2025高考幫備考教案數(shù)學第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1講兩個計數(shù)原理課標要求命題點五年考情命題分析預測了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.分類加法計數(shù)原理2023新高考卷ⅠT13兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，也是與實際聯(lián)系密切的部分，既能單獨命題，也常與排列組合問題、概率計算問題綜合命題，題型以小題為主，難度不大.在2025年高考的復習備考中要注意兩個計數(shù)原理的區(qū)別并能靈活應用.分步乘法計數(shù)原理2023全國卷乙T7；2022新高考卷ⅡT5；2021全國卷乙T6；2020新高考卷ⅠT3；2020全國卷ⅡT14兩個計數(shù)原理的綜合應用學生用書P2241.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝①m＋n種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝②m×n種不同的方法.辨析比較兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系都是對完成一件事的方法種數(shù)而言.區(qū)別一每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事.各個步驟都完成才算完成這件事（每步中的每一種方法都不能獨立完成這件事）.區(qū)別二各類方法之間是相互獨立的，既不能重復也不能遺漏.各步之間是相互依存的，缺一不可.1.[多選]下列說法正確的是（BD）A.在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B.在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C.在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事D.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題2.[教材改編]已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的進出公園的方式有12種.解析將4個門分別編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，同理，從2，3，4號門進入，也各有3種出門的方式，故不同的進出公園的方式共有3×4＝12（種）.3.[易錯題]某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有243種.解析因為每封電子郵件有3種不同的發(fā)送方法，所以要發(fā)5封電子郵件，不同的發(fā)送方法有3×3×3×3×3＝243（種）.4.[教材改編]書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為9.解析分三類：第一類，從第1層取一本書，有4種取法；第二類，從第2層取一本書，有3種取法；第三類，從第3層取一本書，有2種取法.共有取法4＋3＋2＝9（種）.學生用書P224命題點1分類加法計數(shù)原理例1（1）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2022是“六合數(shù)”），則首位為2的“六合數(shù)”共有（B）A.18個 B.15個 C.12個 D.9個解析依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為211，121，112.共計3＋6＋3＋3＝15（個）.（2）滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對（a，b）的個數(shù)為13.解析當a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的個數(shù)為4.當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，（a，b）的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，（a，b）的個數(shù)為2.由分類加法計數(shù)原理可知，（a，b）的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.方法技巧分類加法計數(shù)原理的應用思路（1）根據(jù)題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置等確定恰當?shù)姆诸悩藴?，分類標準要明確、統(tǒng)一；（2）分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.訓練1集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對（x，y）作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是（B）A.9 B.14 C.15 D.21解析當x＝2時，x≠y，y可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.當x≠2時，由P?Q，得x＝y(tǒng)，x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.綜上，滿足條件的點共有7＋7＝14（個）.命題點2分步乘法計數(shù)原理例2（1）[2023全國卷乙]甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（C）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種解析甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有6種情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有5×4＝20（種）情況，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有6×20＝120（種）選法，故選C.（2）[多選]有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（AC）A.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種B.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種C.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有33種解析對于A選項，第1個同學有3種報名方法，第2個同學有3種報名方法，后面的2個同學也有3種報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有34種報名方法，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24（種）選擇，C正確，D錯誤.故選AC.方法技巧分步乘法計數(shù)原理的應用思路根據(jù)事件發(fā)生的過程合理分步，分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.訓練2[多選]某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區(qū)進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動，則下列說法正確的有（AC）A.如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C.如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種解析對于A，如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有53－43＝61（種），故A正確；對于B，如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有52＝25（種），故B錯誤；對于C，如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有5×4×3＝60（種），故C正確；對于D，甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，第一步，將甲、乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，則不同的安排方法共有52＝25（種），故D錯誤.故選AC.命題點3兩個計數(shù)原理的綜合應用例3（1）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，其中記載了“勾股圓方圖”（如圖），用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（C）A.36 B.48 C.72 D.96解析解法一根據(jù)題意得，涂色分2步進行：①對于區(qū)域A，B，E，三個區(qū)域兩兩相鄰，有A43＝24（種）涂色方法；（區(qū)域E位于中心位置，其他4個區(qū)域均與區(qū)域E相鄰，故先考慮兩兩相鄰的區(qū)域A，B，E的涂色方法，再研究余下②對于區(qū)域C，D，若區(qū)域C與區(qū)域A顏色相同，則區(qū)域D有2種涂色方法，若區(qū)域C與區(qū)域A顏色不同，當A，B，E涂色確定時，則區(qū)域C和區(qū)域D涂色方法確定，只有1種，由分類加法計數(shù)原理可知區(qū)域C，D有2＋1＝3（種）涂色方法.由分步乘法計數(shù)原理得，共有24×3＝72（種）不同的涂色方法.故選C.解法二可分兩種情況：①區(qū)域A，C不同色，先涂區(qū)域A有4種，區(qū)域C有3種，區(qū)域E有2種，區(qū)域B，D各有1種，有4×3×2＝24（種）涂法.②區(qū)域A，C同色，先涂區(qū)域A有4種，區(qū)域E有3種，區(qū)域C有1種，區(qū)域B，D各有2種，有4×3×2×2＝48（種）涂法.故共有24＋48＝72（種）涂色方法.（2）由0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù).解析要完成的一件事為“組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中的四個數(shù)字不重復.因此應先分類，再分步.第1類，當千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×4×5×4＝240.第2類，當千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除千位數(shù)字外的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×3×5×4＝180.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為240＋180＝420.方法技巧1.利用兩個計數(shù)原理解決問題的一般步驟2.涂色問題常用的兩種方法訓練3（1）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（D）A.48 B.18 C.24 D.36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24（個）；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36（個）.（2）甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號為9，其四位同事的車牌尾號分別是0，2，1，5.為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾號為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾號為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（B）A.64 B.80 C.96 D.120解析5日至9日，有3個奇數(shù)日，2個偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2＝4（種）.第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：第一類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3×2×2＝12（種）；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2×2＝8（種）.綜上，不同的用車方案種數(shù)為4×（12＋8）＝80，故選B.1.[命題點1]設集合I＝{1，2，3，4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，則稱（A，B）為一個“理想配集”.若將（A，B）與（B，A）看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有9個.解析對子集A分類討論：當A是{1，2}時，B可以為{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4種情況；當A是{1，2，3}時，B可以為{1，2，4}，{1，2}，共2種情況；當A是{1，2，4}時，B可以為{1，2，3}，{1，2}，共2種情況；當A是{1，2，3，4}時，B為{1，2}，有1種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9（種）結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個.2.[命題點2]已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（C）A.12 B.8 C.6 D.4解析分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此可表示第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6.3.[命題點3]如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，343，275等），那么所有凸數(shù)的個數(shù)為240.解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6（個）.若a2＝4，則凸數(shù)有3×4＝12（個），……，若a2＝9，則凸數(shù)有8×9＝72（個）.所以凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（個）.4.[命題點3/2023哈爾濱六中檢測]涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給圖中的小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有66種不同的涂色方法.解析可分四類：第一類，當選擇兩種顏色時，因為橄欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有C42－1＝5（種）選法，因此不同的涂色方法有5×2＝10（種）；第二類，當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中時，有2種選法，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8（種）；第三類，當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中時，有2種選法，因此不同的涂色方法有2×3×2×（2＋1）＝36（種）；第四類，當選擇四種顏色時，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12（種）.所以共有10＋8＋36＋12＝66學生用書·練習幫P3821.[2024四川成都模擬]“數(shù)獨九宮格”的游戲規(guī)則為：將1到9這9個自然數(shù)填到如圖所示的九宮格的9個空格里，每個空格填1個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同.若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（C）5A.72 B.108 C.144 D.196解析按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取.第一步，填上方空格，有4種填法；第二步，填左方空格，有3種填法；第三步，填下方空格，有4種填法；第四步，填右方空格，有3種填法.由分步乘法計數(shù)原理得，不同的填法種數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.2.[2023全國卷甲]現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（B）A.120種 B.60種 C.30種 D.20種解析先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有5種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有4×3＝12（種）安排方式.所以不同的安排方式共有5×12＝60（種）.故選B.3.[2024北京市順義區(qū)聯(lián)考]某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課.現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學、政治、英語、體育、藝術6門課的課程表，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午，則不同的排法有（D）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種解析由題意，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午，先考慮這兩門課程，有4×2＝8（種）排法，再排其余4節(jié)課，有4×3×2×1＝24（種）排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有8×24＝192（種）排法，故選D.4.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴的吉祥物，乙同學喜歡牛、狗和羊的吉祥物，丙同學對所有的吉祥物都喜歡.讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個珍藏，若每個人所選取的吉祥物都是自己喜歡的，則不同的選法共有（C）A.50種 B.60種 C.80種 D.90種解析根據(jù)題意，按甲的選擇分兩類討論：第一類，若甲選擇牛的吉祥物，則乙的選法有2種，丙的選法有10種，此時不同的選法有2×10＝20（種）；第二類，若甲選擇馬或猴的吉祥物，則甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，此時不同的選法有2×3×10＝60（種）.所以不同的選法共有20＋60＝80（種）.故選C.5.[2023南京六校聯(lián)考]如圖，用4種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域區(qū)分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（C）A.144種 B.73種C.48種 D.32種解析由于A，B，C三塊區(qū)域兩兩相鄰，因此需填涂3種不同的顏色.①當D區(qū)域與A區(qū)域顏色相同時，只需從4種不同的顏色中選取3種分別填涂到A，B，C三塊區(qū)域，有4×3×2＝24（種）涂法；②當D區(qū)域與A區(qū)域顏色不同時，只需將4種不同的顏色分別填涂到A，B，C，D四塊區(qū)域，有4×3×2×1＝24（種）涂法.所以不同的涂法共有24＋24＝48（種），故選C.6.如圖所示，從正八邊形的八個頂點中任選三個構(gòu)成三角形，則與正八邊形有公共邊的三角形有40個（用數(shù)字作答）.解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形中兩個相鄰的頂點和一個與所選頂點均不相鄰的頂點構(gòu)成，共有8×4＝32（個）；第二類，有兩條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形中三個相鄰的頂點構(gòu)成，共有8個.由分類加法計數(shù)原理可知，共有32＋8＝40（個）.7.[2023北京通州區(qū)質(zhì)檢]一個三位數(shù)，如果滿足個位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為三位數(shù)“凹數(shù)”，則沒有重復數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為240.（用數(shù)字作答）解析依題意，無重復數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”，十位數(shù)字只可能為0，1，2，3，4，5，6，7之一，個位和百位上的數(shù)字從比對應十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個進行排列，所以沒有重復數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝72＋56＋42＋30＋20＋12＋6＋2＝240.8.[2024北京市景山學校期末]在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個數(shù)，將其組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4351大的數(shù)共有（C）A.54個 B.62個 C.74個 D.82個解析根據(jù)被5整除的數(shù)特點，分成兩類.第一類：個位為0，則千位為5或6時，有2×5×4＝40（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為5或6時，有2×4＝8（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為3時，十位為6，有1個四位數(shù)大于4351.第二類：個位為5，則千位為6時，有5×4＝20（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位是6時，有4個四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為3時，有1個四位數(shù)大于4351.綜上，滿足條件的數(shù)共有40＋8＋1＋20＋4＋1＝74（個）.故選C.9.算盤是中國古代的一項重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.若撥動圖1算盤中的三枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（C）圖1 圖2A.16 B.15 C.12 D.10解析由題意，撥動三枚算珠，有4種撥法：①個位撥動三枚，有2種結(jié)果：3，7；②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結(jié)果：12，16，52，56；③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結(jié)果：21，25，61，65；④十位撥動三枚，有2種結(jié)果：30，70.綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為2＋4＋4＋2＝12，故選C.10.[2023青島檢測]據(jù)史書記載，古代的算籌由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此方式表示一個兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則可以表示不同的兩位數(shù)的個數(shù)為12.解析當十位為1時，個位可以是4，8，共2種；當十位為2時，個位可以是3，7，共2種；當十位為3時，個位可以是2，6，共2種；當十位為4時，個位為1，共1種；當十位為6時，個位可以是3，7，共2種；當十位為7時，個位可以是2，6，共2種；當十位為8時，個位為1，共1種.所以可以表示的兩位數(shù)有5×2＋1×2＝12（個）.11.[與集合綜合]設集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，則集合A中滿足條件1≤x12＋x22＋x32＋x42＋A.180 B.210 C.240 D.241解析因為A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，所以x1，x2，x3，x4，x5都有3種不同的賦值，集合A中共有35個元素，且0≤x12＋x22＋x32＋其中滿足x12＋x22＋x32＋x42＋x52＝0的只有1個元素，即（0當x12＋x22＋x32＋x42＋x52＝5時，x1，x2，x3，x4所以集合A中滿足條件1≤x12＋x22＋x32＋x42＋x52≤4的元素個數(shù)為312.[邏輯推理]小李和小王玩一個猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知六張紙牌上分別寫有1－（12）n（n∈N*，1≤n≤6）六個數(shù)，現(xiàn)小李和小王分別從中各隨機抽取一張，然后根據(jù)自己手中紙牌上的數(shù)推測誰手中紙牌上的數(shù)更大.小李看了看自己手中紙牌上的數(shù)，想了想說：“我不知道誰手中紙牌上的數(shù)更大.”小王聽了小李的判斷后，思索了一下說：“我知道誰手中紙牌上的數(shù)更大了.”假設小王和小李做出的推理都是正確的，那么小李和小王拿到紙牌的情況共有14種解析六張紙牌上的數(shù)分別為12，34，78，1516，因為小李不知道誰手中紙牌上的數(shù)更大，因此小李拿的紙牌上的數(shù)不是最大的6364，也不是最小的12，因此小李拿的紙牌有4接下來討論小王：①當小王拿的紙牌上的數(shù)是12時，則小王知道小李拿的紙牌上的數(shù)一定比他大，此時有4②當小王拿的紙牌上的數(shù)是34時，則小王知道小李拿的紙牌上的數(shù)一定比他大，此時有3③當小王拿的紙牌上的數(shù)是3132時，則小王知道小李拿的紙牌上的數(shù)一定比他小，此時有3④當小王拿的紙牌上的數(shù)是6364時，則小王知道小李拿的紙牌上的數(shù)一定比他小，此時有4⑤當小王拿的紙牌上的數(shù)是1516或78所以滿足題意的情況共有4＋3＋3＋4＝14（種）.第2講排列與組合課標要求命題點五年考情命題分析預測理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.排列問題2022新高考卷ⅡT5本講每年必考，主要以實際問題為情境考查計數(shù)問題，有時單獨命題，以小題為主，有時作為工具應用于概率的計算，以大題為主，難度中等偏易.預計2025年高考仍會以創(chuàng)新實際生活情境為載體進行命題.組合問題2023新高考卷ⅠT13；2023新高考卷ⅡT3；2020新高考卷ⅠT3排列與組合的綜合應用2023全國卷甲T9；2021全國卷乙T6；2020全國卷ⅡT14學生用書P2261.排列、組合的定義名稱定義排列從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并按照①一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.組合作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.注意排列有序，組合無序.2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式及性質(zhì)（n，m∈N*，且m≤n）排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號②Anm從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，用符號③Cnm公式Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n?。╪Cnm＝AnmAmm＝n（n－性質(zhì)Ann＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×Anm＝（n－m＋1）AnmCnm＝Cnn－m；說明Cnm＝Cnn－m的應用主要是兩個方面：一是簡化運算，當m＞n2時，通常將計算Cnm轉(zhuǎn)化為計算Cnn－m；二是列等式，由C1.5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里至多放一個球，則不同的放法有（B）A.A85種 B.C85種 C.58種 解析由于球都相同，盒子不同，每個盒里至多放一個球，所以只要選出5個不同的盒子即可.故共有C852.[教材改編]從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是（B）A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學，每人1本，則不同的分配方法種數(shù)為A43.[教材改編]某班舉行了“弘揚中華文化”演講比賽，有6人參加，并決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次）.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從回答分析，6人的名次排列情況可能有（D）A.216種 B.240種 C.288種 D.384種解析由題可知，甲和乙都不是冠軍，所以冠軍有4種可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4種可能性，所以6人的名次排列情況可能有4×4×A44＝3844.[多選]下列說法正確的是（BD）A.所有元素完全相同的兩個排列為相同排列B.兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同C.若Cnx＝CnmD.An+1m＝A5.[易錯題]計算C73＋C74＋C85＋C解析原式＝C84＋C85＋C96＝C6.若Cn+13＝Cn3＋Cn4解析∵Cn+13＝Cn3＋Cn4＝Cn+14，∴n學生用書P227命題點1排列問題例1有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后兩排，前排3人，后排4人，則不同的排列方法總數(shù)為5040.（2）若全體排成一排，女生必須站在一起，則不同的排列方法總數(shù)為576.（3）若全體排成一排，男生互不相鄰，則不同的排列方法總數(shù)為1440.（4）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為3600.（5）若全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則不同的排列方法總數(shù)為3720.（6）若全體排成一排，其中甲、乙、丙三人從左到右順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為840.解析（1）分兩步完成，先選3人站前排，有A73種方法，余下4人站后排，有A44種方法，共有A73（2）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A44種方法，再將女生全排列，有A44種方法，共有A44（3）先排女生，有A44種方法，然后在女生之間及首尾共5個空位中任選3個空位安排男生，有A53種方法，共有A44（4）解法一先排甲，有5種方法，其余6人有A66種排列方法，共有5×A66解法二左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62種排法，剩下的5人有A55種排法，共有A（5）解法一甲在最右邊時，其他人可全排列，有A66種方法；甲不在最右邊時，因為甲也不在最左邊，所以可從余下的5個位置中任選1個，有C51種，而乙可從除去最右邊的位置后剩下的5個位置中任選1個，有C51種，其余人全排列，有A55解法二7人全排列，有A77種方法，其中甲在最左邊時，有A66種方法，乙在最右邊時，有A66種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形（A55種方法），故共有（6）7人全排列，有A77種方法，由于甲、乙、丙的順序一定，則不同的排列方法總數(shù)為方法技巧求解排列問題的常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算.優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列.插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列空位中.定序問題除法處理定序問題，可先不考慮順序限制進行排列，再除以定序元素的全排列.間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化處理.訓練1（1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（B）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種解析先將丙和丁捆在一起，有A22種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有A33種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有2種排列方式，所以不同的排列方式共有2A（2）[2023濟南市統(tǒng)考]由3個2，1個0，2個3組成的六位數(shù)中，滿足有相鄰4位恰好是2023的六位數(shù)的個數(shù)為（B）A.3 B.6 C.9 D.24解析2023用了2個2，1個0，1個3，還余下1個2，1個3，故將2023視作一個整體與余下的1個2，1個3全排列，有A33＝6（種）不同的排法.命題點2組合問題例2（1）[多選]從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有（CD）A.若4人全部為男生，則有30種不同的選法B.若4人中男生、女生各有2人，則有30種不同的選法C.若男生中的甲和女生中的乙被選，則有28種不同的選法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被選，則有140種不同的選法解析4人全部為男生，選法有C64＝15（種），故A錯誤；如果4人中男生、女生各有2人，男生的選法有C62＝15（種），女生的選法有C42＝6（種），則4人中男生、女生各有2人的選法有15×6＝90（種），B錯誤；如果男生中的甲和女生中的乙被選，在剩下的8人中再選2人即可，有C82＝28（種）不同的選法，故C正確；在10人中任選4人，有C104＝210（種）不同的選法，甲、乙都不在其中的選法有C84＝70（2）[2023新高考卷Ⅰ]某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數(shù)字作答）.解析解法一由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有C41C41種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有C41C42種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有C42解法二若學生從這8門課中選修2門課，則有C82－C42－C42＝16（種）選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則有C83－C43－C43方法技巧組合問題常見的兩類題型（1）“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由剩下的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.（2）“至少”與“最多”的問題：解這類題的關鍵是理解“至少”與“最多”這兩個詞的含義，通常用直接法或間接法處理，分類復雜時，用間接法更容易處理.訓練2（1）[2023福州5月質(zhì)檢]“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動之一，龍舟比賽的劃手分劃左槳和劃右槳.某訓練小組有6名劃手，其中有2名只會劃左槳，2名只會劃右槳，2名既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有（C）A.15種 B.18種 C.19種 D.36種解析按照從全能者（既會劃左槳又會劃右槳）中選多少人參與劃左槳分類：①2名全能者中選2人劃左槳，有C22C22＝1（種）不同的選派方法；②2名全能者中選1人劃左槳，有C21C21C32＝12（種）不同的選派方法；③2名全能者中選0人劃左槳，有C22C（2）[2023南京市、鹽城市二模]編號為1，2，3，4的四位同學，就座于編號為1，2，3，4的四個座位上，每個座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學的編號和座位編號一致的坐法種數(shù)為6.解析先選擇兩位同學坐對編號，有C42種方法，余下的兩位同學只能交叉坐，只有1種方法，故共有C42×1命題點3排列與組合的綜合應用角度1有限制條件的排列、組合問題例3（1）[2023沈陽市質(zhì)監(jiān)]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在最中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（C）A.24種 B.36種 C.72種 D.96種解析如圖所示，當甲在3的位置時，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先從這三種中選出一種安排乙、丙，然后在剩下的3個位置安排余下的3人，所以不同的排隊方法有C31A22A33＝36（種）；當甲在4的位置時，由對稱性可知不同的排隊方法也有36種.123456（2）[2023重慶市名校聯(lián)考]某校從8名教師中選派4名教師去4個偏遠地區(qū)支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是600.（用數(shù)字作答）解析分為兩步，第一步，先選4名教師，第一步又分兩類，第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（種）不同的選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（種）不同的選法.所以選4名教師，不同的選法有10＋15＝25（種）.第二步，4名教師去4個偏遠地區(qū)支教，有A44＝24（種）分配方法.方法技巧有限制條件的排列、組合問題的解題策略（1）先分析每個限制條件，然后考慮是分類還是分步，對于分類過多的問題可以采用間接法；（2）采用特殊元素（位置）優(yōu)先原則，即先滿足有限制條件的元素（位置），再考慮其他元素（位置）.角度2分組、分配問題例4（1）有5個大學保送名額，計劃分到3個班級，每班至少一個名額，有6種不同的分法.解析一共有5個保送名額，分到3個班級，每個班級至少1個名額，即將名額分成3份，每份至少1個，（定份數(shù)）將5個名額排成一列，中間有4個空，（定空位）即只需在中間4個空中插入2個隔板，不同的方法共有C42＝6（種）（2）若將6名教師分到3所中學任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，則有360種不同的分法.解析先將6名教師分組，共有C61C5再將這3組教師分配到3所中學，有A33＝6故不同的分法共有60×6＝360（種）.（3）將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有1560種.（用數(shù)字作答）解析把6本不同的書分成4組，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”兩種不同的分組方法.若按“3，1，1，1”的分組方法，則不同的分法共有C63C31若按“2，2，1，1”的分組方法，則不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22＝所以不同的分組方法共有20＋45＝65（種）.然后把分好的4組書分給4個人，分法共有A44＝24（種），所以不同的分法共有65×24＝1560方法技巧分組、分配問題的解題思路是先分組后分配.1.常見的分組整體均勻分組分組后一定要除以Ann（n部分均勻分組若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！.不等分組分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等.注意關于分組問題，應注意無論分成幾組，只要其中某些組中的元素個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.2.常見的分配（1）相同元素的分配問題，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配.（3）有限制條件的分配問題，采用分類討論法或間接法求解.訓練3（1）[多選/2023重慶八中模擬]將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A，B，C3個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1個社區(qū)，則下列選項正確的是（BD）A.共有72種安排方法B.若甲、乙被安排在同一個社區(qū)，則有6種安排方法C.若A社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法D.若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法解析對于A選項，將4名志愿者先分為3組，再分配到3個社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為C42C21C11對于B選項，甲、乙被安排在同一個社區(qū)，先從3個社區(qū)中選1個安排甲與乙，再把剩余2個社區(qū)進行全排列，所以安排方法種數(shù)為C31A22＝對于C選項，A社區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū)，再把剩余2名志愿者進行全排列，所以安排方法種數(shù)為C42A22＝對于D選項，甲被安排在A社區(qū)，分為兩種情況，（對甲安排在A社區(qū)進行分類討論，討論A社區(qū)是甲單獨一人還是甲與另外一人）第一種為A社區(qū)安排了2名志愿者，則從剩余3名志愿者中再選擇1名，分到A社區(qū)，然后把剩余2名志愿者進行全排列，安排方法共有C31A22種；第二種是A社區(qū)只安排了甲志愿者，此時剩余3名志愿者分為2組，再分配到剩余的2所以安排方法種數(shù)一共為C31A22＋C32A（2）將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有1680種.（用數(shù)字作答）解析先選出3人，有C93種選法，再從剩下的6人中選出3人，有C63種選法，最后剩下的3人為一組，有C33種選法.由分步乘法計數(shù)原理以及整體均勻分組方法，可知不同的安排方案共有C1.[命題點1/2023大同學情調(diào)研]現(xiàn)有高中數(shù)學新教材必修一、二，選擇性必修一、二、三，共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（A）A.72 B.144 C.48 D.36解析解法一先將選擇性必修一、二、三這3本書排成一排，有A33＝6（種）排列方法，再將必修一、必修二這2本書插入兩端或3本書間的兩個空隙中，有A42＝12（種）排列方法，由分步乘法計數(shù)原理得，把這5本書放在書架上排成一排，必修一、必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是6解法二5本書放在書架上排成一排的排列方法共有A55種，其中必修一、必修二相鄰的排列方法有A22A44種，所以把這2.[命題點2/2023合肥市二檢]某高中學校在新學期增設了“傳統(tǒng)文化”“數(shù)學文化”“綜合實踐”“科學技術”和“勞動技術”5門校本課程.小明和小華兩位同學商量每人選報2門校本課程.若小明必須選報“數(shù)學文化”課程，兩位同學所選的課程至多有一門相同，則不同的選課方案有（B）A.24種 B.36種 C.48種 D.52種解析解法一當小明和小華兩位同學所選的課程恰有一門相同時，若相同的課程為“數(shù)學文化”，則不同的選課方案有C41C31＝12（種）；若相同的課程不是“數(shù)學文化”，則不同的選課方案有C41C31＝12（種）.所以小明和小華兩位同學所選的課程恰有一門相同時，共有12＋12＝24（種）選課方案.當小明和小華兩位同學所選的課程都不相同時，不同的選課方案有C41解法二小明在“數(shù)學文化”課程外任選一門課程，小華任選2門課程時，不同的選課方案有C41C52＝40（種），其中小明和小華2門課程都相同時，選課方案有C41＝4（種），故兩位同學所選的課程至多有一門相同時，不同的選課方案有3.[命題點3角度1]某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有兩輛不同的白色車和兩輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為（B）ABCDEFGHA.288 B.336 C.576 D.1680解析由題意知，每行停放一輛白色車和一輛黑色車.第一步：取一輛白色車和一輛黑色車停放到第一行，共有C21C21C42A22＝48（種）方法.第二步：把剩下的兩輛車停放到第二行.若白色車與第一行的黑色車在同一列，此時黑色車有3種停放方法；若白色車與第一行的黑色車不在同一列，則白色車有2種停放方法，黑色車也有2種停放方法，所以共有2×2＝4（種）停放方法.所以把剩下的兩輛車停放到第二行共有3＋4.[命題點3角度2/2021全國卷乙]將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（C）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種解析根據(jù)題設中的要求，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，可分兩步進行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有C52種分法；第二步，將分好的4組安排到4個項目中，有A44種安排方法.故滿足題意的分配方案共有C525.[命題點3/2023福建適應性測試]中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命做出了重要貢獻，很好地展示了國家形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排一支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C2個受災點中的一個，則不同的安排方法種數(shù)是（D）A.72 B.84 C.88 D.100解析解法一（間接法）將5支救援隊分成3組，有兩種分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再將這3組分配到A，B，C3個受災點，有A33種分配方法，故共有C53A33＋C52C32C11A22×A33＝150（種）安排方法，其中含有甲救援隊去A受災點的情形.當甲救援隊去A受災點時，變?yōu)橛嘞?支救援隊隨機去A，B，C3個受災點，則A受災點可以再去0支或1支或2支救援隊，B，C受災點均至少去1支救援隊，當A受災點再去0支救援隊時，余下4支救援隊分成兩組（3∶1或2∶2）去B，C2個受災點，不同的安排方法種數(shù)為C43A22＋C42；當A受災點再去1支救援隊時，余下3支救援隊只能按2∶1分組去B，C2個受災點，不同的安排方法種數(shù)為C41C32A解法二（直接法）將5支救援隊分成3組，有兩種分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再將這3組分配到A，B，C3個受災點.①按3∶1∶1分組，若甲救援隊單獨一組，且甲救援隊去B，C2個受災點中的一個，則有C2需2支救援隊，有C42種選法，甲救援隊所在的組去B，C2個受災點中的一個，有C21種方法，余下的2支救援隊分成兩組各去一個受災點，有A②按2∶2∶1分組，若甲救援隊單獨一組，且甲去B，C2個受災點中的1個，則有C21×C42C22A22×A22種不同的安排方法；若甲救援隊不單獨一組，則甲救援隊所在的組還需1支救援隊，有C41種選法，甲救援隊所在的組去B，C2故滿足題意的不同的安排方法種數(shù)為C21C43A22＋C42C21A22＋C21學生用書·練習幫P3831.[新高考卷Ⅰ]6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（C）A.120種 B.90種 C.60種 D.30種解析第1步，抽1名志愿者安排到甲場館，有C61種安排方法；第2步，從剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙場館，有C52種安排方法；第3步，將剩下的3名志愿者安排到丙場館.由分步乘法計數(shù)原理得，不同的安排方法共有C2.[2024吉林市田家炳高級中學模擬]從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則不同的安排方法有（D）A.56種 B.64種 C.72種 D.96種解析解法一（優(yōu)先特殊元素）根據(jù)題意可知，按A是否入選進行分類.若A入選，則先從乙、丙、丁3個崗位上安排1個崗位給A，有C31＝3（種）安排方法，再給剩下3個崗位安排人，有A43＝24（種）安排方法，共有3×24若A不入選，則4個人4個崗位，有A44＝24綜上，共有72＋24＝96（種）安排方法.故選D.解法二（優(yōu)先特殊位置）先安排去甲崗位的，A不能去，其他4人中選1人，因而有C41種安排方法，再選3人安排其他崗位，有A43種安排方法，從而共有C413.[2024北京市第十二中學模擬]4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（D）A.10 B.20 C.24 D.30解析解法一不考慮限制條件，將6位同學排成一排準備照相，共有A66種排法，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則有A66解法二插入2位同學后變成6位同學6個位置，原4位同學占4個位置，但相對順序沒變，因而有C64種排法，再排新插入的2位同學有A22種排法，從而共有C解法三6個位置可以先排后加入的2位同學，有A62＝30（種）排法，剩下4個位置原4位同學按原順序排入即可，只有1種方法，因而共有304.[2024湖南衡陽模擬]2023年春節(jié)，在北京工作的五個家庭開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為A，B，C，D，E，五輛車隨機排成一列，則A車與B車相鄰，且A車與C車不相鄰的排法有（A）A.36種 B.42種 C.48種 D.60種解析將A車與B車捆在一起當成一個元素使用，有A22種不同的捆法，將其與除C車外的2個元素全排列，有A33種排法，將C車插入，不與A車相鄰，有A31種插法，故共有A22×A5.5個小朋友站成一圈，不同的站法一共有（D）A.120種 B.60種 C.30種 D.24種解析先將5個小朋友編為1～5號，然后讓他們按1～5的順序站成一圈，這樣就形成了一個圓排列.分別以1，2，3，4，5號作為開頭將這個圓排列打開，就可以得到5種排列：12345，23451，34512，45123，51234.這就是說，這個圓排列對應了5個排列.因此，要求圓排列數(shù)，只需要求出全排列數(shù)再除以5就可以了，即這些小朋友不同的站法一共有A555＝A46.[多選]下列關于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是（ABD）A.（n＋1）Anm＝An+1m+1 C.Cnm＝Anmn！ 解析對于A，（n＋1）Anm＝（n＋1）n（n－1）…（n－m＋1）＝An+1m+1，故A正確；對于B，Cn－1m－1＝（n－1)!（m－1)!(n－m)!，Cnm＝n！m!(n－m)!＝n·（n－1)!m·（m－1)!(n－m)!＝nm·（n－1)!（m－1)!(n－m)!＝nm7.[多選/2024湖南湘潭聯(lián)考]從10名男生和8名女生中選出3人去參加創(chuàng)新大賽，則至少有1名女生的選法種數(shù)為（AC）A.C183－C103 C.C81C102＋C82C解析對于A，從18名學生中選取3人，有C183種不同的選法，從18名學生中選取3人，選的都是男生有C103種不同的選法，所以至少有1名女生的選法有C183－C對于B，C81C172＝1088對于C，至少有1名女生的選法有三種情況：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的選法有C81C102＋C82C101＋C8對于D，C102C81＋C101C82＝3608.[2024上海市華東師范大學第二附屬中學質(zhì)檢]7個志愿者的名額分給3個班，每班至少一個名額，則有15種不同的分配方法（用數(shù)字作答）.解析7個志愿者的名額分配給3個班，每班至少一個名額，其實就是在7個志愿者的名額產(chǎn)生的6個空位中插入2個“檔板”，共有C62＝159.高考期間，為保證考生能夠順利進入某考點，交管部門將6名交警分配到該考點周邊3個不同路口疏導交通，每個路口2人，則不同的分配方法共有90種.解析根據(jù)題意，分兩步進行分析.第一步，將6名交警分成“2，2，2”的三組，有C62C42C22A33＝15（種）分組方法；第二步，將分好的三組全排列，對應3個路口，有10.某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，