24.4弧長(zhǎng)和扇形面積第一課時(shí)生活里有好多物品或者建筑都呈現(xiàn)出流暢的圓弧形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過了有關(guān)圓的周長(zhǎng)和面積公式，你還記得嗎？弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長(zhǎng)與扇形面積應(yīng)怎樣計(jì)算？它們與圓的周長(zhǎng)、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？（R表示圓的半徑，d表示圓的直徑）圓的周長(zhǎng)公式：或圓的面積公式：如圖所示，在半徑為R的⊙O上，有兩動(dòng)點(diǎn)A、B，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，想一想弧AB的長(zhǎng)度與什么因素有關(guān)？當(dāng)∠AOB＝360°時(shí)，弧AB的長(zhǎng)表示什么意思？探究一：弧長(zhǎng)的計(jì)算公式活動(dòng)1動(dòng)畫展示，探究新知重點(diǎn)知識(shí)★與∠AOB的大小有關(guān)當(dāng)∠AOB＝1°時(shí)呢？弧AB的長(zhǎng)與整個(gè)圓的周長(zhǎng)是什么關(guān)系？⊙O的周長(zhǎng)，即l＝2πR此時(shí)弧AB的長(zhǎng)是整個(gè)圓的周長(zhǎng)的

，

即l＝.當(dāng)∠AOB＝2°時(shí)，弧AB的長(zhǎng)呢？

當(dāng)∠AOB＝n°時(shí)，弧AB的長(zhǎng)呢？此時(shí)弧AB的長(zhǎng)是整個(gè)圓的周長(zhǎng)的

，

即l＝.弧AB的長(zhǎng)

，這就是弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，其中n表示弧AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑．此時(shí)弧AB的長(zhǎng)是整個(gè)圓的周長(zhǎng)的

，

即l＝.根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求弧長(zhǎng)．探究一：弧長(zhǎng)的計(jì)算公式重點(diǎn)知識(shí)★特別的，幾個(gè)特殊圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝③當(dāng)n＝60°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝②當(dāng)n＝45°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝④當(dāng)n＝90°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝⑤當(dāng)n＝120°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝⑥當(dāng)n＝180°時(shí)，弧長(zhǎng)l＝探究一：弧長(zhǎng)的計(jì)算公式重點(diǎn)知識(shí)★運(yùn)用弧長(zhǎng)計(jì)算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的弧長(zhǎng)為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的弧長(zhǎng)為__________（3）半徑為4cm，長(zhǎng)度為2π的弧所對(duì)的圓心角是________°（4）圓心角為150°，長(zhǎng)度為5π的弧所在圓的半徑是________通過上面的4個(gè)問題，我們不難發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”.探究一：弧長(zhǎng)的計(jì)算公式活動(dòng)2例題演練，鞏固新知重點(diǎn)知識(shí)★690cmcm觀察下面陰影部分圖形，它像我們生活中的什么圖案呢？像上面陰影這樣由兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形就叫做扇形．探究二：扇形面積的計(jì)算公式活動(dòng)1引入概念重點(diǎn)知識(shí)★扇子的形狀你能類比前面弧長(zhǎng)計(jì)算公式的推導(dǎo)，得到扇形的面積計(jì)算公式嗎？試試看吧！類似前面弧長(zhǎng)的討論，我們可以知道扇形AOB的面積也與圓心角∠AOB的大小有關(guān)：當(dāng)∠AOB＝360°時(shí)，扇形AOB的面積就是整個(gè)圓的面積，即

.探究二：扇形面積的計(jì)算公式活動(dòng)2類比弧長(zhǎng)，探究新知重點(diǎn)知識(shí)★即

.當(dāng)∠AOB＝1°時(shí)，扇形AOB的面積就是整個(gè)圓面積的

，即

.當(dāng)∠AOB＝2°時(shí)，扇形AOB的面積就是整個(gè)圓面積的

，即

.當(dāng)∠AOB＝n°時(shí)，扇形AOB的面積就是整個(gè)圓面積的

，…………….扇形AOB的面積

，這就是扇形面積的計(jì)算公式，其中n表示弧AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑．同樣的根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求扇形面積．探究二：扇形面積的計(jì)算公式重點(diǎn)知識(shí)★特別的，幾個(gè)特殊圓心角所對(duì)的扇形面積是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時(shí)，扇形面積S＝③當(dāng)n＝60°時(shí)，扇形面積S＝②當(dāng)n＝45°時(shí)，扇形面積S＝④當(dāng)n＝90°時(shí)，扇形面積S＝⑤當(dāng)n＝120°時(shí)，扇形面積S＝⑥當(dāng)n＝180°時(shí)，扇形面積S＝探究二：扇形面積的計(jì)算公式重點(diǎn)知識(shí)★運(yùn)用扇形面積計(jì)算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的扇形面積為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的扇形面積為__________（3）半徑為4cm，面積為4π的扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是________°（4）圓心角為150°，面積為

的扇形所在圓的半徑是_______通過上面的4個(gè)問題，同樣可以發(fā)現(xiàn)扇形面積、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”.探究二：扇形面積的計(jì)算公式活動(dòng)3例題演練，鞏固新知重點(diǎn)知識(shí)★290現(xiàn)在我們從特殊到一般的方法推導(dǎo)出弧長(zhǎng)的計(jì)算公式

和扇形面積的計(jì)算公式

，對(duì)比這兩個(gè)公式，你能找到它們之間的聯(lián)系嗎？探究二：扇形面積的計(jì)算公式活動(dòng)4對(duì)比聯(lián)系，拓展新知重點(diǎn)知識(shí)★都含有π；

都與圓心角度數(shù)n有關(guān)；都與圓的半徑R有關(guān)；……實(shí)際上，扇形的面積計(jì)算公式里就包含著一個(gè)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，聰明的你們發(fā)現(xiàn)了嗎？因?yàn)?，而l＝

，所以.這樣我們又得到了一個(gè)扇形面積的計(jì)算公式：

．在這個(gè)公式里，圓心角的度數(shù)n不見了，取而代之的是弧長(zhǎng)l，只要知道弧長(zhǎng)l和半徑R就能求出扇形面積了.同時(shí)

這個(gè)公式還比較簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)單到和我們?nèi)切蔚拿娣e計(jì)算公式非常相似．不同的是，三角形的底是一條線段，而扇形的“底”是一條弧線；三角形的高是底上的一條過頂點(diǎn)的垂線段，而扇形的“高”是弧線上任意一條半徑．探究二：扇形面積的計(jì)算公式重點(diǎn)知識(shí)★例1填空（若結(jié)果含圓周率的請(qǐng)保留π）（1）一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為___________（2）圓心角為135°，半徑為4的弧長(zhǎng)為___________解：（1）∵圓心角n＝120°，半徑R＝3

∴扇形面積（2）∵圓心角n＝135°，半徑R＝4

∴弧長(zhǎng)活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)

填空（若結(jié)果含圓周率的請(qǐng)保留π）（1）一個(gè)扇形的圓心角為240°，半徑為6，則這個(gè)扇形的面積為______（2）圓心角為45°，半徑為8的弧長(zhǎng)為_______解：（1）∵圓心角n＝240°，半徑R＝6

∴扇形面積（2）∵圓心角n＝45°，半徑R＝8

∴弧長(zhǎng)探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2填空（若結(jié)果含圓周率的請(qǐng)保留π）（1）75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是______（2）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是20πcm，半徑是6cm，則該扇形的面積是______【思路點(diǎn)撥】第1小問知道的是圓心角和弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式反過來求半徑，只需根據(jù)弧長(zhǎng)公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求扇形面積，但是比較復(fù)雜．另外兩個(gè)題目需注意單位的問題．解：（1）∵圓心角n＝75°，弧長(zhǎng)l=2.5πcm

∴弧長(zhǎng)

，解得R＝6（2）∵弧長(zhǎng)l=20πcm，半徑R＝6

∴扇形的面積6cm60πcm2探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)

填空（若結(jié)果含圓周率的請(qǐng)保留π）（1）75°的圓心角所扇形的面積是7.5πcm2，則此扇形所在圓的半徑是_____（2）一個(gè)扇形的面積是20πcm2，半徑是4cm，則該扇形的周長(zhǎng)是________【思路點(diǎn)撥】第1小問知道的是圓心角和扇形面積，根據(jù)扇形面積公式反過來求半徑，只需根據(jù)扇形面積公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求弧長(zhǎng)，但是比較復(fù)雜.

同時(shí)第2小問要注意扇形周長(zhǎng)包含兩條半徑．解：（1）∵圓心角n＝75°，扇形面積S=7.5πcm2

∴扇形面積，解得R＝6（2）∵扇形面積S=20πcm2，半徑R＝4cm

∴扇形的面積

，解得l=10π

∴扇形的周長(zhǎng)為10π+4+4=（10π+8）cm探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例1制造彎型管道時(shí)，經(jīng)常要先按照中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”，再下料，試計(jì)算下圖所示的管道的展直長(zhǎng)度L（結(jié)果保留整數(shù)）.【思路點(diǎn)撥】本題需審清題目中“展直長(zhǎng)度”的含義：展直長(zhǎng)度包括一段弧長(zhǎng)和兩端700mm的線段長(zhǎng)．解：由弧長(zhǎng)公式得弧AB的長(zhǎng)

，所以展直長(zhǎng)度

．活動(dòng)2提升型例題探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)

如圖是一段彎型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心線的兩條圓弧半徑都是1000mm，求圖中管道的展直長(zhǎng)度（π取3.142）.解：由弧長(zhǎng)公式，兩端弧長(zhǎng)均為

，所以展直長(zhǎng)度L＝

．【思路點(diǎn)撥】本題中展直長(zhǎng)度包括兩段弧長(zhǎng)和一條長(zhǎng)3000mm的線段長(zhǎng).探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲解：連接OA、OB，過點(diǎn)O做OC⊥AB，垂足為D，交弧AB于點(diǎn)C，連接AC．

∵OC＝0.6m，DC＝0.3m∴OD＝OC－DC＝0.3m∴OD＝DC又∵AD⊥DC∴AD是線段OC的垂直平分線∴AC＝AO＝OC∴△AOC是等邊三角形例2如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°又∵AO＝0.6m，DO＝0.3m∴AD＝m∴AB＝2AD＝∴有水部分的面積S＝＝≈0.22（m2）＝探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)

如圖是一個(gè)馬戲團(tuán)帳篷的地面，是一個(gè)半徑為20m的圓形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有一段筆直的柵欄，且∠AOB＝90°，觀眾坐在陰影區(qū)域內(nèi)看馬戲，如果每平方米可以坐3名觀眾，估計(jì)陰影區(qū)域內(nèi)坐滿觀眾時(shí)可以坐多少人？解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝20m∴

（平方米）∵每平方米可以坐3名觀眾∴

估計(jì)坐滿觀眾時(shí)可以坐3×114＝342人【思路點(diǎn)撥】弓形的面積＝扇形面積－三角形面積探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例1如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動(dòng)地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線上l時(shí)，求點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)．（結(jié)果用含π的式子表示）．活動(dòng)3探究型例題解：AC=，∠ACB=90o，∠A=30°，可以由勾股定理計(jì)算斜邊長(zhǎng)度是2，∴點(diǎn)A第一次落在l上時(shí)經(jīng)過的路線長(zhǎng)度是

，探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲點(diǎn)A第二次落在l上時(shí)經(jīng)過的路線長(zhǎng)度是

，點(diǎn)A第三次落在l上時(shí)經(jīng)過的路線長(zhǎng)度與第二次落在l上時(shí)經(jīng)過的路線長(zhǎng)度相同，也是

，所以當(dāng)點(diǎn)A三次落在直線l上時(shí)，經(jīng)過的路線長(zhǎng)度是：【思路點(diǎn)撥】解旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計(jì)算連續(xù)的弧長(zhǎng)問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長(zhǎng)之和的計(jì)算．探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，求點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．解：△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，頂點(diǎn)A經(jīng)過的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)勾股定理，可以得到AC的長(zhǎng)為

，

∴根據(jù)弧長(zhǎng)公式

，可求路徑長(zhǎng)為.【思路點(diǎn)撥】解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是關(guān)鍵.探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2（1）如圖（1），以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是__________（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是_________（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是________（4）如圖（3），以n邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分面積是_________探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2（1）如圖（1），以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是__________解：（1）設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3

∴x1+x2+x3

=180°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是_________解：（2）設(shè)四邊形四個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3，x4

∴x1+x2+x3

+x4

=360°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是________解：（3）設(shè)n邊形n個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3，…，xn

∴x1+x2+x3

+…+xn

=180°(n-2)又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2（4）如圖（3），以n邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分面積是_________解：（4）設(shè)n邊形n個(gè)外角度數(shù)分別為x1，x2，x3，…，xn

∴x1+x2+x3

+…+xn

=360°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲【思路點(diǎn)撥】陰影部分的面積