2024年白山市第一次高三模擬考試

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A一產(chǎn)卜B)x|—<0,則An3-()

Ix-4

A.(2,4)B.[2,4)0(2,4]D0

2.復(fù)數(shù)z-i+2f+3汽則z的虛部為()

A.2ZB.-2zC.2D.-2

3.已知5-—2,2),b-(3,1),若a在向量/上的投影為c,則向量c(

4.2023年12月初，某校開(kāi)展憲法宣傳日活動(dòng)，邀請(qǐng)了法制專(zhuān)家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建

設(shè)社會(huì)主義法制文化》的法制報(bào)告，報(bào)告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必

須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有()

A.300B.432C.600D.864

5.是“方程8有唯一實(shí)根”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)

a,b,x,y,滿足匕、,當(dāng)且僅當(dāng)巴-2時(shí)，等號(hào)成立.則函數(shù)

xyyxy

316(1\

()二+―9一]斗上；的最小值為()

/Jx1-3x13)

A.16B.25C.36D.49

7.正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正八面體中，則有(

A.直線AE與CR是異面直線B.平面A3R一平面A3E

C.該幾何體的體積為D.平面ABE與平面DCF間的距離為學(xué)

22

8.不與坐標(biāo)軸垂直的直線/過(guò)點(diǎn)N（%,0）,%丁0,橢圓C:上+上1ab0上存在兩點(diǎn)A,3關(guān)于

成及=（＞＞）

/對(duì)稱，線段的中點(diǎn)”的坐標(biāo)為（玉》）.若為2沏，則。的離心率為（）

1

V315/2V3

A.—B.-C.—D.—

3222

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9,2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)跳水女子10米跳臺(tái)迎來(lái)決賽，最終全紅嬋以總分438.20分奪冠.已知

她在某輪跳水比賽中七名裁判給的成績(jī)互不相等，記為王（，-123,4,5,6,7）,平均數(shù)為K方差為機(jī).若7

個(gè)成績(jī)中，去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，剩余5個(gè)成績(jī)的平均值為9，方差為〃，則（）

A.y一定大于xB.y可能等于xC.相一定大于“D.m可能等于"

515

10.公差不為零的等差數(shù)列&|滿足⑷〃8,V------。，貝1J（）

kAakakA96

A.的=0B.d=±4C.4Zi=24D.S15=60

11.已知函數(shù)/（x）-2sin（（?,%十）（0＞0,0＜（p--的相鄰兩對(duì)稱軸的之間的距離為刀，函數(shù)x—

\2/2I6.7

為偶函數(shù)，則（）

AA.（p?！?/p>

6

B.（-LO）為其一個(gè)對(duì)稱中心

C.若/(x)在(a,a)單調(diào)遞增，則O、aW]

6

D.曲線y/(x)與直線yi1芻有7個(gè)交點(diǎn)

12.已知拋物線C：y，6x的焦點(diǎn)為R,過(guò)點(diǎn)R的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn),若〃為C的準(zhǔn)線上任意

一點(diǎn)，貝U()

A.直線若的斜率為,，則性回-16B-AMB的取值范圍為；0弓；

27

C.OAOB^—D..A03的余弦有最小值為|

4

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

n5+sinl00

13.化簡(jiǎn)-----5——_____________

3cos250=

14,已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

15.在四面體ABCD中，BC2y/2,BD2小,且滿足ACBC,AD_3D.若該三棱

錐的體積為手,則該錐體的外接球的體積為.

16.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+f(\

M1,請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一

()=(答案不唯一)，/(2024).

fX

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知等比數(shù)列滿足曲=2,且。2+。4-20.

(1)求數(shù)列|為1的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也「滿足4我洪前〃項(xiàng)和記為S,”求S..

n

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a一bcosC——csinB.

3

(1)求角3；

(2)過(guò)B作BD一BA,交線段AC于。，且AD-2DC,求角C.

19.(12分)如圖所示，在矩形A3CD中，A3-3,AD2,DE2EC,。為AE的中點(diǎn)，以AE為折

痕將△ADE向上折至。AE3為直二面角.

(1)求證：。。一3C;

(2)求平面DAB與平面DCE所成的銳角的余弦值.

20.(12分)俗話說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué).張老師準(zhǔn)

備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍

數(shù)，則稱為"完美投擲二出現(xiàn)“完美投擲二則記二1；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為"不完美

投擲”，出現(xiàn)''不完美投擲"，則記三-0;若三-1,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和

休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為一3，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為3二.

510

(1)求出隨機(jī)變量一的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

V2V2

21.(12分)已知A,3分別為雙曲線E：=7T(>)的左、右頂點(diǎn)，〃為雙曲線E上異于A、

a'b-iab0

3

3的任意一點(diǎn)，直線刈、班斜率乘積為「焦距為2"

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)過(guò)〃4,0)的直線與雙曲線交于C,。兩點(diǎn)(C,。不與A,3重合)，記直線AC,8。的斜率

K

為h,k2,證明：為定值.

22.(12分)已知函數(shù)Inx-kx+1(左為常數(shù))，函數(shù)g(x)-ajx-l+b.

(1)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值的范圍；

(2)當(dāng)左0,設(shè)函數(shù)/2(x);g(x)-若/?(x)在［e4］上有零點(diǎn)，求/十〃的最小值.

2024年第一次高三模擬考試

數(shù)學(xué)監(jiān)測(cè)試卷答案

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

.答案：

1B【詳解】。A12,f?B|0,4）,-.AC\B[2,4）；故選B

2.答案：D【詳解】：z--2-2i,：.z的虛部為-2;故選D.

【詳解】???"瑞"I?！唬?；*|；；故選口

3.答案：D

4.答案：B【詳解】總的方法數(shù)為N-｛「6否4*；-432;故選B

5.答案：A【詳解】方程JT7一6有唯一解，即直線y一8與上半圓yJ1爐有且僅有一個(gè)交

點(diǎn)，解得b的取值范圍為卜

；?iWb1是方程X2=%-6有唯一解的充分不必要條件；故選A.

6.答案：D【詳解】因?yàn)閍,b,x,y,則土‘匚,當(dāng)且僅當(dāng)32時(shí)等號(hào)成立，又

xyyxy

342(34V14

0<x,—即13x>0,于是得/(qJ49,當(dāng)且僅當(dāng)———,即

35x15x5x15xx13x

+(一)

1316,1\

x-—時(shí)取“二"，所以函數(shù)的/（%）?+0x<最小值為49.

7%13x1

7.答案：D【詳解】〈A,E,C,尸四點(diǎn)共面，直線與。尸是共面的；???A錯(cuò)

取A5中點(diǎn)G,連接￡G、FG,則一￡G/為二面角EA5b的平面角，

其余弦值為-L；B錯(cuò)

3

1Q

V--4..272—JI;；.C錯(cuò)

23

連接AC、8。設(shè)交于。，則。A3E為正三棱錐，其底邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為①,所以。到平面A3E的

距離當(dāng)，所求平面A3E與平面DCR間的距離為半；D正確

E

8.答案：C【詳解】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓。中，koMkAB———又klkAB-1,

a1

???左OM-(左/即2-又x-2%，所以所求離心率為史；故選C.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤答案得0分)

9.答案：BC【詳解】七個(gè)數(shù)據(jù)，去掉最高和最低，對(duì)平均值可能沒(méi)有影響，但數(shù)據(jù)更加集中于平均值，所

以方差變小.

10.答案：AD【詳解】由卜6卜％得，。6十。8一0，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知。7-°,又。8、0，-0

心15ZH1f11\5555...

tTfakak.i96daxa,曲詼()(d)6d296

I6aq6da

7

-(+d)-60;故選：AD.

所以S1515(2815西

11.答案：ACD【詳解】由題意Tn,故3-2,又丁一/(%)的圖象向左平移個(gè)考■位得到

/\

y-2sin(2x4——p*,所以—1ip—(k_Z),且0.(口,—故—所以A正確；

5'322o

因?yàn)椤?)「?2sin卜.*且/-叫=2sin|1-叫工1,所以B不正確;

6/<67V6/

令-三”2EW土+2反二三》加WxW土卜所，左匚Z,故易知/(x)在1土，三單調(diào)遞

26236V36/

增，故0aW上，C正確；

6

直線y-+：與曲線Y-f(x)均過(guò)點(diǎn)［涂,；且該直線與曲線y-/(X)均關(guān)于該點(diǎn)中心對(duì)稱，

當(dāng)％一時(shí)，y_-2,當(dāng)％-時(shí)，y~-^―、2,由對(duì)稱性可知曲線y-/(%)與直線

OOOO

y套有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD.

12.答案：BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)的傾斜角為仆，則A3義-8；故A錯(cuò)

sm20

對(duì)于B選項(xiàng)，：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，點(diǎn)”在以為直徑的圓上或圓外，

A.AMB^-,當(dāng)M在直線AB上時(shí)，.二AMB0;故8正確

2

對(duì)于c選項(xiàng)，設(shè)4毛,口),以和為)，QTg-汨%2卜納2—y1y\y^y,

3612

I3

3[x=fv+-77

設(shè)AB:x-Zy+3，聯(lián)立！2,易得必為=9,/.OA-0B--,故C正確

-Iy2=6x

Z127

對(duì)于D選項(xiàng)，cosZAOB/t」4

網(wǎng)理產(chǎn)中尸5卜,

y

272

-3

又X+%-67,cos.AOB,42一一；故D正確一

'.一"+28512,5

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.答案：2

..5+sinl05+sinl005+sin10°S+sinlO。

洋斛3cos?50-1，coslOO。-5cos100。-5，sinlO。-'

2222

~21

14.答案：—

2

13,、6C6Q1

【詳解】IV45,解得〃9,常數(shù)項(xiàng)為石=/|L；U.

1.2'82

15.答案:36兀

【詳解】將四面體ABCD放在長(zhǎng)方體中，根據(jù)錐體的體積，易求得，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為26,272

和4,所以四面體外接球的直徑為6,體積為36n.

【詳解】令》=丁=0,則尸(0)—2/(0),解得〃0卜2或/q)e,

若以0)0,令X1,"0,則2"1)=〃1)門(mén)0)=0,即〃1)0與已知矛盾

??./(0)=2,令x=0,貝=()()

2fy,：.fx為偶函數(shù)

令y-1,貝】J/(x+l)+/(x-l)—〃X),可推出，/(X)以6為周期

結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)為八町2cos：x,結(jié)合/(盯以6為周期，貝IJ

/'(2024)-()-1

f2

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知，得100(*)

易觀察，2是(*)方程的一個(gè)根，-2)(7+2q.5)

0

:?q—2又的—2,:?a—2".

⑵由⑴知，b幾2

n

-L21t2.22...n-2n(1)

2S〃1.22.2，3"2〃i⑵

12n

(1)-(2)得，一S〃1.2.1.24...1.2n.2〃i(1叫2c

2

：.Sn"12+2

-(-)?*!

18.解：(1)由正弦定理得：sinA-cosCsin5——sinCsinB.

3

VA-n-(B，c),z.sinA-sin(jBfC)

??.sin”，C)-sinBcosCicosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

回

/.cosBsinC——sinCsinB,

3

又sinCrO,tanB.5又A為三角形內(nèi)角，A-左.

2

(2)因?yàn)?。在AC邊上，且A。-2OC,所以如一瓦，了明.

3i

因?yàn)锽DBA,所以BL).BA-0_：―//A?—B(JBA0_；BA.,2BC：BA-0,

133)

所以c~-ac=?c—a.

(1)證明：由已知D4-DE2,且。為線段的中點(diǎn)，,。。.AE

又平面DAE.平面AEC3,且平面D4EC平面AECBAE,DO平面D4E

DO_平面AECB,又BC二平面AECB,/.DO_BC.

(2)設(shè)R為線段A8上靠近A的三等分點(diǎn)，G為3c的中點(diǎn)，

由已知。尸OG,又。。平面AEC3

DO_OF,OD_OG,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OG,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系

DA2,AB-3,AA(l,-l,0),B(1,2,0),D§,0,6)-1,1,0),Cl1,2,0)

???川(0,3,0).的(1,-2,廣)EL(0,l,0),DL(,2,一2?)

設(shè)平面AD3的法向量為質(zhì)-(玉,%，4),

\ABm03y-0

則i…一c，即Ic斤

IUBm-0'X-2%+J2zi

0

不妨令ZI-JI,則方-(2,0,J5)

同理，平面DCE的法向量

所以平面DAB與平面DCE所成的銳角的余弦值為1.

20.解：(1)隨機(jī)變量一的取值為0,1

所以一的分布列為：

01

21

P

33

C2,11

E（二）=Ox—11?——■

333

（1V11V22

(2)設(shè)A表示深色，則Z表示穿淺色，3表示穿西裝，則再表示穿休閑裝.

1_?

根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為尸(A)=§,則穿淺色衣物的概率為P(A)

穿深色西裝的概率為P(3|A)-0.6-彳穿淺色西裝的概率為尸(3卜)自，

則當(dāng)天穿西裝的概率為P(3)P(B|A)P(A)tP(B^)P(A).l,|.|.2_

2

所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為一.

5

21.解：(1)設(shè)M(Xo，%),A1)()

a,0,Ba,Q,

?.焉尤=】“隊(duì)/吟

0

....例君2)、

>0>0◎ab13

??KMA?RMB--------------------------------------------------———)

劭十〃沏一〃X[2〃24

2

0

又：焦距為2J7,可得2ch2",貝1J2r

c?7,

結(jié)合〃2./—<72-4,Z?2-3,

；?雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。與-L

43

(-)()(11)(2)

(2)證明：由⑴知A2,0,32,0,設(shè)C,Dx,y

因?yàn)镃,。不與A,3重合，所以可設(shè)直線CD:x=