高三年級

數(shù)學(xué)

準(zhǔn)考證號

姓名________

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼

粘貼在答題卡上的指定位置。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={幻號,,()},5={x|y=log3，-9)},則Ap|(48)二

A.[-2,3]B.(-2,3]C.(-2,4]D.[3,4]

2.已知正方形ABC。的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為邊4。和8c的中點(diǎn)，則該橢圓的

離心率為

A.顯B.包C.HD.在

2222

3.下列說法中錯誤的是

A.獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異

B.兩個變量x,y的相關(guān)系數(shù)為「，若團(tuán)越接近1,則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.若一組樣本數(shù)據(jù)(％,yj(i=l,2,3,…的樣本點(diǎn)都在直線y=O.98x+3上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)

r為0.98

D.由一組樣本數(shù)據(jù)(七,yj(i=l,2,3,…/)求得的回歸直線方程為y=0.98x+3,設(shè)％=0.9胱+3,

則---------<1

?=i

4.在四棱錐P-ABCO中，PA_L底面A3CO,四邊形A8CO是矩形，且4)=2A3,點(diǎn)E是棱BC上的

動點(diǎn)：包括端點(diǎn))，則滿足心_LOE的E點(diǎn)有

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.已知等差數(shù)列｛凡｝的公差不為0,生024=°，給定正整數(shù)小使得對任意的(〃<用且加>2)

都有4+出+…+。〃=4+。2+.成立，則m的值為

A.4047B.4046C.2024D,4048

6.已知函數(shù)/(幻=108/4'+1)-；X，若成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

44

A.(-oo,—2]B.(―co,-2](J[0,4-00)C.[—2,—]D.(—<x>,—2]U[],+°°)

7.2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標(biāo)賽(第三站)開賽，比賽結(jié)束后，其中5男3女共8

位運(yùn)動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運(yùn)動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列

方法共有

A.732種B.2260種C.4320種D.8640種

8.已知圓C(x-2)2+(y-2)2=4,直線/：(m+2)x—沖-4=0,若/與圓C交于4,8兩點(diǎn)，設(shè)坐

標(biāo)原點(diǎn)為。，則IOA|+21的最大值為

A.4x/3B.6>/3C.45/15D.2屈

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖，在正方體A8CO—AUG"中，P為線段4G的中點(diǎn)，Q為線段BQ上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),

則

A.存在點(diǎn)Q,使得PQ,BDB.存在點(diǎn)Q,使得PQJ_平面4片￡。

C.三棱錐QXPO的體積是定值D.二面角。—AG—。的余弦值為g

10.已知復(fù)數(shù)z，z2,Z3,則下列說法中正確的有

A.若Z[Z2=Z[Z3，則Z]=0或Z2=Z3B.若馬二一,+走],則z324=一,一正j

2222

C.若Z：+Z；=0,則Z[=Z2=0D.若幺4=々4,則|zJ=|Z2|

11.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,7(x-巴)為奇函數(shù)，y(x+—)為偶函數(shù)，當(dāng)xe(-二，巴］時，/(x)=cos-x,

44443

則

A./(X+471)=/(X)B./(%)的圖象關(guān)于直線工=三對稱

4

37r

C.f(x)在區(qū)間(彳,2兀)上為增函數(shù)D.方程八幻一lgx=O僅有4個實(shí)數(shù)解

乙

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量〃=(0,4),h=(3,-7),若(2〃+6)_L(〃+4),2eR,則％=.

13.若直線y=如十"是函數(shù)/(x)=的圖象的切線，則機(jī)+〃的最小值為.

22

14.已知點(diǎn)P是雙曲線C：鼻一』=l(a>0,b>0)上一點(diǎn)，6,尸2分別是C的左、右焦點(diǎn)，設(shè)N耳尸居=9,

若的重心和內(nèi)心的連線垂直于入軸，則cos。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

如圖，四邊形A8CO是邊長為2的正方形，石為邊CO的中點(diǎn)，沿4E把△ADE折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的

兀

位置，且NE4B=—.

3

(I)求證：PE_L平面尸48；

(II)求三棱錐E-PAB的表面積

16.(15分)

7T

如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓。，圓0的半徑R=2,ND4B+NABC=-,CD=2.

2

(I)求NOBC的大小以及線段AB的長；

(II)求四邊形A8CD面積的取值范圍.

17.(15分)

某射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知其每次命中目標(biāo)的概率均為'.

2

(I)若該運(yùn)動員共射擊6次，求其在恰好命中3次的條件下，第3次沒有命中的概率；

(II)該運(yùn)動員射擊訓(xùn)練不超過〃(〃2100)次，當(dāng)他命中兩次時停止射擊(射擊〃次后，若命中的次數(shù)

不足兩次也不再繼續(xù))，設(shè)隨機(jī)變量X為該運(yùn)動員的射擊次數(shù)，試寫出隨機(jī)變量X的分布列，并證明

9

18.(17分)

Inx+In6/+1

已知函數(shù)/

x

(I)當(dāng)4=1時，請判斷了(X)的極值點(diǎn)的個數(shù)并說明理由；

(II)若/3)22/-。恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(17分)

2

已知兩條拋物線C：y2=4x,C2:x=4y.

(I)求G與G在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo).

(II)已知點(diǎn)4,B,。都在曲線G上，直線和4C均與G相切.

(i)求證：直線BC也與C?相切.

(ii)設(shè)直線AB,AC,8C分別與曲線G相切于短，E,尸三點(diǎn)，記的面積為加，△￡)所的面積

S

為S?.試判斷小是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

高三年級

數(shù)學(xué)?答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.答案B

解析由題意知A=(-2,4],8=(YO,—3)U(3,+8),所以。8=[-3,3],所以AC為8=(-2,3].

2.答案C

解析設(shè)正方形的邊長為2,橢圓的長半軸長為半焦距為c(c>0),則2r=2,2。=1+逐，

所以離心率e=￡==產(chǎn)=苴二i.

a1+V52

3.答案C

解析易知A,B,D項(xiàng)正確，C項(xiàng)中相關(guān)系數(shù)廠=1.

4.答案B

解析如圖，連接AE.由已知可得PAA.DE,又所以。七_(dá)1_平面24后，所

以DELAE,所以點(diǎn)E在以A。為直徑的圓上，又由幾何關(guān)系可知，以A。為直徑的圓與直線BC相切，

故滿足條件的點(diǎn)E只有1個.

解析不妨設(shè)〃〉加一〃，由題意知〃?1_“+1+〃時?2+…+4=0，所以。吁“+1+4=0，因?yàn)楣睢ü?,

且。20、4=0，所以4+々4047=0，所以〃!一〃+1+〃=4048,所以加=4047.

6.答案B

41+1

x

解析f(x)=log4=log4(2+2-9，所以f(T)=/(x)，即/(%)為偶函數(shù)，因?yàn)閥=2'+2r在

(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(a—1),J(2〃+1)等價于|。一1|,,|2。+1|,

所以層一2。+1?4。2+4。+1,所以3。2+6〃20,所以或%-2.

7.答案D

解析根據(jù)題意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運(yùn)動員在“3男1女”這一排中.先

確定“3男1女”這一排，排列方法有C；C；C；A；=360種,再確定“2男2女”這一排，排列方法有3A；A；=12

種，因此，不同的排列方法總數(shù)為2x360x12=8640.

8.答案D

解析圓。：。-2)2+(丁-2)2=4的圓心為。(2,2),半徑為2,直線/的方程可化為川*一y)+2工一4=0,

所以/過定點(diǎn)(2,2),所以|。。|=2&,|A8|=4.因?yàn)?。6=。印+03,所以

4OC=OA+OB2+2OA-OB,又AB?=OA?+08?-2QAO3,所以

|OA|2+|OB|2=-(4|OC|2+MB|2)=24.設(shè)|OA|=2#cos。，|(9fi|=2>/6sin6>,結(jié)合圖形可知|

2

\OA\.\OB\e(2^-2,272+2).所以|OA|+21031=2病sin(6>+e),,2廊，其中tane=5，當(dāng)

。+°=四時等號成立，此時tan，=2,|。4|=2遙x[=2場￡(20-2,2&+2),符合條件，即

2V55

|Q4|+2|O4|的最大值為2回.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選

對的得部分分，有選錯的得0分.

9.答案BD

解析對于A,若PQ1/BD,因?yàn)?。0平面AGB，所以BO〃平面AGB,矛盾，故A錯誤.

對于B,易知AB_L平面45?。，當(dāng)。為8G的中點(diǎn)時，PQ//A.B,此時PQ_L平面4片。刀，故B

正確.

對于C,Q在線段BG上運(yùn)動，若三棱錐。?APQ的體積為定值，則BQ0平面APO,顯然不成立，故C

錯誤.

對于D,二面角Q-AG-。即二面角B-AG一。，連接BP,OP,BD,則BP_LA,G，DPIA.C,,

所以NBPD為所求二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2,則32=。尸二G，BD=26,由余弦

定理可得cosN8PO='，故D正確.

3

10.答案ABD

解析對于A,Z[Z2=4Z3OZ]（Z2-Z3）=0=Z[=0或Z2=Z3,故A正確.

對于B,方法：Z?=---—i,z：=l,zf—i,所以z：以3為周期，所以

2222

2024=z3x674+2=2=_1_>^L故B正確.方法二（復(fù)數(shù)的三角表示）：Z尸COS型+iSin,所以馬

2233

。O/I

的模為1,輻角為絲,則z；°24的模為1,輻角為」x2024=2兀x674+」，所以

333

20244兀..4711^3.

z,=cos—+isin—=------------1.

13322

對于C,取Z]=l,z2二i,則z；+z；=0,此時z尸z2,故C錯誤.

2Z2

對丁D,Z,Z,H2]|，z22H^2I?所以Z[Z]=72與3Z1Z?I,故DIE確.

11.答案ACD

解析因?yàn)?（尤一百）為奇函數(shù)，所以/（?的圖象關(guān)于點(diǎn)（一￡,0）中心對稱，因?yàn)?5+工）為偶函數(shù)，所

444

以/（上）的圖象關(guān)于直線冗=色對稱.可畫出），=/0）的部分圖象大致如下（圖中.r軸上相鄰刻度間距離均

為

對于A,由圖可知/（X）的最小正周期為2兀，所以/。+4兀）=/（幻，故A正確.

3兀

對于B,/（幻的圖象關(guān)于點(diǎn)（一,0）中心對稱，故B錯誤.

4

對于C,由圖可知f（x）在區(qū)間（g,2兀）上單調(diào)遞增，故C正確.

對于D,lg—<1g—<—,lg—>lg5>—,1g—<1,lg47c>lglO=l.由圖可知，曲線y=lgx與

422422

y=/(x)的圖象有4個交點(diǎn)，所以方程」(X)-lgX=O僅有4個實(shí)數(shù)解，故D正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.答案-2

?2?2——

解析由題知a=16,b=58,〃力:-28,

?????2?2??

(2a+b)\a+Ab)=2a+勸+(24+1"必=32+58-—28(24+1)=0,所以之=一2.

13.答案1一！

e

解析r(x)=l+e-\設(shè)切點(diǎn)為(質(zhì),%)，則，切線方程為y-%=(l+ef)(x-%),所

-v,

以/n=l+e』，n=-(14-x0)e,所以m+〃=1一用用一",令g(x)=l-心一"則g'(x)=(x-1把一”,得

g(X)min=g(D=l--，所以加+〃的最小值為I-'.

ee

7

14.答案(§』)

解析設(shè)C的半焦距為c(c>0),離心率為e.如圖，設(shè)重心為。，內(nèi)心為/,則。，。，P共線.因?yàn)?Q_Lx

軸，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則%=再=〃，再由重心的性質(zhì)知與=3。，由烏一獸二1，可得

a~b

力=2揚(yáng).所以|尸耳|2=(3a+c)2+(2&)2=9a2+&c+/+8(c2-a2)=(3c+a)2,所以

八(3c十〃)'十(3c--4c'75十/716

\PF\=3c+a所以|PKI=3c-a.cos0=----------------------=--——-=-+-----——因

lt2(3c+a)(3c-a)9/_〃299(9/-1)

7

^je2€(l,+co),所以cos0￡(一,1).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解析(I)由題可知E4_LPE,

PE=DE=l,BE=4EC?+BC2=6,

-AP=AB,NPAB，,.?.△248為等邊三角形，..依二2,

3

:.PB2+PE2=5=BE2,S.PBA-PE.

???依0%=尸，??尸石，平面叢B.

(IDvPElPB,PE上PA,PA=PB,

,0-S△4E=S^PBE=—PAxPE=1，

Sw=gPAxP5xs嗚="

5A印=—DAxAB=2,

三棱錐E-PAB的表面積S=S^PAE+S.PBE+S△"B+S&PAB=l+l+2+J5=4+6.

16.解析?(I)由題易知NABCv巴.

2

C1

由正弦定理得sinNO8C=—=-=-,.*.ZDBC=-.

2/?426

兀兀兀

.../DAB+ZDBA=ZDAB+NABC-NDBC=-------=-

263

NADB=n-(NDAB+ZDBA)=y,

AB=2RxsinZADB=4x—=2y/3.

2

(II)方法一：延長AZ),BC,交于點(diǎn)￡

TtIT

???NZ)48+NA8C=—,ZAEB=-.

22

設(shè)NZMB=a,ABcosaxABsincr=6sinacosa=3sin2a

;四邊形4BCD內(nèi)接于圓0,:.ZECD=ZDAB=a,

?'△CDE=；O￡xCE=；CZ)sinaxCOcosa=2sinacosa=sin2a.

S四也形A5CO=SAABE:ASE=2sin2a,

aw弓百，「.Zaw邑號,

o333

S四邊形sG(6,2],即四邊形ABCD面積的取值范圍是(52].

方法二：連接OA,OB,OC,OD.

由已知可得NAO8=@,△08是等邊三角形.

3

7T

設(shè)4。。二6，則N8OC='-6,

3

,,S九邊形AO8CD=S&OAD+S4OBC+^OCD

二[2sin0+sin(——夕)]+>/3,

SfOB=；Wsin^=>/3,

乙J

S四過形A8C。=S五邊形AO8C。-S^ACB

IT7T

=2[sin0+sin(——6)]=2sin(6+—),

33

V6>G(0,-),/.6>+-G(-,—),

3333

S四邊形口e(x/3,2J,即四邊形ABCD面積的取值范圍是(6,2].

方法三：設(shè)=ZABC=/7,則a+〃=Z.

2

由正弦定理得DB=2/?xsinZDAB=4sina，

S△小JDBXBAXsinZDBA=46sinasin(夕--),

26

I2itit

S&DBC=~DCxDBxsinZ.CDB=4sinasin(兀一4——)=4sinasin(--/7),

S?=s,+S△皿=4氐inasin(pq)+4sinas嗚M)

4-73cospsin()ff--)+4cospsin(--p)

63

=4cos/?(-|sin/一日cos/+點(diǎn)cos￡—gsin夕)

=4cos/ysinp=2sin2y^,

??/屋百，..2匹百號,

6333

S四邊形八池G(6,2],即四邊形ABCD面積的取值范圍為(百,2].

17.解析(I)設(shè)第，?次射擊時命中目標(biāo)為事件4,該運(yùn)動員射擊6次恰好命中3次為事件比

P(8)=C申1一夕=得，

_5

哂|8)=返用」.

P(B)5_2

16

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為2,3,4,5,…，〃.

尸(X=Z)=CL(；)I.；=(A—1)(；)\2張女n-1,ZEN*,

P(X=〃)=CLg)〃T+(?-=/.

.,?隨機(jī)變量X的分布列為

(A:-1)(-/,2^〃一l,〃wN”,

P(X=k)=\2

?-l1〃2

E(X)=^k(k-\)(-)k+—r-

k=2乙Z

2

方法「方X)=辦伏-1)(夕+白W-2)(1/+9=g伏+1)2伏+2)nr

H---------79

〃一

k=2//￡=2乙乙k=22J2”2

."2_吟+工=2_”<2.

22"一2"-22"-2

?-iI?Ii

方法二：=1)(-)'=1x2x(-)2+2x3x(-)3+.?+(/7-2)(n-l)(-)n-',?

#=22222

則,S=1X2X(-)3+2X3X(i)4++(n-2)(〃-1)(-)M,②

2222

①一②，得《S=g+4x(g)3+…+2(〃_2)x(g)〃T_(〃_2)(〃_])(g)”,

4T=4X(1)3++2(/?-2)x(lr-1,

22

則，7=4乂(％++2(”2)x(,

22

得3f++0"一"-2)(夕

2

(z?-2)(n-l)n2+n+2

,\S=4-

TT~x

???E(X)=2>d)(5)、k4―一+尹<、?

#二2乙乙乙乙乙乙

18.解析(I)當(dāng)。=1時，f(x)=e，-1+I0％,XG(0,+OO),f\x)==1,lnV

XX"x~

令/?(A)=x2ex+Inx,則“(x)=(x2+2x)er+—，

x

當(dāng)xw(0,+oo)時，hr(x)>0,h(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

又?.?力(g)=手一ln2<0,MD=e,//(x)存在唯一零點(diǎn)小,且與￡(；」)，

當(dāng)上￡(€),/)時，/Xx)<0,/(幻單調(diào)涕減，

當(dāng)xe(%,+8)時，ra)>o,/(幻單調(diào)遞增.

二.『(1)有一個極小值點(diǎn)與,無極大值點(diǎn).

-，/、arlnx+lna+l、c一如一

(II),/f(x)=ae------------------22/2-a恒成立，

x

axettr-[ln(av)+1及2。2彳一辦恒成立，arear-[ln(ar)+1]+ar22a恒成立.

令，=公，則fw(0,+oo),「.24，e‘一-”里+1恒成立.

t

設(shè)g(x)=e-電葉L由(I)可知g(x)的最小值為g(%).

x

r,n

又力(玉))=+Inx()=0,xoe°="。=--!-g/=-e-*°Inx0.(?)

%o%o

設(shè)機(jī)(x)=xe“，當(dāng)x>0時，m\x)=(x+l)eA>0,.,.加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.%e(g,l),再>0,-In