2024年高考數(shù)學押題預測卷02

數(shù)學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若(l-2i)(二-3-2i)=2+i,則2=()

A3—3/B.3+31C.-3+31D.—3—31

2.已知向量）=（2,0）,5=（—1,百），則石與（1―B）夾角的余弦值為（）

11

A百B-CD6

2222

17C

3.“直線xsin6+—y-l=0與x+ycos6+l=0平行"是"6=—"的（）

2-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

623456

4.（.r-1）=a0+OjX+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則。2+。4+。6=（）

A.64B.33C.32D.31

5.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖唯的“開立圓術”.祖眶在求球的體積時，使用一個

原理：“幕勢既同，則積不容異”.“嘉”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為“祖瞄原理3D打印技術發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為人的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

2

S（/I）=7r（9-/l）,力e[0,9]擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

6.在中，內角43,C的對邊分別為。、4c,若(a+c)(siih4—sinC)=6(siiM-sin5),且

c=JJ,則?的取值范圍為()

A.(-L2)B.(1,2)C.卜當,可D.(一1,石)

7.己知正實數(shù)6,c滿足生口=2°—無里=3〃一絲擔=4°—c,則a,“c的大小關系

abc

為()

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

71

8.已知耳，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且“尸石二§,若橢圓的離心

率為弓，雙曲線的離心率為4，則壬+丹的最小值是()

.2+出R1+A/3r273n4百

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X?N(2,，)，P(x>l)=0.68,則P(2<x<3)=0.18

C.設45為兩個隨機事件，尸(Z)>0,若尸(囚/)=尸(5),則事件4與事件B相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到力2=4.712,依據(jù)a=0.05的卡方獨立性檢驗

(x005=3.841),可判斷X與y有關且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

10.若函數(shù)/(x)=2sin?dog?sin*+2cos?x?log2cosx,則()

A.”x)的最小正周期為萬

B.〃x)的圖象關于直線》=三對稱

4

C./(x)的最小值為-1

D./(x)的單調遞減區(qū)間為(2上1.?+2上1}keZ

11.設函數(shù)f(x)的定義域為R,“X)為奇函數(shù)，/(l+x)=/(l-x),/(3)=1,貝ij()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.⑹=—1

k=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={'H<X<4},B=W>卷，則楨八

11

13.已知力為圓Gx?+（-y—l9）2=［上的動點，6為圓房（x—39）2+y2=］上的動點，戶為直線

V=1x上的動點，則|尸耳一幟⑷的最大值為.

14.己知數(shù)列{《,}的通項公式為例=」一，5,=?？?+。2。3+―+%4+1，若對任意"CN*，不等式

〃+3

恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：

分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率：

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）；

（3）假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設乂為甲獲勝的場數(shù)，月為乙獲勝的場數(shù)，月為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。（耳），。（巴），。（4）的大小關系.

16.如圖，在多面體43CDM中，底面43C。為平行四邊形，AB=2,AD=2也,/ABD=90。,

矩形ADE尸所在平面與底面4BCZ）垂直，M■為CE的中點.

（1）求證：平面皮〃平面NM；

（2）若平面與平面3CF夾角的余弦值為叵，求CE與平面5ZW所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)/（x）=x-olnx-l（aeR）.

<1）若曲線P=/（x）在點。,0）處的切線為x軸，求。的值:

（2）討論/（X）在區(qū)間（1,+?）內極值點的個數(shù)：

18.已知拋物線：V=2x,直線/:y=x-4,且點5,0在拋物線上.

（1）若點4c在直線,上，且45,C,O四點構成菱形4BC。，求直線5。的方程；

（2）若點A為拋物線和直線/的交點（位于*軸下方），點。在直線/上，且4瓦。,。四點構成矩

形4BCZ）,求直線5。的斜率.

19.若無窮數(shù)列｛%｝的各項均為整數(shù).且對于V7,/eN*,，＜/,都存在左〉）,使得

ak=則稱數(shù)列｛4｝滿足性質￡

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質R并說明理由.

①=n，n=1f2,3,…；

②6〃=〃+2,n=1,2,3,….

⑵若數(shù)列｛%｝滿足性質R且4=1,求證：集合｛〃eN*|%=3｝為無限集；

（3）若周期數(shù)列｛%｝滿足性質P,請寫出數(shù)列｛%｝的通項公式（不需要證明）.

2024年高考數(shù)學押題預測卷02

數(shù)學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.若（l-2i）（二—3—2i）=2+i,則2=（）

A3—3zB.3+31C.—3+31D.—3—31

【答案】B

°?2+i（2+i）（l+2i）5i.

【解析】由題意得二一3-21=丁==:===1,所以z=3+3i.

1-21（1-21）（1+21）5

故選：B.

2.已知向量值=（2,0）石=（一1,百），則）與（G-B）夾角的余弦值為（）

A.--B.--C.yD.—

2222

【答案】D

【解析】因為萬一3=卜,一百），則|Z-加=26，

-（a-b\a6J3

所以―,丹司r爾嚀.

故選:D.

171

3.“直線xsine+'y-luO與x+.vcos，+l=0平行"是"6=z"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若直線xsind+；y—1=0與x+.vcos6+l=0平行，

2_

易得：sin。wO,cos。,故：sin〃2—1,

1cos01

Ill7T兀

則sin6cos8=2sin2。=5,sin26=1,28=彳+2版（左e7^）,0=—+hi（kwZ）

TV

得不到9=一,故不是充分條件；

4

兀11

反之，當。=一時sin6_2-1成立，故直線xsin6+—y-1=0與x+ycos，+l=0平行，是

4-W2

1cos。1

必要條件；

1兀

故“直線xsinO+gy—1=0與x+_ycos，+l=0平行”是“。=]”的必要不充分條件，

故選：B.

623456

4.（x-1）=a0+atx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則生+/+七=（）

A.64B.33C.32D.31

【答案】D

3456

【解析】因為（x-l）6-%+。好+。282+a3x+a4x+a5x+a6x,

所以令x=0可得g=l①，

令X=1可得Q0+Q]+a2+Q3+。4+。5+。6=0②'

令X——1.可得4—Q]+出—%+〃4—〃5+“6=?6（3）,

②+③可得旬+%+%+。6=250,

將①代入④可得出+%+。6=2,-1=31.

故選：D

5.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖晅的“開立圓術”.祖眠在求球的體積時，使用一個

原理：“嘉勢既同，則積不容異”幕”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如

在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平

行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被

稱為“祖眶原理”.3D打印技術發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技

術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為〃的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)

S（%）=兀（9—獷，右式0,9]擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）

A.2771B.8171C.108兀D.243兀

【答案】D

【解析】如下圖所示：

p

圓錐PO的高和底面半徑為9,平行于圓錐PO底面的截面角圓錐PO的母線PB于點C,

設截面圓圓心為點O',且。。'=力，則尸O'=PO—00'=9—力，

PO'O'C9-hO'C

易知APO'CsAPOB,則——=——，即——=——，可得O'C=9—。，

POOB99

所以，截面圓圓。'的半徑為9一力，圓O'的面積為兀（9—/ip,

又因為Se）=兀（9—4,

根據(jù)祖唯原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9,

高為9的圓錐的體積近似相等，

1,

所以該“睡美人城堡”的體積約為一X7tx92x9=243n,

3

故選：D.

6.在中，內角4民。的對邊分別為久久c,若（。+。）（$1114-5111。）=，儂114-$山5）,且

。二百，則。—白的取值范圍為（）

2

【答案】C

【解析】因為(4+c)(siih4—sinC)二辦(sin4—sin5),

所以（〃+c）（〃一。）二"4一萬）,整理得/S—cJab,

所以cosC=+――c?=1,

lab2

7T27r

又CE(0,TT),所以C=+5==―,

又c=6,所以二一二2R,解得￡=1,

smC

所以a-g=22?|siiL4-siiiS2兀

=2siih4-sin"』地-旦。必

"I-}22

「c/27rrI兀，兀兀

又0<N<—，則——<4——<—,

3662

所以—正<?！?〈百，

22

即。一2的取值范圍為（一里,省.

2I2）

故選：C.

7.已知正實數(shù)a,6,c滿足2。+1=2。_4,3—+1=3&-6,4」+1=羋一c,則瓦c的大小關系

abc

為（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析1由題意----二2a—a^>2a—2=a-\■—,---=3b—b=>36—3=Z>+—,-----=4c—c=>4,-4=cH■—,

aabbcc

所以令/（xhx+ICxAO%gGbzx-zgGbBxrgsGbdXT,

所以問題等價于比較/（X）的圖象分別與8"）途2（》）8（》）的圖象三個交點橫坐標的大小關系，

而修（丫）送2（*）送3門）均過點。,0）,

則由指數(shù)函數(shù)單調性可知，/（X）的圖象分別與gi（x）,g2（x）,g3（x）的圖象三個交點橫坐標如圖所示:

7T

8.已知耳，瑪是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且/不明=§,若橢圓的離心

，3/

率為，，雙曲線的離心率為與，則汶］+”上的最小值是（）

D*

2+百R1+V3r273

333

【答案】A

【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為。】，雙曲線的實半軸長為。2,

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|「耳|+|尸乙|=2可周一|叫卜2利,

i

|尸周=q+ci2,\PF21=ax—a2?設陽用=2c,ZJ1,PF1=—,

222

則在△尸耳月中，由余弦定理得，4c=(a1+a2)+(a1-a2)-2(a1+a2)(<71-a2)cos^,

13

化簡得a；+3a；=,即/+/=4,

力3e；13131,3,

工+1+1-導1+/+1*

4+i4+3iA+i—+13+1392；

22

g

q2

4+13131+1

1.e；21

=-x4+-^——+q1—X4+

66

7+1

e2

\2

31

7+1

e

當且僅當〈\27時等號成立,

13

41

，《2

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量X?NR,。?），p（x>l）=0.68,則尸（2<x<3）=018

C.設45為兩個隨機事件，尸（4）>0,若尸（冽4）=0（5）,則事件4與事件8相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到力？=4.712,依據(jù)。=0.05的卡方獨立性檢驗

(x005=3.841),可判斷X與丫有關且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】BCD

【解析】對于A,因為10x70%=7,

又將數(shù)據(jù)從小到大排列，第7個數(shù)為7,第8個數(shù)為8,

所以第70百分位數(shù)為7.5,故A錯誤；

對于B,根據(jù)正態(tài)分布的性質可知為尸(X>2)=0.5,

P(2<x<3)=P[\<x<2)=尸(x>1)-P(x>2)=0.18,故B正確；

對于C,根據(jù)條件概率可知P(8/)==P(B)nP(?=P(/)P(8)，

由相互獨立事件的判定可知C正確；

對于D,根據(jù)獨立性檢驗的意義可知％2=4.712>x005,

故可判斷X與￥有關且該判斷犯錯誤的概率不超過0.05,故D正確.

故選：BCD.

10.若函數(shù)/(%)=25泣2%.10825111%+2852%」082(：0$%,則()

A.“X)的最小正周期為萬

7T

B./(x)的圖象關于直線對稱

4

C./(x)的最小值為-1

D./(x)的單調遞減區(qū)間為12左肛5+2左左，k^Z

【答案】BCD

JT

【解析】由sinx〉0,?。5%>0得/(工)的定義域為(2左肛5+2左》),keZ,

JI3

當xe(0,,)時，X+乃@(肛5萬)不在定義域內，故/(x+萬)=/(無)不成立，

故選項4錯誤；

冗

22

又/(---x)=2cosx-log2cosx+2sinx-log2sinx=f(x),

TT

所以〃x)的圖象關于直線X=：對稱，所以選項6正確；

4

2222

因為/(x)=sinx-log2sinx+cosx-log2cosx,設，=sin2x,

所以函數(shù)轉化為g。)=jlog2f+(l—7)」Og2(l1)，/€(0,1),

,

g(0=log2/-log2(l-0,由g'(/)>o得g</<l,由g'(/)<0得0</<g,

所以g。)在(0,；)上單調遞減，在(1,1)上單調遞增，

故g(0min=8(；)=一1，即/(%山=一1，故選項應確；

因為g(f)在(0,；)上單調遞減，在(；,1)上單調遞增，

由，=$1112^,令0vsin2xv—得o<sinx<——,

22

又/(X)的定義域為(2Qr,C+2Qr),keZ,解得2Kr<x<M+2k;r,keZ,

24

7t

因為f=sin?%在(2后小一+2k兀)上單調遞增，

4

所以/(X)的單調遞減區(qū)間為(2Kr,匹+2左))，keZ.

4

同理函數(shù)的遞增區(qū)間為(工+2左凡工+2上萬)，keZ,所以選項〃正確，

42

故選:BCD

11.設函數(shù)f(x)的定義域為R,〃x)為奇函數(shù)，/(l+x)=/(l-x),/(3)=1,貝IJ()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.>/(左)=一1

I

【答案】ABD

【解析】由/(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)“X)的圖象關于(0,0)對稱，

又/(l+x)=/(l—x),則/(x)的圖象關于x=l對稱，

所以/(x+2)=/(-x)=-/(x),

則/(4+x)=—/(x+2)=/(x),

.??/(x)為周期函數(shù)且周期為T=4,B對.

所以/(3)=/(-1)=1,A對.

而/(4-x)=/(-x)=_/(x),C錯.

由上可知/(2)=—/(0)=。/(4)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=_/(T)+0+l+0=0,

則㈤=〃1)+/⑵=一1，D對.

k=l

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合人卜卜2<、<4},八卜/>；},則一於

【答案】(-1,4)

【解析】由2、>g,可得x>—l,即3={x|x>-l},

故［05=(-1,4).

故答案為：（—L4）

11

13.己知/為圓Gx2+（y—19）2=］上的動點，8為圓E：（x—39）+y2=a上的動點，尸為直線

V=gx上的動點，則忸耳-幟d的最大值為.

【答案】巫@+1

5

=<*的對稱點為石'（7〃,"），

【解析】設石（3,0）關于直線y

?19

=-1JH二一

“一：3,，解得,912

則〈12，故〃5

n1"2+35T

———?.11=一

12225

則圓E關于V=對稱的圓￡'的方程為［x+口號）4

要使的值最大，

則尸,4〃（其中5'為B關于直線y=的對稱圓上的點）三點共線,

且該直線過C,E'兩點，如圖,

2^30

其最大值為|48［=］。砌+1+|—-1I+l=-^^+l.

II55

14.已知數(shù)列｛q,｝的通項公式為（=」一,S〃=qa2+a2a3+…+（4+1，若對任意〃eN*,不等式

〃+3

42（〃+3）S"<〃+2恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是.

【答案】2<1

1111

【解析】由％,貝|Janan+i-7-―~7\=一"T—一~7,

77+3(〃+3)(〃+4)〃+3〃+4

11111111n

,ftS?=-----+------+---+

4556〃+3〃+44〃+44(〃+4)，

/、n(n+3\2.

由4X("+3)S?<〃+2,可得(+勺<77+2,

,(〃+2)(〃+4),3〃+8

即彳<----7--C-=1+——丁，

+n+3n

魯…,貝…

設/(x)=<°恒成立,

X+

故/（X）在（0,+8）單調遞減，當X—+CO時，0,

即當+8時，1+F------>1,故2W1.

n~+3〃

故答案為：A<1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位:

分）情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設X表示乙得分大于丙得分

的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）；

（3）假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概

率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設乂為甲獲勝的場數(shù)，1；為乙獲勝的場數(shù)，工為丙

獲勝的場數(shù)，寫出方差。（乂），?；?，。（天）的大小關系.

【答案】（1）/（2）分布列見解析，g（3）D（Y^）>D{Y}）>D[Y3）

【解析】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第

10場.

3

設A表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則尸（/）=仿.

（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，

分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

尸（x=o）=電=l，P（X=l）=-^^=—,尸（x=2）=*=4.

'7C15V，或15'，篌5

所以X的分布列為

X012

182

P

15155

所以石（X）=Ox±+lx2+2xg=g.

（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為之，乙獲勝的概率為:，丙獲勝的概率為工，還需要進行6場

1025

比賽，

而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以

Z＞（^）=6x0.3（l-0.3）=1.26,D（^）=6xO.5（l-O.5）=1.5,）=6x0.2（1-0.2）=0.96

故。（功〉?；?。（4）.

16.如圖，在多面體43CD跳'中，底面4BCD為平行四邊形，AB=2,AD=2VI,ZABD=90°.

矩形8QE尸所在平面與底面4BC。垂直，”為CE的中點.

（1）求證：平面5DW〃平面4EF；

（2）若平面跳?/與平面3CR夾角的余弦值為畫,求CE與平面ADM所成角的正弦值.

5

4

【答案】（1）證明見解析（2）y

【解析】（1）如圖，連接4c交助于點G,連接MG.

因為底面為平行四邊形，

所以G為NC的中點.

因為M為CE的中點，所以MG〃胡.

又因為MG?平面AEF,￡4u平面AEF.

所以MG〃平面

因為BDEF為矩形，所以2）3〃EF,BD仁平面AEF,EFu平面AEF.

所以平面4￡萬.

因為A/GcBD-G.MGu平面BDM.BDu平面BDM,

所以平面ADA/〃平面HE產(chǎn).

（2）因為AB=2,AD=26,NASD=90：所以m=2,

因為平面BDEF1平面ABCD,平面BDEFc平面ABCD=BD、DE1BD,

所以DE人平面48C7）.

分別以為軸建立空間直角坐標系,

設①>0）,則3（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,E（0,02）,M（O/J）,

所以血二（O/J）,麗二（2,0,0）,旅=（—2,2,0）,第二（0,0,27）,

ifi?DM=0,

設平面的法向量為〃?=（再,弘,21）,貝卜

冊?麗=0,

y.+Zr.=0_,、

即<_.，令二i=-1,則7〃=(0,/,-1),

肉=0

百?BC=0,

設平面5CF的法向量為〃=（》2，%,22），貝卜

n-BF=0,

—2馬+2%=°-/、

即〈,令則〃=(1」,0),

—u

所以卜OS仇訃晶=不￡正=雪解得:2,

所以萬=（0,2,—1）,無=（0,-2,4）.

設CE與平面RDM所成的角為6,

則sin夕gcos(CE,加)|二|2x(—2)+(—l)x4|4

722+(-l)2-7(-2)2+425-

4

所以CE與平面所成的角的正弦值為

17.已知函數(shù)/（x）=x-alnx-l（aeR）.

（1）若曲線y=/（x）在點。,0）處的切線為“軸，求。的值;

（2）討論/（x）在區(qū)間（1,內）內極值點的個數(shù)；

【答案】（1）。=1（2）答案見解析

【解析】⑴由/(x)=x-alnx-l(aeR)得：/'()=l--,

xx

依題意，/(l)=l-a=0,得a=l.

經(jīng)驗證，/(x)=x—lnx—1在點(1,0)處的切線為y=0,所以。=1.

⑵由題得/'(X)=1_q=*

X

(i)若aWl,當xe(l,+<)時,/'(x)>0恒成立，

所以/*)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增，所以/(X)無極值點.

(ii)若a〉1,

當xe(l,a)時,f\x)<0,故/(x)在區(qū)間(1,a)上單調遞減,

當xe(a,+oo)時，f\x)>0,故/(x)在區(qū)間(a,+oo)上單調遞增.

所以x=a為/(x)的極小值點，且/(%)無極大值點.

綜上，當a41時，/(x)在區(qū)間(1,+8)內的極值點個數(shù)為0；

當a〉1時，/a)在區(qū)間(1,+8)內的極值點個數(shù)為1.

18.已知拋物線：j?=2x,直線/：y=x-4,且點瓦。在拋物線上.

(1)若點4c在直線/上，且45,。,。四點構成菱形/BCD,求直線的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于x軸下方)，點C在直線/上，且48,。,。四點構成矩

形4BCD,求直線的斜率.

【答案】(1)x+y-2=0(2)1

【解析】(1)由題意知設直線AD:x=—y+加.

x=-y+mc

聯(lián)立\2得y2+2y-2m=0,

J=2x

則yB+%=-2,yByD=-2m,xB+xD=-(yB+yD)+2m^2m+2,

則AD的中點(加+1,T)在直線y=x-4上，

代入可解得加=2,/+2j；-4=0,A=20>0,滿足直線與拋物線有兩個交點，

所以直線5Z)的方程為x=-}7+2,即x+y—2=0.

(2)當直線的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

y=x-4Ix=2\x=8/、

由{2c得<c或<“(舍去)，故/(2,—2).

b=2xU=-2[y=4'7

當直線AB,AD的斜率存在且不為0時,設直線45:x-2=/+2).

x-2=t(y+2).-

聯(lián)立《2c；M/-2(y-4/-4=0,所以"+為=2f.

y=2x

所以B+4f+2,2f+2).同理得-----F2,---F2j.

由AD的中點在直線>=》-4上,

得；12/+小+2+怖一：+2］-4=；［2，+2-：+2］,

即,2+—+—1-4=0.

令/_；=2，則22+2_2=0,解得）=—2或0=1.

2/+2-|--+21

當夕=1時，直線3。的斜率凝°=----------M~~r=一f-=1；

2『+由+2—產(chǎn)—；+25；+23

當夕=-2時，直線的斜率不存在.

所以直線AD的斜率為工.

3

19.若無窮數(shù)列｛4｝的各項均為整數(shù).且對于都存在后〉）,使得

ak=4勺一%-%,則稱數(shù)列｛an］滿足性質P.

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質R并說明理由.

①%=〃，〃=1,2,3,…；

@bn=n+2,n=1,2,3,….

⑵若數(shù)列｛%｝滿足性質R且［=1,求證：集合｛〃eN*|4=3｝為無限集;

（3）若周期數(shù)列｛%｝滿足性質P,請寫出數(shù)列｛%｝的通項公式（不需要