四川省成都2024屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)（理科）

模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合4={-2,-1。1,2},8=32一4<0},則/口8=()

{-1,0,1}D{o,l,2}「{-1,1}八{(lán)-2,-1,0,1,2}

A￡>.c.U.

（）其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+i=3-i,iz

A.B.-1C.1D.?

（1,加），6=（-2,4）,且則加=（）

3.已知平面向量0=

1

1--

A.2B.TC2D.一2

2%-l,x<0,

/(x)="

、總,x>0,若/（切）=3,則m的值為（）

4.已知函數(shù)

A.6B.2C.9D.2或9

5.如下圖，在邊長為。的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，若撒在圖形

。內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為加，〃，則圖形。面積的估計(jì)值為（）

manama2na2

A.nB.mC.nD.m

6.已知拋物線聲=2px(o>0)上一點(diǎn)〃到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和22,則

P=()

A.2B.2或4C.1或2D.1

7.設(shè)命題P：.eR,使3是福函數(shù)，且在(0,鐘)上單調(diào)遞減；命題

":Vxe(2,+co),2x>x2,則下列命題為真的是()

A.P八Jq)g(―I/?)AqcP八口D(-p)Yq

8.已知數(shù)列"J滿足2，+廠2=匕.〃用，且彳=3,則。2023=()

4

1

A.3B.2C.-2D.3

9.設(shè)函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/(x)="-cosx,則不等式/(2x-l)-/(x—2)>°的

解集為()

A.(T[)B."8,-3)

C.(-3,+oo)D.(1,+<?)u(-oo,-l)

/(x)=sin|cox-71|(co>0)1

10.將函數(shù)(26)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的4,縱坐標(biāo)不

,\\(°力

變,得到函數(shù)且。)的圖象.若g(x)在I3J上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍為

()

(511

A.12'2

“2_產(chǎn)=iQ>o,z>>o)

11.設(shè)C1是雙曲線C：alb2的左、右焦點(diǎn)，以線強(qiáng)勺為直徑的圓與

直線云-町=°在第一象限交于點(diǎn)A,若tanN/q°=2,則雙曲線C的離心率為()

c./D.2

12.如圖，已知在長方體/BCD-wqq中，/2=3,/。=4,44]=5,點(diǎn)￡為棱cq上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面2￡?與棱"4交于尸，則下列說法正確的是()

BBED

(1)三棱錐rl的體積為20

3

(2)直線8產(chǎn)與平面叫口0所成角正弦值的最大值為5

(3)存在唯一的點(diǎn)E,使得8f平面8ER,且CE=5

(4)存在唯一的點(diǎn)E,使截面四邊形的周長取得最小值2g

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.cos15°cos75°=.

14.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開式中的含心的項(xiàng)的系數(shù)為

/（x）=ix3-0X2+x+l

15.若函數(shù)3存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

16.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有''數(shù)學(xué)王子''的稱號(hào)，用他名字定

fG）-[r][xl

義的函數(shù)J,申一以」稱為高斯函數(shù)，其中9」表示不超過x的最大整數(shù)，如

[2,3]=2,[-1.9]=-2）已知數(shù)列'J滿足匕=1，%=5,%+4ar5a”若

f8108]

匕=3。"為數(shù)列匕憶J的前〃項(xiàng)和，則％]=.

三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答

（一）必考題：共60分.

17.《中國詩詞大會(huì)》是中央電視臺(tái)于2016年推出的大型益智類節(jié)目，中央電視臺(tái)為了解該

節(jié)目的收視情況，抽查北方與南方各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如莖

葉圖所示，但其中一個(gè)數(shù)字被污損.

北方南方

897378

2108*6

（1）若將被污損的數(shù)字視為0-9中10個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，求北方觀眾平均人數(shù)超過南方觀眾平

均人數(shù)的概率；

（2）該節(jié)目的播出極大激發(fā)了觀眾學(xué)習(xí)詩詞的熱情，現(xiàn)在隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的

平均時(shí)間了（單位：小時(shí)）與年齡》（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）；

年齡X20304050

每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時(shí)間了33.53.54

由表中數(shù)據(jù)分析，X與了呈線性相關(guān)關(guān)系，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為60歲的觀眾每

周學(xué)習(xí)詩詞的平均時(shí)間.

附：回歸方程$=猿+*中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

￡(x-r)(y-y)Xxy—nxy

AIIiiA八

b=e--------------i-----------,d=y-xb

X(X-X)2Zx2-rix2

Z=1

18在①2csin5cosZ=6(sin/cos5+cos/sin5).②

bsinB+csinC-asrnA2.,

-------------；-------------=—=sinA

sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(^4+5)sin(^+C).③csin5<3.這二個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面對問題中，并解答問題.

在“3C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足二

⑴求A；

(2)若“8C的面積為163，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.

169兀

19.已知球內(nèi)接正四棱錐尸一/8CO的高為3,/C,8c相交于°,球的表面積為一§一，若E為

PC中點(diǎn).

⑴求證：0E〃平面PAD；

(2)求二面角4-BE-C的余弦值.

X2V2,,￥，且過點(diǎn)g

一+—=l(d!>6>0)

20.已知橢圓C：bi的離心率為

(1)求c的方程:

(2)點(diǎn)河，N在C上，且4WL/N,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q,使得

?因?yàn)槎ㄖ?

f(x)=x(ox+lnx-2),g(x)=x\wc-x-a

21.已知函數(shù)

⑴若/Q)與gQ)有相同的單調(diào)區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的值;

⑵若方程/Q）=3g（x）+x+3a-l有兩個(gè)不同的實(shí)根牛工，證明.弋氣,E

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題記分.

［選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

x=2+3cosa

<

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線￡的參數(shù)方程為卜=3sina（a為參數(shù)），直線1

x=2+3t

的參數(shù)方程為□='（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同

的長度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為P"°s20=2.

（1）求曲線q的普通方程和曲線°?的直角坐標(biāo)方程；

⑵已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2,2兀），直線1與曲線G相交于E,F兩點(diǎn)，直線1與曲線相交于

?

1+1=mhr

A,B兩點(diǎn)，且尸/PB，求實(shí)數(shù)m的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/G）=x+2-ax-1,fleR

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求不等式的解集；

（2）當(dāng)。=-1時(shí)，函數(shù)了Q）的最小值為加，若a,b,。均為正數(shù)，且①+上+4cz=加，求

a+6+2c的最大值.

1.A

【分析】求出集合B,利用交集的定義可求得集合4cB.

［詳解］因?yàn)?=（》2-4<（）}="-2<%<2},/={-2,-1,0,1,2}

所―一1,0,仆

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=l-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

z=3-i=（3-i）（2-i）_5-5i_1_.

【詳解】由復(fù)數(shù)zS+i）=3-i,可得2+i（2+i）（2-i）5\

所以復(fù)數(shù)z的虛部是-1.

故選：B.

3.D

【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可.

［詳解］因?yàn)椤?。刈），°=（-2,4）,且￡〃6,所以lx4-（-2）x機(jī)=0,

解得加=-2,所以D正確.

故選：D.

4.C

i

21=3.加2=3

或1加,即求.

【分析】由題可得m<0

2%-l,x<0

/G）=?

【詳解】?.?函數(shù)”2/>0/（加）=3

12加一1=3<mi=3

[m<0或m>0

解得加=9.

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)落到不規(guī)則圖形。和正方形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到概率，即得到兩者的面積的比

值，根據(jù)所給的正方形的邊長，求出面積，根據(jù)比值得到要求的面積的估計(jì)值.

【詳解】解：?由題意知在正方形中隨機(jī)投擲〃個(gè)點(diǎn)，則"個(gè)點(diǎn)中有加個(gè)點(diǎn)落入。中，

???不規(guī)則圖形。的面積：正方形的面積=加:〃

m

—x

???不規(guī)則圖形。的面積n正方形的面積

m加〃2

=X〃2=

nn.

故選：C.

6.B

y=22

M

x+"=3

由題意，得到2，結(jié)合拋物線方程，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)=2"(">0)上一點(diǎn)〃到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和22,

y=22y=22

MM

X+0=3x=3-P8=2p3-P

2

所以〔"即〔〃2,代入拋物線方程可得I2

整理得P2-60+8=O,解得夕=2或p=4.

故選：B.

7.A

【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題判斷命題的真假，從而可得“或”、”且‘'、"非'’命題的真

假得結(jié)論.

【詳解】對于命題p,當(dāng)機(jī)=2時(shí)，函數(shù)是嘉函數(shù)，且在(°，+00)上單調(diào)遞減，故

命題夕為真命題；

對于命題“，當(dāng)x=3時(shí)，23<3：不滿足米式2產(chǎn))2>,故命題鄉(xiāng)為假命題.

所以“PAJJ’為真命題,"J"人心’為假命題,“PM”為假命題,“J")""為假命題.

故選：A.

8.B

_2

【分析】由已知可得數(shù)列遞推式“”+「2-匕，求出其前面幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，由此可求

得答案.

【詳解】由題意數(shù)列｛“滿足汽+「2=?！?幻，則

故由％=3,得一2一3,

由此可知數(shù)列“J的周期為4,

1

a=a=a=

故20234x505+332

故選：B

9.D

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在h+8)的單調(diào)性，然后根據(jù)奇偶性判斷/a)在(一肛"的單調(diào)性，再利用

單調(diào)性與奇偶性結(jié)合求解不等式.

【詳解】當(dāng)x2°時(shí)，f(x)=e.-cosxf所以/'(x)=ex+sinx,因?yàn)閤*0,所以周21,即

八xRl+sinxM,所以函數(shù)/(x)在卜笆)上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)“X)為R上的偶函數(shù)，所

以函數(shù)"X)在(一吟°］上單調(diào)遞減，在［°產(chǎn))上單調(diào)遞增，則不等式〃2xT)-/(x-2)>0,

等價(jià)于21>X~2,所以x<T或x>l.

故選：D.

對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫

去函數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若"X)為偶函數(shù)，

則/(-x)=/(x)=/(x)

10.C

n

g(x)=sin2cox_：0<x<

【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)I6人當(dāng)3時(shí)，

兀c兀23兀兀，兀、

_<2cox_<_z\0,

6636,要使g(x)在(3)上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，需滿足

5712co兀717兀

<一V

2362,解不等式即可.

717t7I27171

g(x)=sin(23x-［0<x<-<2cox-<0-

【詳解】由題可知，I6人當(dāng)3時(shí)，6636.

(兀、5兀2co兀兀7兀.,11

zx0,<-<4<co<

因?yàn)間(x)在I3)上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，所以2362,解得2；

所以①的取值范圍為：I2」.

故選：c.

11.A

【分析】首先推得△/”為等腰三角形，再由三角形的內(nèi)角和定理和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和

二倍角的正切公式，結(jié)合漸近線的斜率和離心率公式，計(jì)算可得所求值.

【詳解】由題意可得

即有為等腰三角形，

設(shè)%

貝ijZAOF=兀一2a,

tanZAOF=tan(n-2a)=-tan2a=Stance=2x2=4

所以2tarua-l22-13

6_4

即為。一3,

c、b2165

e==1+=11+=

所以。a293,

故選：A

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意得出A/。々為等腰三角形，在三角形中利用三角函數(shù)，建立關(guān)于°力的

方程，是求出離心率的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.D

【分析】對(1),根據(jù)三棱錐等體積轉(zhuǎn)換可得嗎='一明2求解判斷；對(2),點(diǎn)￡到平

面”的距離等于點(diǎn)C到平面BBDD的距離，當(dāng)最小時(shí)即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，此時(shí)

直線與平面絲RD所成角正弦值的最大，求解判斷；對(3),若(3)正確，可知點(diǎn)E與

點(diǎn)G重合，已找出矛盾；對(4),四邊形，助f為平行四邊形，周長取得最小值即

小組最小時(shí)，將平面8cq々與將平面放在同一平面內(nèi)，求得結(jié)果.

MC=12

【詳解】對于(1),如圖過點(diǎn)0作8。垂線，垂足為河，易知5,

在長方體中，8^平面/BCD,CMu平面/8CO,所以又CMLBD,

BDcBB「B,8。,叫u平面所以MC_L平面8嗎九

DBi

A

CCIIBBCCU亞市BDDBBBu亞由BDDB濟(jì)

ii,i平面ii,i平面ii,所

以cq//平面mog,

所以點(diǎn)E到平面平面81v夕的距離等于點(diǎn)C到平面8￡叱々的距離，即為|MC|,

口,V=V=-S-lA/C^-x-xSxSx—=10

DCnBBED

三棱錐「I的體積為'-'E.BBR3"叫2II325

故（1）錯(cuò)誤；

對于（2）,,??℃//平面3片。戶，所以點(diǎn)E到平面88ao的距離等于點(diǎn)C到平面BBRO的距

\MC\=y

離，距離為

所以當(dāng)8產(chǎn)最小時(shí)即當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)q重合時(shí),

12

5=3

此時(shí)直線與平面以40所成角的正弦值最大，最大值為45,故（2）正確;

對于（3）,若CE=5,可知點(diǎn)￡與點(diǎn)q重合，又因?yàn)?。c//qq,易知仲與。C不垂直,

故々。與4G不垂直，與平面'ER不垂直，故（3）錯(cuò)誤;

對于（4）,四邊形血/的周長=2。"+嗎），周長取得最小值即（8￡+”）最小,

將平面8cqe與將平面放在同一平面內(nèi)，可知+E.）最小值為行+72=?,

所以截面四邊形8助手的周長取得最小值2屈，故（4）正確.

綜上，說法正確的有（2）（4）.

故選：D.

思路點(diǎn)睛：對（1）利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解判斷，對（2）根據(jù)℃//平面瓦所以

點(diǎn)E到平面嗎的距離等于點(diǎn)C到平面絲。自的距離，當(dāng)［E最小時(shí)，直線與平面

8勺飛。所成角正弦值的最大，判斷求解，對(3)利用反證法判斷，對(4)四邊形'助手的

周長最小即最小時(shí)，將平面與將平面0cq4放在同一平面內(nèi)，求解即可.

1

13.4##0.25

【分析】利用誘導(dǎo)公式和倍角公式求解.

cosl5°cos75°=cos15。cosGo。-15°)=cos15°sinl5"=】sin30°=1

【詳解】24.

1

故4

14.270

【分析】根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=32,求得"=5,然后利用通項(xiàng)公式求解.

【詳解】由Ix)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2“=32,解得〃=5,

(3x-17T=Cr.|-1[.(axX--=(-1>.35-C-x5-/

所以I"展開式的通項(xiàng)公式為r+15("5

5-3r=2

令2,解得廠=2,

所以含4項(xiàng)的系數(shù)為3"C;=270.

故270.

15(-oo,-l)u(l,+co)

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出公〉。，從而得解.

【詳解】因?yàn)槿??—+1,可得/，(X)=X2-2辦+1,

因?yàn)楹瘮?shù)/G)存在極值點(diǎn)，所以1(x)=°有兩不等實(shí)根，

則A=4〃2-4>°,解得"T或。>1,

所以。的取值范圍是(一8，一1)口。+°°).

故答案為JL00)

16.2025

【分析】由憶2+4a,=5幻變形為鼠2一。向二式。，。〃)，得到數(shù)列｛憶廣。“｝是等比數(shù)列，從

而得到,再利用累加法得到%,從而匕=3"/=2"

,再利用裂項(xiàng)相消法求

解.

【詳解】解：由2+氣=5,得*一憶「4（，又氣-彳=5-1=4

所以數(shù)列｛*+「2｝是以4為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，故=4”

=(〃-a)+G-a)d_〃)+〃=4"+4〃-1HF4+1=，

由累加法得"“+1n+\nnn—\211°

b=[loga]=4"+i—1

n2n+\性3

所以

4?+i—1

「1%3=性3<log4?+i-1=2H+1

4?+i—1

log=log4〃=In.:,b=2n

又23

8108..810881081

?c==/、=2027-

"b，b2n-(2n+2)\nn+1

nn+1

c...111...11

S=c+c++c+c=202711—+—++—

?12〃—1〃(223nH+1

:.S=2027。-1I

nv〃+"

2027x|1-1

k]==2025

I2026

代入”=2025得2。25

故2025

3

17.(I)5

⑵y=0-03x+2-45；4.25小時(shí)

【分析】（1）求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，推出x的范圍，然后求解概率.

（2）求出樣本中心坐標(biāo)，求出回歸直線的斜率以及截距，然后求解即可.

【詳解】（1）設(shè)污損的數(shù)字為x,由北方觀眾平均人數(shù)超過南方觀眾平均人數(shù)得

78+79+82+81+8073+77+78+86+80+x

>

55

=>x<6,即x=0,1,2,3,4,5

x=1(20+30+40+50)=35v=1(3+36+3.5+4)=3.5

(2)4,4

-4xy=490

Xxy=20x3+30x3.5+40x3.5+50x4=505XX2=202+302+402+502=5400

又iJZ=1

1505-490

b==0.03

5400-4x352

/.a=3.5-0.03x35=2.45

；.j)=0.03x+2.45

.?.x=60時(shí)，/=4.25.

答：年齡為60歲的觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時(shí)間大約為4.25小時(shí).

71

18.（1）條件選擇見解析，=3

⑵42

【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡求解；選②：利用平方關(guān)系

結(jié)合正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得

,1.,

cos/=sin/

3即可求解；

（2）由面積得很=64,結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.

2csinScos=6(sin/cosB+cos/sinB)

【詳解】（1）若選擇①:

sin5sinQ+5)=sin5sinC

2sinCsinBcos/=

由正弦定理可得

因?！辏?,兀），g￡（0,兀）故sinCwO,sinBwO

/1兀

cosA=4=

則有2,因北（0,兀），故3.

若選擇②:siiuB+sin2C+cos2A-l=sin(A+5)sin(Z+C)

則sin2B+sin2C-situA=sin(/+3)sin(4+C)=sinCsin3,

由正弦定理可得62+C2=bc”

Z72+C2-a21

cosA==

故2bc2,

,_it

因人（0,兀）,故/飛

6sin5+csinC—asirU2.,

—Q1T1/4

若選擇③csinS3'

62+。2—。21.

=smZ

由正弦定理可得，2bc3,

cosA=sin/

再由余弦定理得，3,即tan/=3,

?A=

,/AG(0,7i).―3

9?

171

S=cbsinA=163A=,「.6。=64

(2)：2，又3

=C2+\-2c??cos

；

在三角形BCD中,BDi=BAi+AD2-2BA-AD^cosA<223

b2b21cb=32

cb>2C2?

=02+42422

c=°=42

當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取等號(hào),

???5。的最小值為42.

19.(1)證明見解析;

_233

⑵33

【分析】(1)由題意可得?！?//尸，利用線面平行的判斷定理可得結(jié)論；

(2)結(jié)合題中的幾何關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量可得二面角/一BE-。的

_233

余弦值為-33.

【詳解】(1)證明：由&E分別是04c尸的中點(diǎn)，得OE/IAP,

又OEZ平面尸4D,4Pu平面p/D,所以O(shè)E〃平面p/o.

7?J

(2)由球的表面積公式S=4成2,得球的半徑6,

設(shè)球心為1,在正四棱錐尸一/臺(tái)四中，高為尸°,則°】必在9°上，

513

⑺OO=,40=

連/q,則?616,

則在Rtzxqo/,則OO;+O/2=O*,即。/=2,

在正四棱錐？一/BCD中，POL平面/BCD于0,且/CLAD于0,

設(shè)。4。尻°尸為陽％2軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。一孫z系,

3

E\-1,0

中點(diǎn)I2

AB=(-2,2,0),BE=-l,-2,|j,5C=(-2,-2,0)

所以

設(shè)加=(凡"c),〃=(x,y,z)分別是平面/BE和平面CBE的法向量,

m?AB=-2a+2b=0n-BC=-2x-2y=0

k

<一3v——3

m-BE=-a-2b+—c=0n?BE=-x-2y+—z=0

則12和［2

令。=l,x=-3,可得，=l,c=2/=3,z=2,

--m-n42-733

可彳口m=(1,1,2),n=(-3,3,2)皿"，〃)=麗=標(biāo)反=—

用仔，則1111

由圖可知，二面角/-BE—C的大小為鈍角，

_2而

所以二面角/-BE-C的余弦值為

_+z_=1

20.(1)63；(2)詳見解析.

【分析】(1)由題意得到關(guān)于“力"的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為>=履+加，聯(lián)立直線方程與橢

圓方程，根據(jù)已知條件，已得到在%的關(guān)系，進(jìn)而得直線河恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在

時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)°的位置.

c2

a~2

41?

+=1

Q2bl

〃2二62+。2

,解得：

【詳解】（1）由題意可得:ai=6,b2=C2=3

-

故橢圓方程為.63

（2）［方法一］：通性通法

若直線血W斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：、=丘+加，

代入橢圓方程消去V并整理得：G+2公黑+4癡X+2初-6=0

2m2—6

4kmv丫

yV—_?人

可得I1+2左2,>21+2左2

(x-2)(x-2)+(y-1)G-1)=0

/M_LZN,

因?yàn)樗?M/N=0,即1212

根據(jù)乙="+加上=3+”,代入整理可得：

G：2+1)XX+{km-k-2)Cx+x)+(優(yōu)一l1+4=0

1212,

Q+l)2“一6+(.一”2)14?+(加-11+4=0

所以1+2左211+2左2

整理化簡得①人+3切+1）（2左+“-1）=°

因?yàn)?（2,1）不在直線兒W上，所以蛛+加-1。0,

21

y=k\x-3Q")

故2k+3切+1=°，E1,于是九亞的方程為I3

P2_1

所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)3'-3

當(dāng)直線"N的斜率不存在時(shí)，可得

由AM-AN=0得：(5-2)G]-2)+(1-1)(-乙-1)=0,

得G12》+l-邛=。，結(jié)合中+4=1可得：3彳-巴+4=0

X=2X=2

解得：?3或2（舍）.

此時(shí)直線九W過點(diǎn)133人

令。為/P的中點(diǎn)，即133人

122

DQ=AP=

若。與尸不重合，則由題設(shè)知4尸是尸的斜邊，故23,

DQ=lAP］nc

若。與尸重合，則2,故存在點(diǎn)133人使得'。為定值.

［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系

將原坐標(biāo)系平移，原來的。點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為

（"2A+（"年=1

63,設(shè)直線九W的方程為加x+〃y=4.將直線的V方程與橢圓方程聯(lián)立得

%2+4x+2y2+4）=0gpX2+（mx+ny）x+2y2+（jnx+ny）y=0化簡得

(〃+2)(>]+(冽+〃)(>]+(l+冽)=0

(n+2)歹2+(m+n)xy+(1+機(jī))x2=0即

/\/\k-k=zi-2_m+1_i

設(shè)A/G/KWy?）,因?yàn)?AC/N則AN%X］”+2,即m=-〃-3,

<,_4］

代入直線九W方程中得"（V-x）一3》-4=0,則在新坐標(biāo)系下直線"N過定點(diǎn)I33人則

在原坐標(biāo)系下直線九W過定點(diǎn)133

「J

入ADLMN,D在以4P為直徑的圓上./尸的中點(diǎn)133）即為圓心Q.經(jīng)檢驗(yàn)，直線血W垂

直于X軸時(shí)也成立.

411?2

Q\DQ\=\AP1=

故存在33，使得213

［方法三］:建立曲線系

2xxlxv

+-=l_

A點(diǎn)處的切線方程為63,即x+y-3=°.設(shè)直線M4的方程為中--2勺+1=°

直線MB的方程為《彳一了-2勺+1=0,直線兒W的方程為.一了+加=°.由題意

kx左=-1

TV12

則過A,M,N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為

“2+>2_]"限x-y-2k+1)(左x-y-2k+1)=0

I，3J12(其中九為系數(shù)).

用直線九火及點(diǎn)A處的切線可表示為^-y+m)-(x+y-3)=0(其中N為系數(shù)).

X+y-1\+^(,kx-y-2k+l)(,kx-y-2k+1)=y+w)(x+v-3)

gpl63J1

對比Q孫項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得

)

九$

2=以1-左),①

九+

女

左)=日(a-3%),②

(412

2+^

+-口(加+③

XG21)=3).

_A.tn=-k—

將①代入②③，消去九日并化簡得3%+2左+1=0,即33.

故直線九亞的方程為I3>3,直線過定點(diǎn)（33人又ADLMN,D在以

41

4P為直徑的圓上.4尸中點(diǎn)133）即為圓心Q.

0,122

經(jīng)檢驗(yàn)，直線"N垂直于x軸時(shí)也成立.故存在（3'3人使得"0=2"口=3.

［方法四］:

若直線"N的斜率不存在，則"S，八）,N（q,一乙）.

因?yàn)閯t嬴.癡=0,即G]-2>+l-q2=0.

X2V22

,1+1=1X=c

由63，解得I3或［=2（舍）.

2

x—

所以直線MN的方程為3.

若直線MV的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為、=去+”則

(x-2)(尤-2)=2(2左+冽一1)(2左+m+l)

令x=2,則121+2左2

y-mI+2y2-6=[2+1

左22

又k令y=L則

G-l）（y_1）=（2左+〃-1）（-2左+加-1）

121+2左2

--?-?（、/\z\z、—（2左+加-1）（2左+3冽+1）

因?yàn)閃/N,所以，M，/N=（X]-2K^-2）+（八-1）（歹2-1）1+2左2=0,

271

m=-k-

即加=—2k+1或33

當(dāng)機(jī)=-2上+1時(shí)，直線的方程為安日一2左+1=稔-2）+1,所以直線MV恒過4（2,1）,不

合題意；

加—2”1尸弱-2「l="x-2]」

當(dāng)33時(shí)，直線"N的方程為33I3J3,所以直線恒過

唱」

dmMPi=42

綜上，直線血W恒過133人所以3.

又因?yàn)?DLVN,即尸，所以點(diǎn)D在以線段/尸為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).

122

ADQ\=\AP|=

取線段/尸的中點(diǎn)為