全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合人=僅收2-*-2<0},B={x-1<X<1},則（）

A.AWBB.BCAC.A=BD.AAB=0

2.（5分）復數(shù)z=￡±的共輾復數(shù)是（）

2+i

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

3.（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）,（X2,丫2）,…，（xn,yn）（nN2,Xi,X2,…,

Xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（Xi,yi）（i=l,2,n）都在直線

y=lx+l±,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（）

2

A.-1B.0C.1D.1

2

22

4.（5分）設Fi、F2是橢圓E：與+J=1（a>b>0）的左、右焦點，P為直線

2,2

ab

x=包上一點，AFaPFi是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

2

A.1B.2C..5.D..1

2345

5.（5分）已知正三角形ABC的頂點A（1,1）,B（1,3）,頂點C在第一象限,

若點（x,y）在aABC內部，則z=-x+y的取值范圍是（）

A.（1-V3-2）B.（0,2）C.（V3-1-2）D.（0,1+5）

6.（5分）如果執(zhí)行下邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（NN2）和實數(shù)ai,a2,

an,輸出A,B,則()

A.A+B為ai,a2,an的和

B.A也為ai,a2,…，an的算術平均數(shù)

2

C.A和B分別是ai,a2,…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)

D.A和B分別是ai,a2,…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù)

7.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視

圖，則此幾何體的體積為（）

A.6B.9C.12D.18

8.（5分）平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離為血,

則此球的體積為（）

A.遍兀B.4遂冗C.4加兀D.6?兀

9.（5分）已知3>0,0<4）<n,直線x=2■和x=$ZL是函數(shù)f（x）=sin（3x+。）

44

圖象的兩條相鄰的對稱軸，則6=（）

7TC.—口?平

~32

10.（5分）等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的

準線交于點A和點B,|AB|=4、后則c的實軸長為（）

A.V2B.272C.4D.8

11.（5分）當0<xW!時，4x<logx,則a的取值范圍是（）

9a

（返）（返，）

A.0,B.1C.（1,V2）D.（加,2）

22

12.（5分）數(shù)歹！］由｝滿足an+i+（-1）1n=2n-1,則｛aj的前60項和為（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）曲線y=x（3lnx+l）在點（1,1）處的切線方程為.

14.（5分）等比數(shù)列心力的前n項和為Sn，若S3+3S2=0,則公比q=.

15.（5分）已知向量￡石夾角為45。,且臼=i,I2W-EIWI?則尼|=

16.（5分）設函數(shù)f（x）=G+1）：+sinx的最大值為乂，最小值為m,則

x2+1

M+m=_______

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知a,b,c分別為^ABC三個內角A,B,（:的對邊，c=?asinC

-ccosA.

（1）求A；

（2）若a=2,4ABC的面積為近，求b,c.

18.（12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

（I）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需

求量n（單位：枝，n?N）的函數(shù)解析式.

（口）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表：

日需求量n14151617181920

頻數(shù)10201616151310

（i）假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤（單位:

元）的平均數(shù)；

（ii）若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求

量發(fā)生的概率，求當天的利潤不少于75元的概率.

19.（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，ZACB=90°,

AC=BC=lAAnD是棱AAi的中點.

2

（I）證明：平面BDCi，平面BDC

（H）平面BDCi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

20.(12分)設拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為I,ARC,已知以

F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交I于B,D兩點；

(1)若NBFD=90。，^ABD的面積為班，求p的值及圓F的方程；

(2)若A,B,F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個

公共點，求坐標原點到m,n距離的比值.

21.(12分)設函數(shù)f(x)=ex-ax-2.

(工)求f(x)的單調區(qū)間；

(II)若a=l,k為整數(shù)，且當x>0時，(x-k)fz(x)+x+l>0,求k的最大值.

22.(10分)如圖，D,E分另U為^ABC邊AB,AC的中點，直線DE交^ABC的

外接圓于F,G兩點，若CF〃AB,證明：

(1)CD=BC；

(2)ABCD^AGBD.

23.選修4-4；坐標系與參數(shù)方程

已知曲線Ci的參數(shù)方程是1x=2cos?(巾為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的

ly=3sin0

正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的坐標系方程是p=2,正方形ABCD的頂

點都在C2上，且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2,2L).

3

(1)求點A,B,C,D的直角坐標；

(2)設P為J上任意一點，求|PA|2+|PB|2+1PC|2+|PD|2的取值范圍.

24.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2

①當a=-3時，求不等式f(x)三3的解集；

②f(x)W|x-4］若的解集包含［1,2］,求a的取值范圍.

全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合人=僅僅27-2<0},B={x|-l<x<l},則（）

A.A￡BB.BCAC.A=BD.AAB=0

【考點】18：集合的包含關系判斷及應用.

【專題】5J：集合.

【分析】先求出集合A,然后根據(jù)集合之間的關系可判斷

【解答】解：由題意可得，A={x1-l<x<2},

VB={x|-1<X<1},

在集合B中的元素都屬于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例

如x=2

2

BSA.

故選：B.

【點評】本題主要考查了集合之間關系的判斷，屬于基礎試題.

2.（5分）復數(shù)z=￡±的共輾復數(shù)是（）

2+i

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

【考點】Al：虛數(shù)單位i、復數(shù)；A5：復數(shù)的運算.

【專題】11：計算題.

【分析】利用復數(shù)的分子、分母同乘分母的共輾復數(shù)，把復數(shù)化為a+bi的形式,

然后求法共輾復數(shù)即可.

【解答】解：復數(shù)z=H±L=（-3+i）（2-i）=-5+5i=_i+i.

2+i（2+i）（2-i）5

所以復數(shù)的共輾復數(shù)為：-17.

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，考查計算能力.

3.（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)（X1，yi）,（X2，丫2），…，（Xn，yn）（nN2,Xi，X2，

Xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（Xi,y）（i=l,2,…，n）都在直線

y=lx+l±,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（）

2

A.-1B.0C.1D.1

2

【考點】BS：相關系數(shù).

【專題】29：規(guī)律型.

【分析】所有樣本點（xi,y）（i=l,2,n）都在直線y=lx+l上，故這組樣

2

本數(shù)據(jù)完全正相關，故其相關系數(shù)為L

【解答】解：由題設知，所有樣本點（xi,y）（i=l,2,n）都在直線y=Lx+l

2

上，

???這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關，故其相關系數(shù)為1,

故選：D.

【點評】本題主要考查樣本的相關系數(shù)，是簡單題.

22

4.（5分）設Fi、F2是橢圓E：工+匚=1（a>b>0）的左、右焦點，P為直線

2,2

ab

x=包上一點，aFaPFi是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

2

A.1B.2C.WD..1

2345

【考點】K4：橢圓的性質.

【專題】11：計算題.

【分析】利用△F2PF1是底角為30。的等腰三角形，可得|PF21=|F2FI|,根據(jù)P為

直線x=至上一點，可建立方程，由此可求橢圓的離心率.

2

【解答】解：?.?△F2PF1是底角為30。的等腰三角形，

PF2=1F2F1

為直線X=Z_上一點

2

.3

**2(-a-c)=2c

,??p—__—c=—3

a4

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的幾何性質，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，屬于

基礎題.

5.(5分)已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(1,3),頂點C在第一象限,

若點(x,y)在^ABC內部，則z=-x+y的取值范圍是()

A.(1-V3-2)B.(0,2)C.(近-1,2)D.(0,1+73)

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算題.

【分析】由A,B及AABC為正三角形可得，可求C的坐標，然后把三角形的各

頂點代入可求z的值，進而判斷最大與最小值，即可求解范圍

【解答】解：設C(a,b),(a>0,b>0)

由A(1,1),B(1,3),及△ABC為正三角形可得，AB=AC=BC=2

即(a-1)2+(b-1)2=(a-1)2+(b-3)2=4

，b=2,a=l+立即C(1+“，2)

則此時直線AB的方程x=l,AC的方程為y-1=1(x-1),

_3

直線BC的方程為y-3二-1(x-1)

3

當直線x-y+z=O經(jīng)過點A(l,工)時，z=0,經(jīng)過點B(l,3)z=2,經(jīng)過點C(l+?,

2)時，z=l-遮

zmax-2,

故選：A.

【點評】考查學生線性規(guī)劃的理解和認識，考查學生的數(shù)形結合思想.屬于基本

題型.

6.（5分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（NN2）和實數(shù)ai,a2,

an,輸出A,B,則（)

A.A+B為ai,a2,an的和

B.A也為ai,a2,…，an的算術平均數(shù)

2

C.A和B分別是ai,a2,…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)

D.A和B分別是ai,a2,…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù)

【考點】E7：循環(huán)結構.

【專題】5K：算法和程序框圖.

【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知:

該程序的作用是求出ai,a2,…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù).

【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，

可知，該程序的作用是：求出ai,a2,…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)

其中A為ai，a2，…，an中最大的數(shù)，B為a］，a?,…，an中最小的數(shù)

故選：C.

【點評】本題主要考查了循環(huán)結構，解題的關鍵是建立數(shù)學模型，根據(jù)每一步分

析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型，屬于中檔題.

粗線畫出的是某幾何體的三視

D.18

【考點】L!：由二視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題.

【分析】通過三視圖判斷幾何體的特征，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即

可.

【解答】解：該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，三棱錐的高為3；

底面三角形斜邊長為6,高為3的等腰直角三角形，

此幾何體的體積為V=1X-X6X3X3=9.

32

故選：B.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，考查幾何體的體積的求法，考查計算

能力.

8.（5分）平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離為加,

則此球的體積為（）

A.加TiB.4y/jnC.4y/^nD.65田

【考點】LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題.

【分析】利用平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離

為加，求出球的半徑，然后求解球的體積.

【解答】解：因為平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的

距離為亞，

所以球的半徑為：4（加）2+1=5.

所以球的體積為：巧）3=4?H.

3

故選：B.

【點評】本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計算能力.

9.（5分）已知3>0,直線x='_和x=$2L是函數(shù)f（x）=sin（3x+。）

44

圖象的兩條相鄰的對稱軸，則6=（）

AB.—c.—D.22L

-T324

【考點】HK：由y=Asin（wx+4））的部分圖象確定其解析式.

【專題】11：計算題.

【分析】通過函數(shù)的對稱軸求出函數(shù)的周期，利用對稱軸以及巾的范圍，確定”

的值即可.

【解答】解：因為直線x=2L和是函數(shù)f（x）=sin（3X+0）圖象的兩條相

44

鄰的對稱軸，

所以T=2X（衛(wèi)工）=2幾所以3=1,并且sin（匹+力）與sin（旦L+6）分別

[44，44

是最大值與最小值，0（巾<71,

所以6=工.

4

故選：A.

【點評】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意函數(shù)的最值的應用，考查計算

能力.

10.(5分)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的

準線交于點A和點B,|AB|=4?,則C的實軸長為()

A.A/2B.2-\/2C.4D.8

【考點】KI：圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】設等軸雙曲線C：x2-y2=a2(a>0),y2=16x的準線I：x=-4,由C與拋

物線y2=i6x的準線交于A,B兩點，|AB|=4后，能求出C的實軸長.

【解答】解：設等軸雙曲線C：x2-y2=a2(a>0),

y2=16x的準線I：x=-4,

與拋物線y2=16x的準線I：x=-4交于A,B兩點，|AB|=4代

.'A(-4,273),B(-4,-2心，

將A點坐標代入雙曲線方程得a2=(_4)2_屹/)2=4,

a=2,2a=4?

故選：c.

【點評】本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖

掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化.

11.(5分)當0<xWL時，4x<logaX,則a的取值范圍是()

2

A.(0,返)B.(返，1)C.(1,V2)D.(&,2)

22

【考點】7J：指、對數(shù)不等式的解法.

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，將已知不等式轉化為不等式恒成

立問題加以解決即可

【解答】解：?.?OVxW工時，1<4X^2

2

x

要使4<logax,由對數(shù)函數(shù)的性質可得OVa<l,

數(shù)形結合可知只需2<l0gaX,

、10ga10gaX

即O<1對0<xW工時恒成立

a2>x2

’0<a<l

解得返<a<1

2

故選：B.

【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，不等式恒成立問題

的一般解法，屬基礎題

12.（5分）數(shù)列&｝滿足am+（-1）a=2n-1,則｛a#的前60項和為（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

【考點】8E：數(shù)列的求和.

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由題意可得a2-ai=l,33+32=3,a4-as=5,a5+a4=7,-a5=9,

a7+a6=ll,...a5o-a49=97,變形可得

a3+ai=2,34+32=8,37+35=2,as+a6=24,39+37=2,ai2+aio=4O,ai3+an=2,ai6+ai4=56,...

利用

數(shù)列的結構特征，求出｛an｝的前60項和.

【解答】解：由于數(shù)歹U⑸｝滿足an+i+(-1)口an=2n-1,故有32-ai=l,a3+a2=3,

a4-33=5,

85+34=7,36-35=9,37+36=11?...350-349=97.

+

從而可得as+ai=2,a4+a2=8,a7a5=2,a8+a6=24,an+ag=2,ai2+aio=4O,ai5+ai3=2,

316+314=56,...

從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2,

從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等

差數(shù)列.

｛an｝的前60項和為15X2+(15X8+.15X1^X16)=1830,

2

故選：D.

【點評】本題主要考查數(shù)列求和的方法，等差數(shù)列的求和公式，注意利用數(shù)列的

結構特征，屬于中檔題.

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.(5分)曲線y=x(3lnx+l)在點(1,1)處的切線方程為y=4x-3.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】11：計算題.

【分析】先求導函數(shù)，求出切線的斜率，再求切線的方程.

【解答】解：求導函數(shù)，可得y，=3lnx+4,

當x=l時，y-4,

曲線y=x(3lnx+l)在點(1,1)處的切線方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.

故答案為:y=4x-3.

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查點斜式求直線的方程，屬于基礎題.

14.(5分)等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若S3+3S2=0,則公比a=-2.

【考點】89：等比數(shù)列的前n項和.

【專題】11：計算題.

【分析】由題意可得，qWl,由S3+3S2=0,代入等比數(shù)列的求和公式可求q

【解答】解：由題意可得，qWl

VS3+3S2=0

.a1(1-Q3)3a((1-q2)

??—l---q--+—l---q---=。

.*.q3+3q2-4=0

(q-1)(q+2)2=0

Vq^l

，q=-2

故答案為：-2

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應用，解題中要注意公比q是否

為1

15.(5分)已知向量石夾角為45。,且臼=i,|21-b|=V10-^lbl=^V2_.

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質及其運算；9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾

角.

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】由已知可得，a-b=lallblcos45°=與向，代入

2之-bl刃￡工)2刃二2-八立+鏟斗4-2&|E萬釬=疝可求

【解答】解：：＜彳，石＞=45°，團=1

a*b=IaIIbIcos45°=^-1b|

；?2a司=7(2a-b)2=V4a2-4a'b+b2=74-2V2lb|+|b|2=^

解得歷

故答案為：3^/2

【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應用，向量的數(shù)量積性質1|=/

是求解向量的模常用的方法

16.(5分)設函數(shù)f(x)=G+1)，+sinx的最大值為最小值為m)則M+m=

x2+1

2.

【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合.

【專題】15：綜合題；16：壓軸題.

［分析］函數(shù)可化為f(x)=&+1)f+sinx=］+2x+sinx,令g&)=2x+sinx,則

x2+lx2+lx2+l

g(x)=2x+”nx為奇函數(shù),從而函數(shù)g(x)=2x+”nx的最大值與最小值的和為

x2+lx2+l

0,由此可得函數(shù)f(x)=G+1)，+sinx的最大值與最小值的和.

x2+1

【解答】解：函數(shù)可化為f(x)=(x+l)2+sinx2x+sinx,

2

x2+1x+l

令g(x)=2x+”nx,則g6)=2x+”nx為奇函數(shù),

x2+lx2+l

...g&)=2x+jinx的最大值與最小值的和為o.

x2+l

...函數(shù)f(x)=G+1)2+sinx的最大值與最小值的和為l+l+0=2.

x2+1

即M+m=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的奇偶性，解題的關鍵是將函數(shù)化簡，

轉化為利用函數(shù)的奇偶性解題.

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)已知a,b,c分別為^ABC三個內角A,B,(:的對邊，c=?asinC

-ccosA.

（1）求A；

（2）若a=2,△ABC的面積為加，求b,c.

【考點】HU：解三角形.

【專題】11：計算題.

【分析】（1）由正弦定理有：V3sinAsinC-sinCcosA-sinC=0,可以求出A；

（2）有三角形面積以及余弦定理，可以求出b、c.

【解答】解：（1）c=J5asinC-ccosA,由正弦定理有：

?sinAsinC-sinCcosA-sinC=0,即sinC?（“sinA-cosA-1）=0,

又，sinCWO,

所以?sinA-cosA-1=0,即2sin（A-2L）=1,

6

所以A二三；

3

（2）SAABC=—bcsinA=V3^所以bc=4,

2

a=2,由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即4=b?+c2-be,

'bc=4

即有

.b.c2-bc=4

解得b=c=2.

【點評】本題綜合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式

的綜合應用，誘導公式與輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應用是求解的基礎,

解題的關鍵是熟練掌握基本公式

18.（12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

（I）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需

求量n（單位：枝，n?N）的函數(shù)解析式.

（口）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表：

日需求量n14151617181920

頻數(shù)10201616151310

（i）假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤（單位:

元）的平均數(shù)；

（ii）若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求

量發(fā)生的概率，求當天的利潤不少于75元的概率.

【考點】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；CS：

概率的應用.

【專題】15：綜合題；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（工）根據(jù)賣出一枝可得利潤5元，賣不出一枝可得賠本5元，即可建

立分段函數(shù)；

（口）（i）這100天的日利潤的平均數(shù)，利用100天的銷售量除以100即可得到

結論；

（ii）當天的利潤不少于75元，當且僅當日需求量不少于16枝，故可求當天的

利潤不少于75元的概率.

【解答】解：（工）當日需求量n217時，利潤y=85；當日需求量n<17時，利

潤y=10n-85；（4分）

??利潤關于當天需求量的函數(shù)解析式cln<17（）（分）

?yn741.8+n@N*6

[85,n>17

（口）（i）這100天的日利潤的平均數(shù)為55X10+65*20+75X16+85X54元;

100

（9分）

（ii）當天的利潤不少于75元，當且僅當日需求量不少于16枝，故當天的利潤

不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.（12分）

【點評】本題考查函數(shù)解析式的確定，考查概率知識，考查利用數(shù)學知識解決實

際問題，屬于中檔題.

19.（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，ZACB=90°,

AC=BC=1AAI,D是棱AAi的中點.

2

（I）證明：平面BDCi，平面BDC

（H）平面BDCi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【考點】L2：棱柱的結構特征；LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面

垂直.

【專題】11：計算題；14：證明題.

【分析】（I）由題意易證DCi，平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可證得

平面BDCi，平面BDC；

（口）設棱錐B-DACJ的體積為Vi,AC=1,易求Vi=Lx上電X[X1=L,三棱

322

柱ABC-AiBiCi的體積V=l,于是可得（V-Vi）：Vi=l：1,從而可得答案.

【解答】證明：（]）由題意知BCLCJ,BC±AC,CCinAC=C,

BC,平面ACCiAi,又DJu平面ACCiAi,

ADCiXBC.

由題設知NAiDJ=NADC=45°,

AZCDCi=90",即DC」DC,又DCABC=C,

，DC」平面BDC,又DJu平面BDCi,

，平面BDC」平面BDC；

（2）設棱錐B-DACCi的體積為Vi,AC=1,由題意得Vi=LxU2x[X1=J_,

322

又三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=l,

（V-Vi）：Vi=l：1,

平面BDCi分此棱柱兩部分體積的比為1：1.

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，著重考查線面垂直的判定定理的應用

與棱柱、棱錐的體積，考查分析，表達與運算能力，屬于中檔題.

20.(12分)設拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為I,A?C,已知以

F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交I于B,D兩點；

(1)若NBFD=90。，^ABD的面積為班，求p的值及圓F的方程；

(2)若A,B,F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個

公共點，求坐標原點到m,n距離的比值.

【考點】J1：圓的標準方程；K8：拋物線的性質；KI：圓錐曲線的綜合.

【專題】15：綜合題；16：壓軸題.

【分析】(1)由對稱性知：4BFD是等腰直角△,斜邊|BD|=2p點A到準線I的

距離d=|FA|=|FB|=V2P，由△ABD的面積SAABD=472，知

■^-XBDXd=v><2pXV2P=4V2;由此能求出圓F的方程?

則點關于點對稱得:

(2)由對稱性設A(X0.F(O,1A,BF

22

B(-x0，P于與=^-笠*=哈0*女=3「2，得：A(V5P，等A由此能求出坐標

乙卜*乙卜^乙乙

原點到m,n距離的比值.

【解答】解：(1)由對稱性知：4BFD是等腰直角△,斜邊|BD|=2p

點A到準線I的距離d=|FA|=|FB|=V^p,

*/AABD的面積SAABD=啦,

AyXBDXd=yX2PX近忻也

解得p=2,所以F坐標為(0,1),

二圓F的方程為x2+(v-1)2=8.

2

Xo

>oX貝n.F?op

Xo-JJX(-

XO2p2

,:A,B,F三點在同一直線m上，

又AB為圓F的直徑，故A,B關于點F對稱.

由點A,B關于點F對稱得：B(-X0,P上與=p-U"=-^Ox：=3p2

乙P乙P乙

3P,p

得:A(V5P，等)，直線m：y=x玲=x^>/5y]*P=0，

x2=2p六尸亞/=三=坐=*羋p=>切點P與，為

dppJJJb

直線n：y*=^"(x-^!^)=x-?y-^p=O

bJJb

坐標原點到m,n距離的比值為?.?=3.

【點評】本題考查拋物線與直線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線的簡

單性質、圓的性質、導數(shù)的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理

地進行等價轉化.

21.(12分)設函數(shù)f(x)=ex-ax-2.

(工)求f(x)的單調區(qū)間；

(口)若a=l,k為整數(shù)，且當x>0時，(x-k)fz(x)+x+l>0,求k的最大值.

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】15：綜合題；16：壓軸題；32：分類討論；35：轉化思想.

【分析】(I)求函數(shù)的單調區(qū)間，可先求出函數(shù)的導數(shù)，由于函數(shù)中含有字母

a,故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調性，給出單調區(qū)間；

(II)由題設條件結合(I),將不等式，(x-k)f(x)+x+l>0在x>0時成立

轉化為k<?-+x(x>0)成立，由此問題轉化為求g(x)=M_+x在x>0

ex-1ex-1

上的最小值問題，求導，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；

【解答】解：(I)函數(shù)f(x)=ex-ax-2的定義域是R,f(x)=ex-a,

若aWO,則f(x)=ex-a20,所以函數(shù)f(x)=ex-ax-2在(-8,+8)上

單調遞增.

若a>0,則當x￡(-°°,Ina)時，「(x)=ex-a<0；

當x￡(Ina,+8)時，f，(x)=ex-a>0；

所以，f(x)在(-8,|na)單調遞減，在(Ina,+°°)上單調遞增.

(II)由于a=l,所以，(x-k)「(x)+x+l=(x-k)(ex-1)+x+l

故當x>0時，(x-k)「(x)+x+l>0等價于k<"I+工(x>0)①

ex-1

令g(X)4-+x，則g，(x)=reX-1eX—xj)

eX-l(ex-l)(ex-l)

由(I)知，當a=1時，函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+°°)上單調遞增，

而h(1)<0,h(2)>0,

所以h(x)=ex-x-2在(0,+8)上存在唯一的零點，

故g(x)在(0,+8)上存在唯一的零點，設此零點為a,則有ae(1,2)

當xG(0,a)時，g'(x)<0；當xG(a,+°°)時，g'(x)>0；

所以g(x)在(0,+8)上的最小值為g(a).

又由g'(a)=0,可得ea=a+2所以g(a)=a+l￡(2,3)

由于①式等價于k<g(a),故整數(shù)k的最大值為2.

【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解題的

關鍵是第一小題應用分類的討論的方法，第二小題將問題轉化為求函數(shù)的最

小值問題，本題考查了轉化的思想，分類討論的思想，考查計算能力及推理

判斷的能力，綜合性強，是高考的重點題型，難度大，計算量也大，極易出

錯.

22.(10分)如圖，D,E分另U為^ABC邊AB,AC的中點，直線DE交^ABC的

外接圓于F,G兩點，若CF〃AB,證明：

(1)CD=BC；

(2)ABCD^AGBD.

【考點】N4：相似三角形的判定.

【專題】14：證明題.

【分析】(1)根據(jù)D,E分別為^ABC邊AB,AC的中點，可得DE〃BC,證明四

邊形ADCF是平行四邊形，即可得到結論；

(2)證明兩組對應角相等，即可證得4BCD?aCBD.

【解答】證明：(1)VD,E分別為^ABC邊AB,AC的中點

：.DF//BC,AD=DB

：AB〃CF,...四邊形BDFC是平行四邊形

.?.CF〃BD,CF=BD

，CF〃AD,CF=AD

...四邊形ADCF是平行四邊形

.\AF=CD

,?*BC=AF??*.BC=AF,.\CD=BC.

（2）由（1）知祕二益，所以前汞.

所以NBGD=NDBC.

因為GF〃BC,所以NBD