浙教版八年級上第1章三角形的初步知識專題一應(yīng)用全等三角形證明幾種常見結(jié)論應(yīng)用一證線段相等

[2023·福建]如圖，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，∠

AOD

＝∠

COB

.

求證：

AB

＝

CD

.

【方法點撥】若兩條線段在兩個三角形中，則證明這兩條線段所在的

兩個三角形全等，根據(jù)已知條件并結(jié)合全等三角形的判定方

法解題.變式1[母題教材P30課內(nèi)練習(xí)T1]如圖，

AB

＝

AC

，

BE

⊥

AC

于

E

，

CD

⊥

AB

于

D

，

BE

，

CD

交于點

O

，求證：

OB

＝

OC

.

應(yīng)用二證角相等

如圖，

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

，

BE

＝

CF

.

求證：∠

AFB

＝∠

DEC

.

【方法點撥】尋找全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可以利用標(biāo)圖讓已

知條件圖形化，必要時進行兩次三角形全等.變式2已知△

ABN

和△

ACM

的位置如圖，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AE

，∠1＝∠2.求證：(1)

BD

＝

CE

；

(2)∠

M

＝∠

N

.

應(yīng)用三證線段的和差關(guān)系

如圖，四邊形

ABCD

是正方形，

E

是

CD

邊上任意一

點，連結(jié)

AE

，作

BF

⊥

AE

，

DG

⊥

AE

，垂足分別為

F

，

G

.

求證：

BF

－

DG

＝

FG

.

【證明】∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

DA

，∠

BAD

＝90°.∵

BF

⊥

AE

，

DG

⊥

AE

，∴∠

AFB

＝∠

DGA

＝90°.∴∠

DAG

＋∠

FAB

＝∠

DAG

＋∠

ADG

＝90°，∴∠

FAB

＝∠

GDA

.

∴△

ABF

≌△

DAG

(

AAS

).∴

BF

＝

AG

，

AF

＝

DG

.

∴

BF

－

DG

＝

AG

－

AF

＝

FG

.

【方法點撥】尋找全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可以利用標(biāo)圖讓已

知條件圖形化，將較長線段進行分解替換.變式3如圖，

CD

∥

AB

，△

ABC

的中線

AE

的延長線與

CD

交于點

D

.

(1)若

AE

＝3，求

DE

的長度；

(2)∠

DAC

的平分線與

DC

交于點

F

，連結(jié)

EF

，若

AF

＝

DF

，

AC

＝

DE

，求證：

AB

＝

EF

＋

AF

.

應(yīng)用四證線段的倍分關(guān)系

如圖，已知

CE

，

CB

分別是△

ABC

，△

ADC

的中線，

且

AB

＝

AC

，∠

ACB

＝∠

ABC

.

求證：

CD

＝2

CE

.

【方法點撥】可以利用標(biāo)圖讓已知條件圖形化，通過添加輔助線構(gòu)造

全等三角形，有時可以運用倍長中線法進行求解.變式4如圖，在△

ABC

，△

CDE

中，點

D

在

AB

上，

AC

與

DE

交于點

F

，

AB

∥

CE

.

(1)如圖①，若∠

A

＝47°，∠

DCE

＝82°，

CD

平分∠

ACB

，則∠

B

的度數(shù)為

?；63°

(2)如圖②，若點

F

為

AC

的中點，作

DM

⊥

DA

，

DN

⊥

DC

且

DM

＝

DA

，

DN

＝

DC

，連結(jié)

MN

.

求證：

MN

＝2

EF

.

【證明】如圖，∵點

F

為

AC

的中點，∴

AF

＝

CF

.

∵

AB

∥

CE

，∴∠5＝∠

E

.

又∵∠4＝∠3，∴△

ADF

≌△

CEF

，∴

DA

＝

CE

，

DF

＝

EF

，∴

DE

＝2

EF

.

∵

DM

⊥

DA

，

DN

⊥

DC

，∴∠1＋∠6＝90°，∠2＋∠6＝90°，∴∠1＝∠2.∵

AB

∥

CE

，∴∠

DCE

＝∠2＝∠1.又∵

DM

＝

DA

＝

CE

，

DN

＝

DC

，∴△

MND

≌△

EDC

，∴

MN

＝

DE

＝2

EF

.

1.

如圖，

OB

平分∠

AOC

，

D

，

E

，

F

分別是射線

OA

、射

線

OB

、射線

OC

上的點，

D

，

E

，

F

與點

O

都不重合，

連結(jié)

ED

，

EF

.

若△

DOE

≌△

FOE

，則(

B

)A.

OD

＝

OE

B.

∠

ODE

＝∠

OFE

C.

OE

＝

OF

D.

∠

ODE

＝∠

OED

(第1題)B123456789102.

如圖，△

ABC

的面積為7

cm2，

BP

平分∠

ABC

，

AP

⊥

BP

于點

P

，連結(jié)

PC

，則△

PBC

的面積為(

B

)A.

3

cm2B.

3.5

cm2C.

4

cm2D.

5

cm2(第2題)B123456789103.

[2024·湖州期末]如圖網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成

的，圖中的各個頂點均為格點，則∠1－∠2－∠3的度數(shù)

為(

C

)A.

15°B.

30°C.

45°D.

60°(第3題)C123456789104.

如圖，已知銳角∠

AOB

，根據(jù)以下要求作圖.(第4題)①在射線

OA

上取點

C

和點

E

，分別以點

O

為圓心，

OC

，

OE

的長為半徑畫弧，分別交射線

OB

于點

D

，

F

；②連結(jié)

CF

，

DE

交于點

P

.

12345678910則下列結(jié)論錯誤的是(

D

)A.

CE

＝

DF

B.點

P

在∠

AOB

的平分線上C.

PE

＝

PF

D.若∠

AOB

＝60°，則∠

CPD

＝120°D123456789105.

如圖，

E

是△

ABC

外一點，

D

是

AE

上一點，

AC

＝

BC

＝

BE

，

DA

＝

DB

，∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

C

＝70°，則

∠

BED

的度數(shù)為

?.(第5題)35°

123456789106.

如圖，在直角梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

BC

，

AD

＝3，

BC

＝4.過點

D

作

DE

⊥

CD

，且

DE

＝

CD

，連

結(jié)

AE

，則△

ADE

的面積為

?.1.5

(第6題)12345678910【點撥】如圖，過點

E

作

EF

⊥

AD

，交

A

D

的延長線于點

F

，過點

D

作

DG

⊥

BC

于點

G

.

易知

BG

＝

AD

，∠

EDF

＋∠

CDF

＝90°，∠

CDF

＋∠

CDG

＝90°，∠

DGC

＝∠

DFE

＝90°，∴∠

CDG

＝∠

EDF

.

12345678910又∵

DC

＝

DE

，∴△

DCG

≌△

DEF

(

AAS

)，∴

CG

＝

EF

.

∵

AD

＝3，

BC

＝4，∴

CG

＝

BC

－

BG

＝

BC

－

AD

＝1，

123456789107.

[2023·陜西]如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝50°，∠

C

＝

20°.過點

A

作

AE

⊥

BC

，垂足為

E

，延長

EA

至點

D

，

使

AD

＝

AC

，在邊

AC

上截取

AF

＝

AB

，連結(jié)

DF

.

求

證：

DF

＝

CB

.

12345678910

123456789108.

如圖，在等邊三角形

ABC

中，點

E

，

D

分別從點

A

，

C

出發(fā)，沿

AC

，

CB

方向以相同的速度在線段

AC

，

CB

上

運動，

AD

，

BE

相交于點

F

.

(1)求證：

BE

＝

AD

；12345678910

12345678910(2)當(dāng)

E

，

D

運動時，探究∠

ADC

與∠

BEC

之間的數(shù)

量關(guān)系.【解】∵△

ABE

≌△

CAD

，∴∠

AEB

＝∠

ADC

.

∵∠

AEB

＋∠

BEC

＝180°，∴∠

ADC

＋∠

BEC

＝180°.12345678910

【證明】∵∠

BAC

，∠

ABC

的平分線

AE

，

BF

相交于點

O

，

12345678910(2)當(dāng)∠

C

＝60°時，探究

AF

，

BE

與

AB

之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

12345678910

1234567891010.

[2024·寧波奉化區(qū)期中]在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，直線

MN

經(jīng)過點

C

，

AD

⊥

MN

于點

D

，

BE

⊥

MN

于點

E

.

(1)當(dāng)直線

MN

繞點

C

旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：△

ADC

≌△

C