海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高三第二學(xué)期期末練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合"={一1，°，1，2},5={乂。"“<3},若4。8,則。的最大值為（）

A.2B.OC.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可得aW-1求解.

【詳解】由于所以aW—1,

故。的最大值為-1,

故選：C

2

2.在（x——）5的展開式中，尤的系數(shù)為（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

【答案】A

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì).

5

【詳解】設(shè)（X--）的通項(xiàng)1+1,則Tk+l=C*5-1_2XT，化簡得Tk+l=C'（一2『-/2L,

X

令人=2,則x的系數(shù)為C；（—2）2=40,即A正確.

故選：A

'3\x<0,

3.函數(shù)〃x）=blY是（）

…〉。

A.偶函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)B.偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

C.奇函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)D.奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計(jì)算以及極值點(diǎn)定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)尤W0時(shí)，一x>0,則/'（—x）=（—）-'=3工=/（功，

當(dāng)x>0時(shí)，—1<0,則/(-x)=3一*=(―)A=J(x),

所以函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn).

故選：B.

4.已知拋物線必=4>的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A在拋物線上，|4n=6,則線段A廠的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

57,

A.—B.—C.3D.4

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，再求AE中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可.

【詳解】拋物線好=4》的焦點(diǎn)尸（0,1）,又|AF|=l+%=6,解得%=5,

故線段AF的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為巨?=3.

2

故選：C.

3

5.在中，AB=4,AC=5,cosC=-,則的長為（）

4

3

A.6或萬B.6C.3+372D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

【分析】用CB，C4表示A3,根據(jù)C4-Cfi=0,結(jié)合已知條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.

【詳解】由題可知，CACB=O'

故00.48=[201+(1_%)051(03_04)=_鼻04『+(1_2)口5『=_8/1+8(1_/1)=_16/1+8,

故一164+8=4,解得4=工.

故選：B.

8.設(shè)｛4｝是公比為q(qw—l)的無窮等比數(shù)列，S”為其前九項(xiàng)和，4〉0.則“q>0”是“S”存在最小值”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前九項(xiàng)和公式判斷即可

【詳解】若q〉0且公比q>0,則a“=au"T〉o,所以S.單調(diào)遞增，S“存在最小值S「故充分條件

成立.

2<1￥2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Sn=~aX1+1-1，S〃單調(diào)遞減，故最大值為〃=1時(shí)，$=4,而

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S,=gq1-出,S“單調(diào)遞增，故最小值為〃=2,S]*,

所以S“的最小值為gq,

即由%>0,S”存在最小值得不到公比q>0,故必要性不成立.

故q〉0公比“4〉0”是“5“存在最小值”的充分不必要條件.

故選：A

9.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤?,對于函數(shù)/(力圖象上一點(diǎn)(七,%)，若集合

｛keRlM尤—尤o)+陽W/W，VXGD｝只有1個(gè)元素，則稱函數(shù)〃尤)具有性質(zhì)紇.下列函數(shù)中具有性

質(zhì)《的是(

A./(x)=|x-l|B./(x)=lgx

C./(%)=x3D.f^x)=-sin-|x

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)性質(zhì):的定義，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.

【詳解】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)片，則/(%)的圖象不能在過點(diǎn)(1,7。))的直線的上方，且這樣的直線

只有一條；

對A：/(x)=|x—1］的圖象，以及過點(diǎn)(1,0)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)(1,0)的直線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對B：/(x)=lgx的圖象，以及過點(diǎn)(1,0)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點(diǎn)(1,0)的直線，使得/(九)的圖象都在該直線的上方，故B錯(cuò)誤;

對C：/(x)=d的圖象，以及過點(diǎn)(1,1)的直線，如下所示：

%>2al

%滿足1%22%>4a｛，取附的最小值8囚；

%>2a5>4%>8q

同理,取。9的最小值16%；

所以q+/+%+%+。9=4+2%+46+84+16%=31%,

為滿足。422%,取〃4的最小值22；

a,>2名

〃6滿足<c4，因?yàn)椤?<0，所以24>4%,取&的最小值2%；

a6>2%24%

%22%

。8滿足｛a8-2a4-4<21，因?yàn)椤?<。，所以2%>42>82，取。8的最小值2%；

/22as24%28〃]

同理，取。1（）的最小值2%；

所以出+%+%+必+^io=%+2%+2%+2a2+2a2=9%，

所以510—31%+9G2—3所—94=22al,

因?yàn)閿?shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，所以當(dāng)q=1時(shí)，Ho有最小值22.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：Sl0有最小值的條件是確保各項(xiàng)最小，根據(jù)遞推關(guān)系aj>24分析可得奇數(shù)項(xiàng)的最

小值與偶數(shù)項(xiàng)的最小值，從而可得Ho的最小值.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

H.若（x+i）2=2i（xeR）,則％=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于x的方程組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)椋▁+i）2=2i,

所以V+2jd+i2=2i,即以=l+2jd=2i,

%2-1=0&/

所以《，解得x=l.

[2x=2

故答鄉(xiāng)言為:1.

2

12.EL知雙曲線C:土—y2=i,則。的離心率為___________；以C的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線C

4

的漸無生線相切的圓的方程為___________.（寫出一個(gè)即可）

g]①.日②.（x+火）2+y2=1或（（X—府+9=1）

【答鄉(xiāng)

m斤】

【分今斤】根據(jù)離心率的定義求解離心率，再計(jì)算焦點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.

岸】。：二一/=1的離心率為年1=好，又漸近線為y=^x,即x—2y=0,

【詳詢

4-V42-2

/l\/l\k/5-2x0

故焦F氣（V5,0）與（一J?,0）至Ux—2y=0的距離均為；；=1，

如+（-2）

則以（[一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線C的漸近線相切的圓的方程為（x+J?）2+/=i或

（X-、后）2+V=i,

蒼為：與；（%+喬）2+（2=]或（（兀_6）2+（2=]）

故答3

13.EL知函數(shù)/（%）=cos2x+asinx.

（i）若〃=0,則函數(shù)/（力的最小正周期為__________.

（ii）若函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,兀）上的最小值為—2,則實(shí)數(shù)。.

【答招①.兀②.-2

【解1斤】

【分本斤】根據(jù)二倍角公式即可結(jié)合周期公式求解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.

cos2Y+]27r

【詳詢岸】當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=cos2%=^y—，所以最小正周期為7=m=兀，

=cos2x+asinx=一sin2x+asinx+1=一（sinx—+1+（,

/（X；

當(dāng)XW[0,兀）時(shí)，sin%e（0,1],且二次函數(shù)開口向下，

要使彳導(dǎo)"％）在區(qū)間（0,兀）上的最小值為—2,則需要1-守葭-0,

且當(dāng)sin%=l時(shí)取最小值，故—1+Q+1=—2,解得。二一2,

故答案為：兀，-2

14.二維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由“2(〃WN*)個(gè)黑

白方塊構(gòu)成的"X"二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成2胎

個(gè)不重復(fù)的二維碼，為確保一個(gè)"X"二維碼在I分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于A,則〃的最小值為

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得竺轡〈士，即可由不等式求解.

22

【詳解】由題意可知〃的二維碼共有2層個(gè)，

216X601

由一一<鏟可得x60x215<2/=>60<2"2-31，故川一3126=>/37，

22

由于〃eN*，所以7,

故答案為：7

15.如圖，在正方體ABC?！?4GR中，尸為棱A3上的動(dòng)點(diǎn)，平面，PCQ為垂足.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

Ac,

4pB

①AQ=CQ；

②線段。。的長隨線段好的長增大而增大；

③存在點(diǎn)p,使得5。；

④存在點(diǎn)P,使得尸。//平面

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面2PC的法向量坐標(biāo)，進(jìn)而求出

點(diǎn)。的坐標(biāo)，再逐一計(jì)算判斷各個(gè)命題即得答案.

【詳解】在正方體ABC。-44G2中，令A(yù)3=1,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AP=?04rW1),則D(0,0,0),C(O,1,0),Dt(0,0,1),P(l,t,0),CDt=(0,-1,1),CP=(l,t-l,0),

n-CD.=-y+z=0

令平面2尸。的法向量〃=(x,y,z),貝"，取y=l,得〃=(1一/,1,1),

n-CP=x+(/_l)y=0

由DQ,平面，PC于。，得。。=沏=((1—7)%/1,/1),即Q((1T)X,4；1),

Ce=((l-r)2,2-l,2),顯然CQf=(l_f)24+/l_l+/l=0,解得」=?_]；+2,

于是"("1)2+2'(-1)2+2'("1)2+2)，

對于①，|RQ|=J(17)2%1)2=5(17)222+(彳_1)2+%=|CQ|，①正確;

1

對于②，IDQI="_I；+3J(IT)2+I+I在［0,1］上單調(diào)遞增，②正確;

對于③，而4(1,0,0),3(1,1,0),AQ=((1-02-1,2,2),BQ=((1-r)2-1,2-1,2),

AQ-BQ=[(1-r)2-1]2+2(2-1)+22=(t2-2t+3)22-(3-2t)A+1=0,

顯然△=?—24—4(產(chǎn)—2/+3)=-4-3<0,即不存在使得AQ*BQ=0,③錯(cuò)誤;

對于④，平面的一個(gè)法向量力c=(0,l,0),ffi]P2=((i-r)2-i,2-r,2),

由PQ?DC=X—7=0,得2=t,即f=7~^―,整理得/一2產(chǎn)+3/—1=0,

(/-1)+2

令/⑺=/—2/+3t—1,/e[0,1],顯然函數(shù)/⑺在[0,1]上的圖象連續(xù)不斷，

而/(0)=-1<0,/(1)=1>0,因此存在次(0,1),使得/?)=。，此時(shí)尸Q<Z平面RD4,

因此存在點(diǎn)P,使得尸Q//平面RD4,④正確.

所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及探求幾何體中點(diǎn)的位置問題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明空間

位置關(guān)系的方法解決.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=2cos2曹+J§sin(yx(o>0),從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為己知，使函數(shù)/(X)存在且唯一確定.

(1)求0的值；

(2)若不等式/(x)<2在區(qū)間(0,加)內(nèi)有解，求加的取值范圍.

條件①：/(y)=2；

條件②：y=/(x)的圖象可由y=2cos2x的圖象平移得到；

條件③：/*)在區(qū)間(―二與內(nèi)無極值點(diǎn)，且/C)—2=/(—=)+2.

3663

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)條件選擇見解析，。=2；

兀

⑵(§，+8).

【解析】

TTTT|

【分析】(1)選條件①，由cos(—。--)=—的解不唯一，此條件不符合題意；選條件②，由周期求出0；

332

選條件③，由給定等式確定最大最小值條件，求出周期范圍，由給定區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)求出周期即可.

(2)由(1)求出函數(shù)Ax)的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.

【小問1詳解】

依題意，f(x)=coscox+V3sin&>%+1=2cos(j)+l,

選條件①，由f(—)=2,得2cos(—co—)+1=2,即cos(—co—)=—,

333332

于是一?！?—+2E,4eN或一?！?---1-2foi,eN*,顯然0的值不唯一，

333333

因此函數(shù)〃戈）不唯一，不符合題意.

選條件②，>=/（尤）的圖象可由y=2cos2x的圖象平移得到，

2兀

因此y=/（x）的最小正周期為函數(shù)y=2cos2x的最小正周期兀，而。>0,則——=兀，

G）

所以<9=2.

選條件③，“X）在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，且/（$—2=/（—三）+2,

'11JIJIJI

則/（：）—/（—彳）=4，即函數(shù)人%）分別在％==——時(shí)取得最大值、最小值，

6363

JTJT

于是fM的最小正周期T<2x]——（——）]二兀,

63

TTTT7T7T

由/⑴在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，得了（%）的最小正周期T22x[——（——）]二兀，

3663

因此T=兀，而G>0,

所以G=2ZE=2.

T

【小問2詳解】

jIjIjIjI

由（1）矢口/Cx）=2cos（2元一§）+1,由1￡（0,加），得2九一§￡（一耳，2根一耳），

TT]

由不等式/'（X）V2在區(qū)間（0,tn）內(nèi)有解，即cos（2x——）<—在區(qū)間（0,相）內(nèi)有解，

32

JC7L兀

則有2加——>-,解得相>—,

333

JT

所以加的取值范圍是（g,+oo）.

17.在三棱錐P—A5C中，46=%=2,/為針的中點(diǎn).

（1）如圖1,若N為棱尸C上一點(diǎn)，且MNLAP,求證：平面BAWL平面PAC；

P

圖1

（2）如圖2,若。為C4延長線上一點(diǎn)，且尸01平面ABC,AC=J5pA=2,直線PB與平面ABC所

TT

成角為:，求直線CM與平面P3C所成角正弦值.

6

⑵告

【解析】

【分析】(1)根據(jù)LAP和MNLAP,可證線面垂直，即可求證面面垂直，

7T

(2)根據(jù)線面角的幾何法可得/尸8。=—,建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求

解.

【小問1詳解】

超差BM,MN,BN.

因?yàn)?為針的中點(diǎn)，所以

又MNLAP,MNcBM=M,MN,BMu平面RWN,所以AP1平面BAW.

因?yàn)锳Pu平面PAC

所以平面6/VCVJ_平面PAC.

【小問2詳解】

因?yàn)镻01平面ABC,OB<=平面ABC,OCu平面ABC,

所以PO，OB,PO±OC,NPBO為直線PB與平面ABC所成的角.

TT

因?yàn)橹本€PB與平面ABC所成角為:，

6

兀

所以/PBO=—.

因?yàn)镻3=2,所以P。=1,03=6.

因?yàn)镴5PA=2，所以O(shè)A=1.

又AB=2,故AB?=052+042

所以06LQ4.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則A（0』,0）,3（60,0）,C（0,3,0）,P（0,0,l）,

所以PC=（0,3,—1）,BC=（-73,3,0）,MC=k|,-1j.

X

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（羽y,z）,貝U

n-PC=0,[3y-z=0,

<即<r令y=l,則〃=

n-BC-0,—y/3x+3y-0.

設(shè)CM與平面P5c所成角為e,則

|MC.?|1

sinS=|cosMC,n|=?__V|

呵”「后+；屈13,

JI

所以直線CM與平面PBC所成角的正弦值為注.

13

18.圖象識別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識

別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)

據(jù)如下表（單位：張）：

結(jié)果

男女無法識別

真實(shí)性別

男902010

女106010

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨(dú)立的.

（1）從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識別結(jié)果為女性，求識別正確的概率；

（2）在新一輪測試中，小組同學(xué)對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當(dāng)首次出

現(xiàn)識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設(shè)X表示測試的次數(shù)，估計(jì)X的分布列和數(shù)學(xué)期望

EX；

（3）為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%,判定為女性的概率為

50%）.

現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性、女性照片的數(shù)量之比為1:1）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一、方

案二、方案三進(jìn)行識別，其識別正確的概率估計(jì)值分別記為化,。2，。3?試比較的大小.（結(jié)論不要

求證明）

3

【答案】（1）-

4

（2）分布列見解析；E（X）=—

16

⑶2＞。3＞。1

【解析】

【分析】（1）利用用頻率估計(jì)概率計(jì)算即可

（2）由題意知X的所有可能取值為L2,3,分別求出相應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可

（3）分別求出方案一、方案二、方案三進(jìn)行識別正確的概率，然后比較大小可得

【小問1詳解】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有20+60=80張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為

女性的概率為黑=1.

804

【小問2詳解】

設(shè)事件A:輸入男性照片且識別正確

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，P（A）可估計(jì)—

由題意知X的所有可能取值為1,2,3.

尸（X=1）=|，P（X=2）=%.1,P（X=3)=*=>

所以X的分布列為

X123

331

P

41616

33121

所以E(X)=lx三+2x3+3x—=—.

',4161616

【小問3詳解】

P，>p3>

19.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn).以E的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三

角形，且其周長為6vL

（1）求樟圓E的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)M（2,0）的直線/（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)AC,與直線x=16交于點(diǎn)

尸.點(diǎn)B在＞軸上，。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形A3CD是菱形.求證：直線尸。過定點(diǎn).

【答案】(1)—+^=1

86

（2）證明見解析

【解析】

c1

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長以及等邊三角形的性質(zhì)可得2a+2c=66■，且一=—,即可求解”,仇c

a2

得解,

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N,進(jìn)而根據(jù)菱

6t（8

形的性質(zhì)可得5D的方程為y+不一-=-t\%-，即可求解50,

3r+413r+4

D.進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線PD方程，即可求解.

【小問1詳解】

22

由題意可設(shè)橢圓E的方程為=+%=1（。〉?！?）,0?=/一層.

ab

因?yàn)橐訣的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長為6近，

C]

所以2。+2。=6A/2,且一=—,

a2

所以a=20,c=JL所以/=6.

22

所以橢圓E的方程為土+工=1.

86

【小問2詳解】

設(shè)直線I的方程為X二9+2"w0）,

14（14、

令x=16,得,=—,即尸[16,「-J.

242

由,3x+4y=^i|/3/+4）/+12ty-12=0.

x=ty+2'7

I2t12

設(shè)A（內(nèi)，x），c（%,%），則%+%=一~r^，%%=一—r^-

設(shè)AC的中點(diǎn)為N(%,%)，則%==”=―

8

所以退=0^+2=鏟百.

因?yàn)樗倪呅蜛5CD為菱形，

所以N為的中點(diǎn)，AC1BD.

所以直線的斜率為一九

6t8

所以直線BD的方程為y+―一7

3r+4

St6t_2t

令％=。得y二.所以3

3d+43r+4-3』+4

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(%”)，則5=2&=，％=2%—另出=一/匕，

1414f

所以直線9的方程為卜?=戶留口—16)'即y="x—4).

所以直線P￡＞過定點(diǎn)(4,0).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法：

(1)引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)

系，找到定點(diǎn).

(2)特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

20.已知函數(shù)九)=ln(九一a)+2j3a-x(a>0).

(1)若。=1,

①求曲線產(chǎn)/(%)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程；

②求證：函數(shù)〃力恰有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)若/(X)Wlna+2a對xe(a,3a)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)①,=2；②證明見解析

(2)

【解析】

【分析】(1)①求導(dǎo)，即可求解斜率，進(jìn)而可求直線方程，②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即

可，

⑵求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)g(x)=j3a—尤—(x—a),x?a,3a),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得外力的最大值

為/(Xo)=M(Xo-a)+2(Xo—a)，對。分類討論即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=In(x-1)+2>j3—x.

11

①r(x)=

x—1y/3—X

所以〃2）=2，r（2）=0.

所以曲線y=/（x）在點(diǎn)（2,/（2））處的切線方程為尸2.

②由①知—D+-7^=,且/（2）=0.

X—1x/3—x

當(dāng)工￡(1,2)時(shí)，因?yàn)?--->1>I------，所以/?%）＞。；

X-L73—x

/、1?1

當(dāng)xe（2,3）時(shí)，因?yàn)椋?所以以（x）＜0.

所以/(%)區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(2)=2,/(3)=ln2>0,/(l+e-)=—3+2,2--3<-3+2忘<。

所以函數(shù)/(九)恰有一個(gè)零點(diǎn).

【小問2詳解】

由f(x]=ln(x-a)+2y/3a-x得f'(x)=~7~:戶

[x-a)y/3a-x

設(shè)g(x)=13a_x_(%_a),xe(a,3a),則^f(x)=---1<0.

所以g(x)是(a,3a)上的減函數(shù).

因?yàn)間(a)=-Jia>0,g(3a)=-2a<0,

所以存在唯一/e(a,3a),g(九0)=J3a-%-(xo-tz)=O.

所以/'(%)與的情況如下：

X（。,X0）%(%,3a)

/'(x)+0-

/(x)極大

所以〃力在區(qū)間(a,3a)上的最大值是

/(x0)=ln(x0-?)+2yl3a-x0=ln(x0-a)+2(x0-a).

當(dāng)aNl時(shí)，因?yàn)間(2a)=G-a<0,所以x(,<2a.

所以/(x0)<ln(2a-a)+2(2a-a)=ln?+2a.

所以/(x)W/(Xo)Wlna+2a,符合題意.

當(dāng)0<。<1時(shí)，因?yàn)間(2a)=G-a>0,所以與〉2a.

所以/(Xo)>ln(2a-a)+2(2a-a)=lna+2a,不合題意.

綜上所述，a的取值范圍是[L+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和

放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

21.設(shè)正整數(shù)422,ai,diGN*,A={M尤=q+(左一1)4,左=1,2,},這里7=1,2,，”.若

uu

AAU4=N*,且4cAz=0(iwi<，則稱4,4…,4具有性質(zhì)尸.

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，若A，4,A具有性質(zhì)產(chǎn)，且q=l，a2=2,%=3,令m=d[d2d3,寫出，〃的所有

可能值；

(2)若4,4,…，4具有性質(zhì)p：

①求證：at<dt(f=1,2,???,/!)；

②求￡了的值?

i=i4

【答案】(1)27或32

72+1

(2)①證明見解析②——

2

【解析】

【分析】(1)對題目中所給的A，4，，4,我們先通過分析集合中的元素，證明qW4(i=l,2,,〃)，

E—=1,以及=工一，然后通過分類討論的方法得到小問1的結(jié)果；

,=i4,=i42

(2)直接使用(1)中的這些結(jié)論解決小問2即可.

【小問1詳解】

對集合S,記其元素個(gè)數(shù)為例.先證明2個(gè)引理.

引理1：若4,4,?,4具有性質(zhì)尸，則444?=1,2,,n).

引理1的證明：假設(shè)結(jié)論。工4[=1,2,,〃)不成立.

不妨設(shè)白〉4，則正整數(shù)。1一4任4，但4。4口-UA,=N*,

故卬-4一定屬于某個(gè)不妨設(shè)為a.

則由4-4C4知存在正整數(shù)左，使得%—4=a2+(k-l)d2.

這意味著對正整數(shù)C=6-4+482，有。=%-4+44=4+(4—1)4eA，

c=%-4+44=a,+(左一1)4+4。2=W+(%+4-1)〃，但44=0,矛盾.

所以假設(shè)不成立，從而一定有444。=1,2,,〃)，從而引理1獲證.

引理2：若4,4，-,4具有性質(zhì)P,則工7二1，且二二.

-汩4日42

證明：取集合T=口,2,...，44..4}.

dd

注意到關(guān)于正整數(shù)k的不等式0<4+(左—1)dt<4d2-4等價(jià)于1一?<左<1—彳+d'2；"，

(_/?,ii

a.

而由引理1有q<4，即-

結(jié)合是正整數(shù),知對于正整數(shù)左，1—?〈左<i—?+也嚴(yán)當(dāng)且僅當(dāng)左〈也嚴(yán)=4,

44&444

這意味著數(shù)列/=at+(%—1)4(k=1,2,...)恰有H項(xiàng)落入集合T,即|Tc聞=[.

而4,4,,4兩兩之間沒有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，

故T中的元素屬于且僅屬于某一個(gè)a(""〃)，故|Tc4+|Tc闋+…+|TcAj=|T|.

所以J+J+...+?=rc聞+pc闋+...+pc4i=團(tuán),

11I1

從而萬+7+…+:=1,這就證明了引理2的第一個(gè)結(jié)論;

?Ct(L/C〃

再考慮集合T中全體元素的和.

心.心.I1)

一方面，直接由7={12...，4%??4}知7中全體元素的和為即ZJ

22

另一方面，Ted的全部B個(gè)元素可以排成一個(gè)首項(xiàng)為％,公差為4的等差數(shù)列.