銅川市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共4頁(yè)，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={12**={用2%—3<0},若A°B=B,則實(shí)數(shù)m的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求解一元二次不等式解得集合8,再根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合集合的并運(yùn)算，逐個(gè)分析即可.

【詳解】依題意8={x|-l<x<3},由=可得mwB,

當(dāng)加=0時(shí)，符合題意，A正確；

當(dāng)m=1或2時(shí)，不符合集合中元素的互異性，從而排除B,C項(xiàng)；

當(dāng)772=3時(shí)，7〃已3,從而排除D項(xiàng).

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由z(l-i)=4i求出復(fù)數(shù)z,從而可求得其所在的象限

2

【詳解】由z(l-i)=4i,得z=-^―=—電。+D—=2i+2i=-2+2i,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-2,2）,位于第二象限,

故選：B

3.己知雙曲線。：/+乙=1（〃，。0）的一條漸近線方程為＞=&%,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

m

A.（±G,0）B.（0,±A/3）C.（±1,0）D.（0,±l）

【答案】A

【解析】

【分析】由題意判斷加＜0,由雙曲線方程寫出其漸近線方程，比較即得〃2=-2,代入方程即可求得其焦點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】易知根vO,令丁+2—二。，解得y=土d—mx，依題有J—加=,即機(jī)=—2,

m

2

雙曲線方程為。：必-5=1,從而c=JTZ5=6,從而c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土6,o）.

故選：A.

4.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為

9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差

B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)

C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)

D,甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差

【答案】D

【解析】

【分析】求出極差判斷A；求出平均數(shù)判斷B；求出中位數(shù)判斷C；求出方差判斷D.

【詳解】對(duì)于A,甲種的樣本極差10.2—9.8=0.4,乙種的樣本極差10.5—9.6=0.9,A正確；

——1

對(duì)于B,甲種的樣本平均數(shù)%=-x（9.8+10.0+10.0+10.0+10.2）=10.0,

—1

乙種的樣本平均數(shù)x2=-x（9.6+9.7+10.0+10.2+10.5）=10.0,B正確；

對(duì)于C,甲種的樣本中位數(shù)為10.0,乙種的樣本中位數(shù)為10.0,C正確.

對(duì)于D,甲種的樣本方差s：=（"TOY；（10.2-10）2=0Q16,

乙種的樣本方差s；一6一MFTTOy+rZ-lOy+aOS-lOJo”D錯(cuò)誤.

故選：D

5.若函數(shù)y=1*"—l)*+2a，x<l,在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

[logflx,x>l

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

「(3〃-1)x+2。，尤<1,

【詳解】函數(shù)y=C)在R上單調(diào)遞減，

\\ogax,x>l

3a—1<0,

/.<0<〃<1,解得一4a<一.

53

3。-1+2〃2log」,

故選：C.

6.已知cos[a—二]—cosa,則sin2a+g]=()

I3j2I6J

1i33

A.----B.-C.----D.-

2244

【答案】A

【解析】

【分析】利用和差公式、輔助角公式化簡(jiǎn)得sin(。-弓)=與

,然后通過整體代換，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍

角公式即可求解.

r年物](兀、6?1.("近，

【詳解】cosa——-coscr=——sina——coscr=sina

I3；22I6J2

二.sin126Z+6]=sin216z一號(hào)+^=cos21a—0]=1--2sin2(a一四]二」.

16J2

故選：A.

7.已知a,b為正實(shí)數(shù),則“@<1”是“巴<巴口”的()

bbb+1

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】若@<i,根據(jù)糖水不等式可得絲，即充分性成立；

bbb+\

若3<〃+,則次?+即且〃,6wR+,故色<1,即必要性成立，

bb+1b

所以哼<1"是哼(空”的充要條件.

bbZ?+l

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x—cos2x,則下列說法中不正確的是()

A./(九)的最小正周期為兀

B./(%)的最大值為應(yīng)

C.“X)在區(qū)間-上單調(diào)遞增

D小-[=/〔-喂]

【答案】c

【解析】

11,判斷函數(shù)是否是偶函數(shù)，即

【分析】首先化解函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC,求

可判斷D.

【詳解】依題意/(x)=&sin]2x-；：則函數(shù)/(%)的最大值為夜,

最小值正周期為兀，從而可排

除A,B選項(xiàng).

兀兀713兀兀

%￡一■，2x——G——，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，

44J4L44_

37tTt71

當(dāng)2%-二￡一--,即1￡-■時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

442」L48_

71717171

即xe時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,

"幸25484

故/(%)在區(qū)間一上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項(xiàng).

/[x一曰]=V^sin2(x——?=0sin[2x_Tj=一后cos2x為偶函數(shù)，

從而/[x-%—三]，從而可排除D選項(xiàng).

故選：C

9.已知函數(shù)/(九)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，口/(％+1)為奇函數(shù)，若〃0)+〃3)=3,則()

A./(x-l)=/(x+l)B./(2025)=3

C.函數(shù)/(x)的周期為2D.7(2024)=3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性與周期性的定義即可判斷AC,再由函數(shù)/(力的周期為4,代入計(jì)算,

即可判斷BD

【詳解】/(x+1)為奇函數(shù)，.?./(—x+l)=—/(x+l),

又/(%)為偶函數(shù)，二./(—x+l)=/(x—l),.??/(%—l)=—/(x+l)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

即/(%)=-/(%+2),.,./(%+4)=-/(%+2)=/(%),.,.函數(shù)/(x)的周期為4,

即C項(xiàng)錯(cuò)誤.

由/(—x+l)=—/(x+1),令x=0,得

/(l)=0,/(3)=/(-l)=/(l)=0,.-./(2025)=/(l+506x4)=/(l)=0,

即B項(xiàng)錯(cuò)誤.

又〃O)+〃3)=3,."(O)=3,二〃2O24)=〃O+5O6x4)=〃O)=3,

所以D項(xiàng)正確.

故選：D

10.在正方體ABCD-44CR中，E,F,G分別為BC,CD,的中點(diǎn)，若A5=4,則平面EFG截

正方體所得截面的面積為（）

A.6A/2B.6月C.1272D.1273

【答案】D

【解析】

【分析】借助正方體截面的性質(zhì)可得該截面是邊長(zhǎng)為2后的正六邊形，計(jì)算其面積即可得.

【詳解】如圖，過點(diǎn)G作所的平行線交8月于點(diǎn)/,過點(diǎn)J作FG的平行線交A用于點(diǎn)/,

過點(diǎn)I作EF的平行線交4。于點(diǎn)H,易知點(diǎn)J,“都在截面EFG內(nèi),

且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長(zhǎng)為2夜的正六邊形,

所求面積S=6xx2A/2x2^2xsin60°j=12^/3.

故選：D.

11.梯卯結(jié)構(gòu)是中國(guó)古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得柳卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種

簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅.木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊

形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且.A￡＞瓦3”均為正三角形，EF\CD,E尸=4,則該木楔子的外

接球的體積為（）

32兀64兀

A.16兀B.32兀D.——

~3~3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知球心。在直線a。2上，由勾股定理可得OO：+2,進(jìn)而可得

oq—。&=夜，進(jìn)而oq=&,即可求解火=2,由體積公式即可求解.

4-2

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A3作所的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,CH,則EG=——=1,故

2

22

AG=yjAE-EG=A/22-12=^-

取AD的中點(diǎn)。'，連接GO',

又AG=GD,，GO'，AD,則GO'=JAG?—1—：=0.

由對(duì)稱性易知，過正方形ABCD的中心。|且垂直于平面ABC。的直線必過線段所的中點(diǎn)。2,且所求

外接球的球心。在這條直線上，如圖.

設(shè)球。的半徑為R,則A?=OO；+A。；，且R2=OO；+E。；，

從而oo：=001+2,即（0?+）（0。1—0。2）=2，

當(dāng)點(diǎn)。在線段QQ內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有Oq+OQ=GO'=血，可得0。2=夜，

從而oq=收，即球心。在線段所的中點(diǎn)，其半徑H=2.

當(dāng)點(diǎn)。在線段外時(shí)，002=叵16+00,=oo；+2,解得。。2=0（舍）.

故所求外接球的體積V=網(wǎng)g=些.

33

12.己知耳、巴為橢圓C:=+與=l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且位于第一象限，圓01與線段

ab

的延長(zhǎng)線、線段尸工以及X軸均相切，△「￡區(qū)的內(nèi)切圓的圓心為。2.若圓。|與圓。2外切，且圓。I與

圓。2的面積之比為9,則橢圓。的離心率為（）

A1R3四D有

2522

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)圓。1、。2與X軸的切點(diǎn)分別為A,B,圓心。1、。2在NPG居的角平分線上，從而切點(diǎn)。也在

NP耳區(qū)的角平分線上，所以|尸制=|耳聞=2c,由切線的性質(zhì)求得閨見閨山，由圓面積比得半徑比

￡4,然后由相似形得出。的關(guān)系式，從而求得離心率.

【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心。卜。2在/尸4鳥的角平分線上.

如圖，設(shè)圓。卜。2與x軸的切點(diǎn)分別為A3,由平面幾何知識(shí)可得，

直線尸鳥為兩圓的公切線，公切點(diǎn)。也在NP耳心的角平分線上，

則Rt...P￡。三Rt.2E。，所以|尸耳|=|耳閭=2c,

由橢圓的定義知?dú)w耳|+|尸鳥|=2a,^]\PF2\=2a-2c,

：.\F2D\=^\PF2\=a-c,:.\F2A\=\F2B\=\F2D\=a-c,

.[耳N=|耳1|+|用川-2c+a-c-a+c,

=|7^7^|-|7^B|=2c-(a-c)=3c-a.

又圓。?與圓。2的面積之比為9,.?.圓。|與圓O?的半徑之比為3,

所以F即.B\O^上B\3c」-a=一1，故橢圓。的離心率

F{A|QA|a+c3

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常

見有兩種方法：

（1）求出c,代入公式6=￡；

a

（2）只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合62=/—廿轉(zhuǎn)化為°,。的齊次式，然后等式

（不等式）兩邊分別除以a或〃轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，

每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有種.

【答案】240

【解析】

【分析】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，再將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn).

【詳解】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有C；=10種方法，

然后將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn)，有A：=24種方法，

由分步計(jì)數(shù)原理知共有10x24=240種不同的游玩方式.

故答案為：240.

14.已知點(diǎn)。為，A5C外接圓的圓心，且。4+08+00=0，則cos（AC,3C）=.

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算可得0A+08=0C，進(jìn)而根據(jù)外心的性質(zhì)以及向量加法的運(yùn)算法則可得四邊形

Q4CB為NC4O=60的菱形，即可求解.

【詳解】由。4+08+00=0，得。4+0B=0C，由。為一ABC外接圓的圓心，得

|OA|=|OB|-|C>C|,如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且NC4O=60，故

ZACB=120?故cosAC,BC=--.

2

故答案為：---

2

15.已知4ABe的內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別是點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).若2Q+/?=2CCOS5,且

AC=1,CD=0則AB=.

2

【答案】用

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換，求得cosC=-g,再由CO=g(C4+CB),列出方程求

得。=2,結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】因?yàn)?a+/?=2ccos5,由正弦定理得251114+51118=25111。以雙8,

又因?yàn)閟inA=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sinBcosC+sinB=0,

因?yàn)?￡(0,兀)，可得sin5>0,所以cosCu—g

又因?yàn)镃D為一ABC的一條中線，可得CO=；(CA+CB),

所以erf=a(C4-+CB-+2cA.c8),

即———1+4Z2+2xlxtzx|—|,解得〃=2或a=—1(舍).

441I2)

由余弦定理得AB=c=y/a2+b2-2abcosC=J2?+F—2xlx2x(—g]=J7.

故答案為：幣.

16.若函數(shù)/(%)=以2I+n上Y有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】O

【解析】

【分析】將導(dǎo)數(shù)方程參變分離，轉(zhuǎn)化為g(x)=*3與y=a由兩個(gè)交點(diǎn)的問題，利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的

單調(diào)性，觀察變化趨勢(shì)，作出草圖，由圖象即可得解.

【詳解】“X)的定義域?yàn)?0,+8),

\c1-lnx

f(%)=2奴+——--,

令/'(%)=0,得a=

令g(x)=￥，則g'(x)=^”

令山)=。，則3叫=4,即3：,即X

當(dāng)0<x</時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x()時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

1-1--11

Y⑴m「g(x°)=七=^=荷'

又當(dāng)X趨近于0時(shí)，g(x)趨近于f；當(dāng)X趨近于+8時(shí)，g(x)趨近于0,

作出g(x)的草圖如圖，

由圖可知，當(dāng)0<a<\彳時(shí)，方程a=與?有兩個(gè)正根，從而函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題，通常參變分離，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象相交問題，借助

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出草圖即可得解，其中需要注意觀察函數(shù)的變化趨勢(shì).

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

-1

17.已知數(shù)列｛?！埃凉M足：卬+4。2++4"an=n-4",N".

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

1111

(2)若-----1-----------------<—，求正整數(shù)加的最大值.

【答案】(1)4=3〃+1

(2)15

【解析】

【分析】(1)利用通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系先求4”一見，然后可得%=3〃+1；

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和，然后解不等式即可.

【小問1詳解】

當(dāng)72=1時(shí)，1=4=4,

當(dāng)”之2時(shí)，-Gj+4。2++4"%"=n-4",

q+4a2++4"-4_[=(”-1)?4"1,

兩式相減，得"I4=".4"——1).4"T=4〃T-(3n+1),

/.an=3n+l,

顯然q=4也符合上式,

數(shù)列｛4J的通項(xiàng)公式為=3〃+1.

【小問2詳解】

-11If11}

amam+i（3m+l）（3m+4）3（3根+13m+4）,

1111<111111

---------1-----------HH-------------=------------1-------------F???H-----------------------------

a2a3amam+i31477103m+13m+4

-合］

解得加＜16.

???正整數(shù)加的最大值為15.

18.學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行

決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分

高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4,0.6,0,6，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、

乙獲得冠軍的概率分別記為Pi4

(1)判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別(若+0」'則認(rèn)為甲、乙獲得冠

軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；

（2）用X表示教師甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）沒有明顯差別.

（2）分布列見解析，9.

【解析】

【分析】（1）設(shè)出教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為A,3,C,表示出甲獲得冠軍包含的事件，利用互

斥事件的概率加法公式和積事件的概率乘法公式求出其概率Pi,再代入公式計(jì)算比較即得；

（2）依題得出X的所有可能的值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，完成X的分布列，利用隨機(jī)變量的均值公式計(jì)算

即得.

【小問1詳解】

不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為A,B,C,

甲獲得冠軍可以表示為：（ABC）u（ABC）o（ABC）。（ABC）,

因ABC,ABC,ABC,ABC,

故教師甲獲得冠軍的概率px=P［（ABC）

=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.4x0.6x0.6+0.6x0.6x0.6+0.4x0.4x0.6+0.4x0.6x0.4=0.552,

則教師乙獲得冠軍的概率P2=1-B=0448,

,,2p；-p；

|Pi-囚=0.104,1—―-+0.1?0.376，

?I[M；一園

，甲、乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.

【小問2詳解】

易知X的所有取值為T5,0,15,30,

.-.P(X=-15)=0.6x0.4x0.4=0.096,

X=0)=0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4+0.4x0.4x0.4=0.352,

p(X=15)=0.4x0.6x0.4+0.4x0.4x0.6+0.6x0.6x0.6=0.408,

p(X=30)=0.4X0.6X0.6=0.144,

則X的分布列為：

X-1501530

P0.0960.3520.4080.144

.-.E（X）=-15x0.096+0x0.352+15x0.408+30x0.144=9.

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD_L平面ABCD,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，尸是線段PB上

（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，PD=AD=2.

y

（1）求證：PC〃平面EBD；

PF

（2）若直線所與平面的夾角為60，求寸的值.

BF

【答案】（1）證明見解析；

\PF\1

（Q2）；\--B-F--\-=—2-

【解析】

分析】（1）連接AC交5。于點(diǎn)。，連接EO,利用三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定定理即可得證；

（2）以。為原點(diǎn)，ZHDC,。尸分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PF=%PB，求出EF

坐標(biāo)和平面的法向量，根據(jù)線面角的向量公式列方程即可求得;1=1，然后可得所求.

3

【小問1詳解】

證明：；連接AC交3。于點(diǎn)。，連接EO,

四邊形ABCD是正方形，二。為AC的中點(diǎn)，

?E是的中點(diǎn)，.?.EO〃PC,

EOu平面EBD,PC<Z平面EBD,PC平面EBD.

【小問2詳解】

易知D4,DC,DP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，分別為x軸，>軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則5（2,2,0）,。（0,2,0）,。（0,0,2）倒1,0』）.

,-.CB=（2,0,0）,PB=（2,2,-2）,PE=（1,0,-1）,

設(shè)PF=aPB，則OW/IWL

.-.￡；F=PF-PE=2（2,2,-2）-（1,0,-1）=（22-1,22,1-22）.

設(shè)平面尸BC的法向量為〃=(蒼y,z),

n-CB=2x=0

則〈令y=l,則〃=

n-PB=2x+2y-2z=0

\n\\EF\V2x7（2A-l）2+（22）2+（l-22）22J6E-42+1

又直線所與平面PBC的夾角為60，

,1儂”1

——/----=-，斛得A——.

2A/622-42+123

,M=1

■■\BF\2'

20.過拋物線C:y2=2px(0>0)焦點(diǎn)尸的直線/交。于兩點(diǎn)，若直線/垂直于x軸，則_OAW的面

積為2,其中。為原點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程；

(2)拋物線C的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)PMLPN時(shí)，的面積為若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）V=4%

（2）存在點(diǎn)P（—1,±2）

【解析】

【分析】（1）由_。聞乂的面積為2,結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得夕=2,即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（―1,機(jī)）,"（％，x）,N（X2，y2），可設(shè)直線/的方程為x=3+l，聯(lián)立方程組求得

%+%=々,%%=-4,根據(jù)PMLPN,列出方程求得2/=加，再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式,

列出方程，求得方的，進(jìn)而得到用的值，即可求解.

【小問1詳解】

解：由拋物線C:y2=2px（p>0）,可得焦點(diǎn)為

因?yàn)橹本€/垂直于x軸，不妨設(shè)〃]■!，%],N、,-%]，

代入y2=2px（p>0）,可得國(guó)=p，所以|肱V|=2p,

又因?yàn)閏OMN的面積為2,所以5。加=5|0*”^=5*5乂20=2,解得夕=2,

所以拋物線C的方程為V=4x.

【小問2詳解】

解：由（1）知拋物線C的焦點(diǎn)為歹（L0），準(zhǔn)線方程為x=—1，

設(shè)點(diǎn)P（—1,帆）,〃（西，X）,N（%2，%），當(dāng)直線/的斜率等于。時(shí)，不符合題意；

y2=4JC

故可設(shè)直線/的方程為1=療+1,聯(lián)立方程組"，消去X得y2—4》—4=0,

x=ty+l

可得A=16r+16>0，且%+%=射,%%=-4,

因?yàn)镻W_LPN,所以PM?PN=(%+1,%—加)?(9+l,y2-m)=0,

所以(％+1)(/+1)+(X7")(%—加)+石+%+1+X%一機(jī)(％+%)+.

(W+lr(%+%)?—2%%+1+X%—m(x+%)+m2

164L

=l+；［(4%)2+8^|+1—4—4mt+m2

=At2-Amt+m2=(2t-m)2=0,所以2%二加，

因?yàn)閨MN卜xj(%+%)2-4%%=71+^x7167+16=4(1+/),

-1

原點(diǎn)。到直線/距離d=刀』

yjl+t2

所以SOMN=^d\MN\=1

—XJI>4(1+y)=2A/^,解得r=±l,所以加=±2,

2

所以存在點(diǎn)P（-L±2）,符合題目要求.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決拋物線問題的方法與策略:

1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)

的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)

系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋

物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化.

2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,

合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.

21.已知函數(shù)/（%）=也+工+以一。.

xxe

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（九）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

【答案】（1）y=x+1—

e

（2）（0,+8）

【解析】

1nx

【分析】（1）代入。=1直接求導(dǎo)得/'（x）=-—丁+1,計(jì)算切點(diǎn)和斜率，最后寫成點(diǎn)斜式即可；

（2）先用導(dǎo)數(shù)證明不等式蛔+!41,然后分aW0和a>0兩種情況討論即可得到”的取值范圍.

XX

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=—+-+^-|,所以/，(x)=—號(hào)+1.

3所以所求切線是經(jīng)過（L2-1

這得至IJ/（I）=2——,r（i）=i,且斜率為1的直線.

e

3

故所求切線方程為x—1),即y=%+l—.

e

【小問2詳解】

設(shè)人（力=叱+）,則〃（無）=—警,所以當(dāng)0<x<l時(shí)〃（％）>0,當(dāng)灑>1時(shí)〃（x）<0.

從而旗%）在（0,1｝上遞增,在上遞減，故/z（x）W/z（l）=l,這得至匹+31.

XX

若aWO,則=U竺+工+以—3?1+以——』<1—3=0,從而/（尤）取值恒為負(fù)，故沒有零

xxeee3

點(diǎn)，不滿足條件；

若a>0,則有

—ln，+l+3-"+e)』l

a+c)va+e)a+ee[eJee3

口/2、a)1O33331

及/1+—=---+——-+6Z+2——>0+0+0+2——=2——>2——=—>0.

Va)1+±1+±eee22

aa

從而由零點(diǎn)存在定理可知/（九）存在零點(diǎn)，滿足條件.

綜上，a的取值范圍是（0,+"）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問可使用分類討論法解決.只要分類方式恰當(dāng)，分類討論法往往能夠直

接確定取值范圍.

（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=5cosa+4

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為《=..為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，尤

y=5sina+3

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)是曲線C上的兩點(diǎn)，且OAfLQV,求面積的最大值.

【答案】（1）。=8cosO+6sin。

（2）25

【解析】

【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程得到Y(jié)+V—8x-6y=0,結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可

求解；

（2）由（1）中曲線C的方程，根據(jù)OM_LON,得到。02+吶2=叱2=100，結(jié)合

22

sOMNXON<^[OM+ON）,即可求解.

【小問1詳解】

x=5cosa+4fx-3=5cos<z

解：曲線。的參數(shù)方程為「.c（a為參數(shù)），即《。廠.（a為參數(shù)），