60—

2

因為AD=y/3,故局DO=,3-1=V2，

所以圓錐的側(cè)面積S側(cè)=兀八4￡）=6兀，故③正確；

假設(shè)5石〃平面上4C,由于BEu平面ABC,平面ABCc平面Q4C=AC,

WBEIIAC,則NB￡A=NEAC,而因為AE為底面圓的直徑，ZABE=90，

又/胡。=60，且/胡。=/歷1石+/￡4。=/84石+/5石4=90°（矛盾），故BE、AC不可能平

行，

故假設(shè)不成立，所以BE與平面PAC不平行，故①錯誤；

因為尸為線段。。的中點，故PA=PB=PC=、"+^=^,

V42

則上好+/=3=AB?,PA2+PC2=3^AC2，PB?+PC?=3=BC"

故，Q4B，AB4C,PBC均為直角三角形，即上4_LP5,PA1PC,

又PBcPC=P,P3,PCu平面尸5C,所以以，平面P3C,故②正確；

又SABC=^x百義百sin60=-^->SPAB=SPAC=SPBC=々乂*乂1=['

乙l"乙乙乙1"

v3DC_1V23A/3_76

V

P-ABC=[SAflc-PO=-X--X,

JJZ4o

設(shè)三棱錐尸—ABC的內(nèi)切球的半徑為R,則V1P-_/A1BQCL=-(\S.A/1BQCL+SlpAlxBLJ+SPrZAivC.+S1PDBl_Cx/}R,

V|_if空p瓜

即+3x-R‘解得R=D

83I447

所以三棱錐尸一ABC的內(nèi)切球的表面積S=4兀A?=4兀x（2—0）兀，故④正確.

故選：C

12.已知正數(shù)。滿足〃lnZ?=Z?e'=c〃，則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】法一：由。1也=皿得c=lnA,構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx—x(x>0),求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單

調(diào)性求最值，進而比較b、J由或=加。兩邊同除以be得巴=二，構(gòu)造函數(shù)g(x)=J(元>0),求導(dǎo)

bex

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值，進而比較人、a,由此可比較〃，b,。的大小.法二：化c=lnb為

b=e°，作差法并構(gòu)造函數(shù)Mx)=eX-M%>0),求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，比較b、c大小，再利用

作差法比較”、Z?大小，即可比較。，b,c的大小.

【詳解】法一：

由alnZ?=ca得c=lnb,令/(x)=lnx-x(x>0),則尸(力=1^,

當(dāng)x?O,l)時,明勾>0,"%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,y)時，/'(力<0,7(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/^("=/(1)=一1，所以/(x)K—1在(0,+“)上恒成立，

所以/。)<0,即lnb<b,所以c=ln/?<b,所以/7>c；

zycx

由ca=加。兩邊同除以A得9二e上，令g(x)=e

bex

則g，⑺=:(：T)(%〉0),所以g⑺2e在(0,+功上恒成立,

當(dāng)xw(O,l)時,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)龍G(l,+30)時，g'(X)>0,g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以gmin(%)=g⑴=e，所以g(x)2e在(0,+O0)上恒成立,

cc

所以g(c)>l,即J〉l,所以q='〉lna〉6,從而a>b>c.

cbc

法二：

由alnZ?=c〃得c=lnb,即b=e°，所以Z?-c=e0-c

令/z(x)=0),”(x)=e*-l(x>0),

當(dāng)X￡(0,+00)時，/ir(x)>0,/z(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以/?(%)>/z(0)=0,所以/z(c)=e'—c>0,

則有Z?—c=e‘一c>0=>Z?>c;

Q2C

由bec=ca得e°?e°=ca，即a=——

c

因為e0>0，c>0,ec-c>0>所以a-b>0,即。>b

故a>"c.

故選：A

【點睛】方法點睛：比較大小時，可根據(jù)數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值比較大小.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y-4<0

13.已知實數(shù)x,y滿足約束條件X—y20,則z=x+2y的最大值為.

y>0

【答案】6

【解析】

x+y-4<0

【分析】作出實數(shù)x,y滿足約束條件,-丁30對應(yīng)的平面區(qū)域，然后數(shù)形結(jié)合即得.

y>0

"x+y—4?0

【詳解】作出實數(shù)尤，y滿足約束條件丁20對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

y>0

,?1z

由z=x+2y,侍>=x-\—,

22

|71Z

平移直線y=—QX+由圖象可知當(dāng)直線y=—QX+萬經(jīng)過點A時,

1z

直線y=--x+—的截距最大，此時z最大.

22

x+y-4=0

由＜，得A（2,2）,

x-y=Q

此時z的最大值為z=2+2x2=6,

故答案為：6.

14,等差數(shù)列｛%｝的前幾項和為=7,&=7。2,則。6=-

【答案】13

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的前幾項和和等差中項的性質(zhì)求出公差，再由等差數(shù)列的通項求出最后結(jié)果即可.

【詳解】因為｛4｝為等差數(shù)列，

所以S5="%；生）_5a3=7出,

所以g=5,

所以d—CI3—=2,

所以R=%+32=7+6=13,

故答案為：13.

15.已知平面向量a=（sinacosd）為=（3,1）,若。//。，貝Ucos，cos［，-；］=.

【答案】正##'行

55

【解析】

【分析】由平行向量的坐標表示可得tan6=3,再由兩角差的余弦公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解即

可.

【詳解】因為平面向量a=（sinacosd）為=（3,1）,若

所以sing-3cos6=0,所以tan6=3,

ffj-VXcos0cos［0-^-\=cos6^^cose+g^sin。

I4；I22J

cos28+cosOsin。、?l+tane、_0n+3、_02_VI

VU+tan^J-VLi+9j-VX5

cos2+sin20,

故<答案為：立

5

16.已知橢圓。：=+與=1（?！?〉0）的左、右焦點分別為耳、鳥，點在。上，且

ab

FXF2=3MN,FXMLF2N,則橢圓。的離心率為.

【答案】石-行##-五+君

【解析】

【分析】延長耳M,^N交于點B,由題意可求出三,曰］,因為點M在C上，代入橢圓的方程，化簡

即可得出答案.

【詳解】延長耳M,gN交于點B,因為片鳥=3兒W,所以|NAf|=g,

所以點8在y軸上，因為耳所以△8心心為等腰直角三角形，

JT

所以NM1P=—,過點M作MP，耳心交片工于點尸，

4

所以畫=府='，所以三審；因為點M在C上，

C24c2C24c2

所以J+竺y=l,即4+=9,

9a29b2a2a2-c2

2

則。2（片-c2^+4a2c2=9?a2—c2

BP14?2C2-C4-9?4=0，即e‘一14e2+9=0,

所以J=*-=7土2A/I3，因為0<e<l,所以/=7—2JH，

所以e=y/5—y/2,■

故答案為：J?-行.

M/\\N

kFXP\oF2）X

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（―）必考題：共60分.

17.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和數(shù)字化技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)直播成為了一種新型的營銷形式，因其更低的營銷成本,

更快捷的營銷覆蓋而深受商家青睞.某電商統(tǒng)計了最近5個月某商品的網(wǎng)絡(luò)直播線上月銷售量y（單位：千

件）與售價%（單位：元/件）的情況如下表所示.

售價X（元/件）5349515047

月銷售量y（千件）597109

（1）求相關(guān)系數(shù)小并說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)川6[0.75,1]時，可以認為兩

個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相關(guān)性）（精確到0.01）；

（2）建立V關(guān)于*的線性回歸方程，并估計當(dāng)售價為52元/件時，該商品的線上月銷售量為多少千件？

一（七一元）（%-9）

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%y）（i=l,2,3,…,〃），相關(guān)系數(shù)/―1---------------1---------------，其回歸直線

1

y=bx+a\的斜率和截距的最小二乘估計分別為:b='n,a=ybx.

￡a-元『

Z=1

515J，yT）2=4，&"2.236.

參考數(shù)據(jù)：=1986年（七一向一=275,

i=lVi=l

【答案】（1）r=-0.78,可以

（2）6.6千件

【解析】

5

【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)易計算得到；,7,再利用相關(guān)系數(shù)公式r=|$汩|5，等價轉(zhuǎn)化

Jx,.y,,-5xy

i=l

,從而代入已知數(shù)據(jù)可計算得到相關(guān)系數(shù)，然后通過題目中給的條件來

vi=lVz=l

判定相關(guān)性的強弱，來決定是否用線性回歸模型擬合.

5

Z&-元）（x7）

（2）直接使用斜率和截距的最小二乘估計公式6=上J-------------和a=y-加，來進行計算求出線性

可之

1=1

回歸方程，當(dāng)x=52時，代入線性回歸方程，計算得出月銷售量的估計值.

【小問1詳解】

53+49+51+50+47“―5+9+7+10+9

由已知得x==50,y=-------------------=8.

5

55_

Z（%—可5-歹）砂

則相關(guān)系數(shù)r="TI5=I5TI5

臥-于四3一寸a一寸出3一百

1986—5x50x8_-14___7__7

2后4—86一4百一4x2.236

因為上|>0.75,所以y與x有很強的線性相關(guān)性，可以用線性回歸模型擬合.

【小問2詳解】

55

1為「可（”歹）］9廠5雙1986-5x50x8-14

由干人二—-----------------二—............=-----------------=-----二-

出丁55/f—\2”

2（"才：￡（玉-葉僅⑹20

1=11=1

a=y—左=8-（-0.7）x50=43,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=_Q.7x+43，

當(dāng)x=52時，^=-0.7x52+43=6.6，

故當(dāng)售價為x=52元/件時，該商品的線上月銷售量估計為6.6千件.

同c

18.請在①2?！?=200053,②-----=tanC+tanB，③6sin（A+3）=3-2cos2—三個條件中選擇

ccosB2

一個，補充在下面的問題中，并完成解答.

ABC的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別是a,b,c,已知.

（1）求角C；

（2）若6=4,點￡>在邊A3上，CD為NACB的平分線，△CDB的面積為區(qū)3,求邊長。的值.

3

【答案】（1）答案見解析；

（2）a=2.

【解析】

【分析】（1）選①，利用余弦定理求解即得；選②，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求解即得；選③，

利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式，結(jié)合輔助角公式計算即得.

（2）利用三角形面積公式建立方程求解即得.

【小問1詳解】

/,22

選①，由2a—Z?=2ccos3及余弦定理，得2a-6=2c---------------,

2ac

2.7221

整理得片+從一°2=曲，則cosC="一°」，

2ab2

而Ce（O,兀），所以C=g.

選②由Vlu=tanC+tan3及正弦定理，得衛(wèi)則_=2叫+反叫，

ccosBsinCcosBcosCcosB

岳inA=%CB+g=sinA,而sinA>0,cos於0,貝

sinCcosBcosCcosBcosCcosBsinCcosC

即tanC=百，又Ce（O,兀），所以C=g.

c

選③，由Gsin（A+3）=3—Zcos?',得瓜詁。=2—cosC，即石sinC+cosC=2，

于是2sin（C+'）=2,即sin（C+至）=1,而Ce（0,兀）,。+工e（二,獨），

66666

所以。+巴=/，即。=q.

623

【小問2詳解】

在一ABC中，由點。在邊AB上，CD為/ACB的平分線，得=5AAe0+S/c。，

即LabsinP=La-CDsin^+LA-C￡>sinP,則工心CD+CD=嗎，

2326264

又S&cDB='a.CD=空,聯(lián)立消去。>得4——g=0,

△CDB4333

而a>0,解得a=2,所以邊長a=2.

19.如圖，直三棱柱ABC-A^IG中，A5=BC,點M在線段4。上，且點M為&A&G的重心,

AXC±AM.

A

（1）證明：Ac1ABi；

（2）若C4=A5=6,求三棱錐用—A3M的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵3娓

【解析】

【分析】（1）推導(dǎo)出與。人4G，與。，AA,從而得到4。，面ACC4,進而得到與A。，再結(jié)

合題干條件，可證出4。，面AA。，由此得證所需結(jié)果；

（2）根據(jù)等體積法可知LLABM=%.A期，又因為M在AC上的三等分點的位置，根據(jù)相似關(guān)系可知三棱

錐M-ABB,的高是三棱錐C-ABB,高的;，通過求三棱錐C-ABB,的體積，可得三棱錐M-ABB,的體

積，即為所求幾何體體積.

【小問1詳解】

證明：延長40交AG于點。，連結(jié)與。，

點、M為A&G的重心，???￡＞為AG的中點，

由BA=BC得B]D人AG，

直三棱柱ABC-4與。1中，A&J_平面44，

A4jnAG=A，AGu平面AjCjCA,

B[D1平面AjQCA,又?.?ACu平面AG。4，

.,.BQ±4。，

又AC_LAD,ADc4￡>=￡）,且AD、耳。（=平面4與。,

.?.AC,平面AB]。，又；Agu平面AB1。，

.-.ABX1*.

小問2詳解】

解：由△AC"sA，41=*nAC2=cM.,

ZvliCc4i又CM=2AM,

21421C.^i

即6舷4^=36,%=幾，故01=24=2^,

所以朋=y/CA^-AC2=7（376）2-62=30，

則匕ABM^VMABB=~VCABB~SAABB-h~XABXBB,X—■AB346

bI一/\D1VLIVL-/\DDy3C<—ADD^/\/\f>r>11g1

故三棱錐B「ABM的體積為3指.

20.已知拋物線。：/=20；5〉0）上一點。到焦點產(chǎn)的距離為2,點Q到y(tǒng)軸的距離為

（1）求拋物線C的方程；

（2）過尸的直線交拋物線。于A3兩點，過點B作X軸的垂線交直線AO（。是坐標原點）于。，過A

GD

作直線。尸的垂線與拋物線C的另一交點為E,直線BD與AE交于點G.求的取值范圍.

GB

【答案】（1）￡=2〉

⑵（1,2）

【解析】

【分析】（1）設(shè)。（%,%），由題可得＜"可二2,代入拋物線方程解得：上1,從而得到拋物線方程;

闖=島

,1

（2）設(shè)直線AB：y=kx+^,設(shè)A（%，X）,5（X2，%），聯(lián)立，y=KX+—

2,可得玉+%2=2左，七％2=-1，

X?=2y

進而可得,且年=%，結(jié)合條件可得"=2%+%+1,從而得到

。，，3

幽=%%.11，進而即得.

\GB\%+%+12%+1

【小問1詳解】

%+日=2丫一2—"

為2,

設(shè)。（1，%），則有,L即《

聞=島闖=①

則有=2p\2-^\^p2-p=Q,解得p=l或2=0（舍）.

，拋物線。的方程為好=2y

【小問2詳解】

設(shè)直線AB：y二丘+；,設(shè)A（石,％）,5（入2。2），

x2一2區(qū)一1二0，

??X]+X2=2左，%]%2=—1.

M%

直線Q4：y=—x=—x,

玉2

因為。尸，AE，所以七E=X2

即直線AE：y-yt=x2(x-xl).

為=2%+%+L

c3

...+

GB\%+%+1

23

.|GD而i+24y；+6%+2]11

"\GBJ_+y+i4y；+4%+l2y1+T

A十%十,

4%

2%+le(l,+8),則7^=1+

(jrZ)Zyi+1

GD/、

所以r的取值范圍為(1,2).

Gn

21.已知函數(shù)〃%)=lnx+@-1(〃￡R).

(1)當(dāng)。=2時，求函數(shù)/(%)在x=l處的切線方程；

⑵設(shè)函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/''(%),若/'(石)=/'(42)(工戶》2)，證明：/(^)+/(^2)+—>1.

【答案】(1)y=-x+2

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先由解析式求/。)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由點斜式求切線方程；

(2)由/'(%)=/'(%2)可得a—+—=1，由此證明/(xj+/(x2)>ln(4a2)_i,設(shè)

\X1X2J

g(a)=ln(W)+--2,利用導(dǎo)數(shù)證明g(a"O,由此證明結(jié)論.

【小問1詳解】

2

當(dāng)4=2時，/(x)=ln%+——1,則/⑴=1.

而/‘(x)ms，所以<'⑴=-L

所以在尤=1處的切線方程為y—1=—(%—1),即y=-x+2.

【小問2詳解】

因為'且/'(內(nèi))=/'(/)(%W%)

4]-4/1人？

1a1a11aa

所以-----2=-----T，所以------=—----2=CL

再再入2%2石%2%九2

因為石w犬2，Xj>0,x2>0,

(11、

所以a—I----1=>。>0.

(石Xl)

aia

所以/(%)+/(々)=1%H--------F111%2-I-------2=ln(x1x2)-l.

所以再%>4片,

所以/(%)+/(%2)=皿％尤2)-1>1口(4。2)-1.

設(shè)g(a)=ln(4/)+，_2=21na+，+21n2—2.

r【f(\212Q_1

則g(?)=----Q=——?

aaa

當(dāng)時，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減；

當(dāng)時,

aeg+sg'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)a=5時，g(a)min=g0.

所以ln(44)+4—220,

所以In（4a~）—1H—21,即/（xj+f—>1.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：

（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；

（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；

（3）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

（4）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

記分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.如圖，在平面直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，極軸所在的直線為x軸，建立極坐標系，曲線

G是經(jīng)過極點且圓心C|在極軸上，半徑為1的圓；曲線是著名的笛卡爾心形曲線，它的極坐標方程為

Q=l-sine(ee[0,27r]).

（1）求曲線的極坐標方程，并求曲線和曲線C2交點（異于。點）的極徑;

71

X=tCOS—

6

(2)曲線的參數(shù)方程為《（為參數(shù)），若曲線