專題02平面向量的應(yīng)用正余弦定理邊角互化1．（22-23高一下·遼寧丹東·期末）已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角．【答案】【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，可得，且，所以.故答案為：.2．（22-23高一下·河南周口·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足(1)求A；(2)若，求a的最小值.【答案】(1)(2)1【詳解】（1），即，即；（2）由余弦定理有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故a的最小值為1.3．（23-24高一下·廣東·期末）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因?yàn)?，所以，且，所以，即．?）法一：由正弦定理得：，即，且，，即．而由為銳角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周長的取值范圍為．法二：由，不妨設(shè)，由為銳角三角形，只需，由余弦定理得：，即．又．（*）所以，得：，．由（*）式得：，所以，且，所以的周長的取值范圍為．4．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期末）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若D為延長線上一點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）角A，B，C是的內(nèi)角，故．在銳角中，，由正弦定理得，，即，所以，即，故，又，所以.（2）在中，，由正弦定理有，則，在中，由正弦定理有，即，則，所以，，故.因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，解得，，所以，所以，從而．故的取值范圍為．正余弦定理求邊求角1．（23-24高一下·廣東·期末）某工業(yè)園區(qū)有、、共3個(gè)廠區(qū)，其中，，，現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：設(shè)，，則，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以當(dāng)時(shí)，所以最小值為．法二：如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)在如圖所示的圓上，圓的直徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，所以，．連接，可得（當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）．在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，即，所以的最小值為．故選：B2．（12-13高一上·天津·期末）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足，且，則的值為.【答案】【詳解】由，得，由余弦定理得，則，所以.故答案為：.3．（23-24高一下·廣東·期末）在中，是的中點(diǎn)，，，，則．【答案】【詳解】因?yàn)樵谥校?，所以，由正弦定理得：，又因?yàn)?，，所以，解得，再由余弦定理可得：，代入已知?shù)據(jù)得：，，解得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，再由余弦定理可得：，代入已知數(shù)據(jù)可得：，則．故答案為：.4．（23-24高一上·重慶·期末）如圖，正方形的邊長為2，，分別為AB，BC的中點(diǎn).以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上有一點(diǎn)P，T、S兩點(diǎn)分別在線段AB、BC上，使得四邊形SBTP為矩形.(1)將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后使其與點(diǎn)重合，求；(2)求矩形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）連接OM,ON,MN，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，正方形邊長為2，所以，所以，所以，.所以；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則,且，則，令，，當(dāng)，即時(shí)，矩形面積的取得最大值為.判斷三角形形狀和個(gè)數(shù)1．（21-22高一下·福建莆田·期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由，，可得，所以三角形只有一解；對(duì)于B項(xiàng)，由，，，可得，所以，此時(shí)三角形有唯一的解；對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．（多選）2．（20-21高一下·浙江·期末）已知中，角的對(duì)邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（

）A． B．為銳角三角形C． D．【答案】ACD【詳解】解：，所以，故A正確；若，則為銳角，無法得到其他角的關(guān)系，故無法判斷的形狀，故B錯(cuò)誤；而，故C正確由余弦定理有故有，故D正確故選：ACD．（多選）3．（22-23高一下·寧夏銀川·期末）下面有關(guān)三角形的描述正確的是（

）A．若的面積為，則B．在中，．則滿足這樣的三角形只有一個(gè)C．在中，若，則最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．在中，，則邊上的高為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題意得，整理得，所以，所以，得，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于B，由正弦定理得，則，得，因?yàn)?，所以或，所以滿足條件的三角形有2個(gè)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以由正弦定理得，設(shè)，解得，則最大角為，最小角為，由余弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以均為銳角，所以，所以，所以最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，所以C正確，對(duì)于D，由余弦定理得，則，即，解得或（舍去），因?yàn)?，，所以，所以的面積為，設(shè)邊上的高為，則，解得，所以D正確，故選：ACD4．（18-19高一下·河南駐馬店·期末）在中，已知角的對(duì)邊分別為，且，若有兩解，則的取值范圍是．【答案】【詳解】法一：由題意，，如圖，作，在角的一邊取，過作另一邊的垂線，垂足為，要使有兩解，則以為圓心，以為半徑的圓與射線有兩個(gè)交點(diǎn)，即若使有兩解，則有，即，解得.法二：由題意，，由正弦定理得，則，由，如圖，作的圖象，若使有兩解，則有，即，解得.故答案為：.正弦定理求外接圓半徑（多選）1．（22-23高一下·安徽宣城·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．是鈍角三角形 B．面積為C．外接圓面積為 D．若D為AB中點(diǎn)，則【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確，對(duì)于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確，故選：ABD2．（22-23高一下·安徽阜陽·期末）已知四點(diǎn)共圓，且，則外接圓的面積為.【答案】【詳解】由題意，四邊形的外接圓與外接圓相同，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積.故答案為：3．（22-23高一下·甘肅臨夏·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，，且．(1)求B；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理知，，即,由，可得因?yàn)椋?，即為銳角，所以.（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，因?yàn)椋?，即，所以，故，所以，故的取值范圍?三角形面積公式及其應(yīng)用1．（23-24高一上·北京東城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊為軸的非負(fù)半軸.第一象限角的終邊與單位圓交于，第二象限角的終邊與單位圓交于.(1)求的值；(2)求的面積.（梯形的面積公式）【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意知，第一象限角的終邊與單位圓交于,第二象限角的終邊與單位圓交于，所以，，則解得或，且或，因?yàn)樵诘谝幌笙?，在第二象限，所以，，所以，，所以；?）在單位圓中，因?yàn)?，，所以，，又，由兩角差的正弦公式得，，又，?2．（23-24高一上·上海寶山·期末）在中，角A，B，C所對(duì)邊的邊長分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周長為3，求的面積S.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，則，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由題意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面積.3．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）在中，A，B，C的對(duì)邊分別為，若滿足，．(1)若，求的大?。?2)若滿足，求及的值．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）若，由余弦定理，可得，即.（2）因?yàn)?，可知角為銳角，則，又因?yàn)?，即，解得，由余弦定理，即，由正弦定理，可?射影公式（多選）1．（21-22高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下說法中正確的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若，，，則為鈍角三角形C．若，，，則符合條件的三角形不存在D．若，則為直角三角形【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，銳角中，，即，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，整理得，A正確；對(duì)于B，的最大角為C，由余弦定理得，則C是銳角，B不正確；對(duì)于C，由正弦定理得：，無解，即符合條件的三角形不存在，C正確；對(duì)于D，在中，由射影定理及得：，則，而，解得，即為直角三角形，D正確.故選：ACD2．（2022·山西臨汾高一期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則tanA的最大值為.【答案】/0.75【詳解】在中，由射影定理及得：，由正弦定理邊化角為：，于是得，由得，，即角是鈍角，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以tanA的最大值為.故答案為：3．（21-22高一·全國·期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若，則的面積為.【答案】【詳解】由三角形中的射影定理,結(jié)合已知條件，可得,又∵，∴，由，可得，解得(負(fù)值舍去)，∴三角形的面積為，故答案為：.證明三角形中的恒等式或不等式（多選）1．（20-21高一下·浙江·期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列結(jié)論一定成立的有（

）A．B．若，則C．若，則是等腰三角形D．若，則是等腰三角形【答案】BC【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橹?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，即，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋烧叶ɡ磉吇堑?，所以，因?yàn)椋曰颍ㄉ幔?，所以是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：BC2．（22-23高一下·浙江寧波·期末）在中，內(nèi)角，都是銳角.(1)若，，求周長的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)樗?，因?yàn)閮?nèi)角，都是銳角，，所以，即，所以，所以，所以周長的取值范圍為，（2）若，則，所以為銳角，所以，所以，因?yàn)閮?nèi)角，都是銳角，所以，所以，所以.3．（20-21高一下·浙江寧波·期末）某市一濕地公園建設(shè)項(xiàng)目中，擬在如圖所示一片水域打造一個(gè)淺水灘，并在、、、四個(gè)位置建四座觀景臺(tái)，在凸四邊形中，千米，千米．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）現(xiàn)要在、兩處連接一根水下直管道，已知，問最少應(yīng)準(zhǔn)備多少千米管道．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【詳解】解：（Ⅰ）由余弦定理：，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因?yàn)?，所以，所以為正三角形，，．在中，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，所以．在中，．所以.4．（21-22高一下·江蘇鹽城·期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知C=2B.(1)若，求的值；(2)若，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）由，，故，又，可得，則，，則.（2）由知：，所以，即，又，則，即，所以，而，則，綜上，.三角形面積的最值及范圍（多選）1．（22-23高一下·吉林長春·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，，則的外接圓半徑為1B．若，，則的面積最大值為C．若，，且為直角三角形，則D．若，，且有兩解，則a的取值范圍【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以的外接圓半徑為，故A正確；對(duì)于B，若，，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則，即的面積最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，綜上，或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，要使有兩解，則且，則，所以，解得，故D正確.故選：ABD.（多選）2．（22-23高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）在中，已知，為的內(nèi)角平分線且，則下列選項(xiàng)正確的有（

）.A． B．C． D．的面積最小值為【答案】ACD【詳解】依題意，即，所以，所以，故A正確；，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正確；由余弦定理，即，所以，由于由已知條件無法得知的值，故無法確定的值，故B錯(cuò)誤.故選：ACD3．（23-24高一上·福建福州·期末）如圖，已知是之間的一個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離分別為，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)．

(1)求以為鄰邊的平行四邊形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1），所以，所以，所以，所以，即，（2）由得，所以，即時(shí)，取得最大值，所以時(shí)，最小值為．4．（22-23高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）銳角中，內(nèi)角的邊分別對(duì)應(yīng)，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，整理得，所以，因?yàn)?，所?（2）解：設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)?，且，可得，由正弦定理可得，，又因?yàn)?，可得，所?因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，所以，可得，所以，所以.幾何圖形中的計(jì)算1．（20-21高一下·河北滄州·期末）嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現(xiàn)存最早的磚塔．如圖，為測(cè)量塔的總高度，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔的總高度為（

）

A．()m B．()mC．()m D．()m【答案】B【詳解】設(shè)，則.在中，，∴＝，即＝，解得.故選：B.2．（21-22高一下·全國·期末）如圖，位于A處的甲船獲悉：在其南偏西30°方向相距10海里的C處有一艘走私船，走私船正以10海里/時(shí)的速度從C處向正南方向行駛.甲船立即把消息告知在其正東方向且相距5海里B處的乙船，乙船立刻以海里/時(shí)的速度追截走私船，乙船最少航行海里能追上走