第76課時(shí)氣體狀態(tài)變化的三類常見模型[重難突破課]題型一液柱類模型此類模型一般以液柱為研究對(duì)象分析受力、列平衡方程求解，要注意：（1）液體因重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)為p＝ρgh（其中h為液體的豎直高度）；（2）不要漏掉大氣壓強(qiáng)，同時(shí)又要盡可能平衡掉某些大氣的壓力；（3）有時(shí)可直接應(yīng)用連通器原理——連通器內(nèi)靜止的液體，同一液體在同一水平面上各處壓強(qiáng)相等；（4）當(dāng)液體為水銀時(shí)，可靈活應(yīng)用壓強(qiáng)單位“cmHg”，使計(jì)算過程簡(jiǎn)捷?？挤ㄒ粏我粴怏w問題【典例1】如圖所示，一端封閉粗細(xì)均勻的U形導(dǎo)熱玻璃管豎直放置，封閉端空氣柱的長(zhǎng)度L＝50cm，管兩側(cè)水銀面的高度差為h＝19cm，大氣壓強(qiáng)恒為76cmHg。T＝t＋273K。（1）若初始環(huán)境溫度為27℃，給封閉氣體緩慢加熱，當(dāng)管兩側(cè)水銀面齊平時(shí)，求封閉氣體的溫度；（2）若保持環(huán)境溫度27℃不變，緩慢向開口端注入水銀，當(dāng)管兩側(cè)水銀面平齊時(shí)，求注入水銀柱的長(zhǎng)度x。答案：（1）203℃（2）44cm解析：（1）封閉氣體初狀態(tài)的壓強(qiáng)p1＝p0－ph＝（76－19）cmHg＝57cmHg設(shè)玻璃管的橫截面積為S，體積V1＝LS＝50S溫度T1＝（273＋27）K＝300K封閉氣體末狀態(tài)壓強(qiáng)p2＝p0＝76cmHg體積V2＝L＋h2S＝50+19對(duì)封閉氣體，由理想氣體的狀態(tài)方程得p1V1代入數(shù)據(jù)解得T2＝476K，即溫度為203℃。（2）設(shè)當(dāng)管兩側(cè)水銀齊平時(shí)空氣柱的長(zhǎng)度為H，對(duì)氣體，由玻意耳定律得p1V1＝p2HS代入數(shù)據(jù)解得H＝37.5cm注入水銀柱的長(zhǎng)度x＝2（L－H）＋h＝2×（50－37.5）cm＋19cm＝44cm。考法二關(guān)聯(lián)氣體問題【典例2】（2023·全國(guó)乙卷33題）如圖，豎直放置的封閉玻璃管由管徑不同、長(zhǎng)度均為20cm的A、B兩段細(xì)管組成，A管的內(nèi)徑是B管的2倍，B管在上方。管內(nèi)空氣被一段水銀柱隔開，水銀柱在兩管中的長(zhǎng)度均為10cm?，F(xiàn)將玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管內(nèi)的空氣柱長(zhǎng)度改變1cm。求B管在上方時(shí)，玻璃管內(nèi)兩部分氣體的壓強(qiáng)。（氣體溫度保持不變，以cmHg為壓強(qiáng)單位）答案：54.36cmHg74.36cmHg解析：B管在上方時(shí)，設(shè)B管中氣體的壓強(qiáng)為pB，長(zhǎng)度lB＝10cm則A管中氣體的壓強(qiáng)為pA＝pB＋20cmHg，長(zhǎng)度lA＝10cm倒置后，A管在上方，設(shè)A管中氣體的壓強(qiáng)為pA'，A管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度lA'＝11cm已知A管的內(nèi)徑是B管的2倍，則水銀柱長(zhǎng)度為h＝9cm＋14cm＝23cm則B管中氣體壓強(qiáng)為pB'＝pA'＋23cmHgB管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度lB'＝40cm－11cm－23cm＝6cm對(duì)A管中氣體，由玻意耳定律有pAlASA＝pA'lA'SA對(duì)B管中氣體，由玻意耳定律有pBlBSB＝pB'lB'SB聯(lián)立解得pB＝54.36cmHgpA＝pB＋20cmHg＝74.36cmHg。題型二活塞類模型1.解答此類模型問題的一般思路（1）確定研究對(duì)象研究對(duì)象分兩類：①熱學(xué)研究對(duì)象（一定質(zhì)量的理想氣體）；②力學(xué)研究對(duì)象（汽缸、活塞或某系統(tǒng)）。（2）分析物理過程①對(duì)熱學(xué)研究對(duì)象分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程，依據(jù)氣體實(shí)驗(yàn)定律列出方程；②對(duì)力學(xué)研究對(duì)象要正確地進(jìn)行受力分析，依據(jù)力學(xué)規(guī)律列出方程。（3）挖掘題目的隱含條件，如幾何關(guān)系等，列出輔助方程。（4）多個(gè)方程聯(lián)立求解，注意檢驗(yàn)求解結(jié)果的合理性。2.對(duì)于兩個(gè)或多個(gè)汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關(guān)聯(lián)的問題：解答時(shí)應(yīng)分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規(guī)律，并寫出相應(yīng)的方程，還要寫出各部分氣體之間壓強(qiáng)或體積的關(guān)系式，最后聯(lián)立求解?？挤ㄒ粏我粴怏w問題【典例3】（2023·湖北高考13題）如圖所示，豎直放置在水平桌面上的左右兩汽缸粗細(xì)均勻，內(nèi)壁光滑，橫截面積分別為S、2S，由體積可忽略的細(xì)管在底部連通。兩汽缸中各有一輕質(zhì)活塞將一定質(zhì)量的理想氣體封閉，左側(cè)汽缸底部與活塞用輕質(zhì)細(xì)彈簧相連。初始時(shí)，兩汽缸內(nèi)封閉氣柱的高度均為H，彈簧長(zhǎng)度恰好為原長(zhǎng)?，F(xiàn)往右側(cè)活塞上表面緩慢添加一定質(zhì)量的沙子，直至右側(cè)活塞下降13H，左側(cè)活塞上升12H。已知大氣壓強(qiáng)為p0，重力加速度大小為g，汽缸足夠長(zhǎng)，汽缸內(nèi)氣體溫度始終不變，（1）最終汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)；（2）彈簧的勁度系數(shù)和添加的沙子質(zhì)量。答案：（1）1817p0（2）2p解析：（1）對(duì)汽缸中的氣體，初狀態(tài)p1＝p0，V1＝HS＋2HS＝3HS；設(shè)最終狀態(tài)氣體壓強(qiáng)為p2，體積V2＝H＋H2S＋2SH－由玻意耳定律有p1V1＝p2V2，解得p2＝1817p0（2）對(duì)左側(cè)活塞受力分析有p0S＋k·12H＝p2S解得彈簧的勁度系數(shù)k＝2p對(duì)右側(cè)活塞受力分析有p0·2S＋mg＝p2·2S，解得添加的沙子質(zhì)量m＝2p考法二關(guān)聯(lián)氣體問題【典例4】（2022·河北高考15題）水平放置的氣體阻尼器模型截面如圖所示，汽缸中間有一固定隔板，將汽缸內(nèi)一定質(zhì)量的某種理想氣體分為兩部分，“H”形連桿活塞的剛性連桿從隔板中央圓孔穿過，連桿與隔板之間密封良好。設(shè)汽缸內(nèi)、外壓強(qiáng)均為大氣壓強(qiáng)p0。活塞面積為S，隔板兩側(cè)氣體體積均為SL0，各接觸面光滑。連桿的截面積忽略不計(jì)?，F(xiàn)將整個(gè)裝置緩慢旋轉(zhuǎn)至豎直方向，穩(wěn)定后，上部氣體的體積為原來的12，設(shè)整個(gè)過程溫度保持不變，求（1）此時(shí)上、下部分氣體的壓強(qiáng)；（2）“H”形連桿活塞的質(zhì)量（重力加速度大小為g）。答案：（1）2p023p0（2）解析：（1）旋轉(zhuǎn)前后，上部分氣體發(fā)生等溫變化，根據(jù)玻意耳定律可知p0·SL0＝p1·12SL解得旋轉(zhuǎn)后上部分氣體壓強(qiáng)為p1＝2p0旋轉(zhuǎn)前后，下部分氣體發(fā)生等溫變化，下部分氣體體積增大為12SL0＋SL0＝32SL0，則p0·SL0＝p2·3解得旋轉(zhuǎn)后下部分氣體壓強(qiáng)為p2＝23p0（2）對(duì)“H”形連桿活塞整體受力分析，活塞的重力mg豎直向下，上部分氣體對(duì)活塞的作用力豎直向上，下部分氣體對(duì)活塞的作用力豎直向下，大氣壓力上下部分抵消，根據(jù)平衡條件可知p1S＝mg＋p2S解得活塞的質(zhì)量為m＝4p題型三變質(zhì)量模型考法一充氣問題在充氣（打氣）過程中，容器內(nèi)的氣體的質(zhì)量是增大的，屬于變質(zhì)量問題，如果將充進(jìn)容器內(nèi)的氣體和容器內(nèi)的原有氣體整體作為研究對(duì)象時(shí)，這些氣體的質(zhì)量是一定的，這樣即可將“變質(zhì)量”的問題轉(zhuǎn)化為“定質(zhì)量”問題?！镜淅?】如圖所示為學(xué)校配備消毒用的噴壺。噴壺的儲(chǔ)氣室內(nèi)有壓強(qiáng)為p0、體積為V0的氣體。閉合閥門K，按壓壓桿A向儲(chǔ)氣室充氣，每次充入壓強(qiáng)為p0、體積為ΔV＝110V0的氣體，多次充氣后儲(chǔ)氣室內(nèi)壓強(qiáng)為1.5p0。打開閥門K，消毒液從噴嘴處噴出。假設(shè)充氣過程儲(chǔ)氣室容積不變，氣體溫度不變，氣體可視為理想氣體。則按壓壓桿的次數(shù)是（A.5次 B.7次C.10次 D.15次答案：A解析：設(shè)按壓壓桿的次數(shù)為n，根據(jù)題意，由玻意耳定律可得p0V0＋n10V0＝1.5p0V0，代入數(shù)據(jù)解得n＝5，故A正確，考法二抽氣問題在抽氣過程中，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量是減小的，屬于變質(zhì)量問題，如果選擇每次抽出的氣體和剩余氣體整體作為研究對(duì)象，這些氣體的質(zhì)量是一定的，即可把“變質(zhì)量”問題轉(zhuǎn)化為“定質(zhì)量”問題。類似的還有漏氣問題和氣體分裝問題，解題思路都是把“變質(zhì)量”問題轉(zhuǎn)化為“定質(zhì)量”問題?！镜淅?】（2023·湖南高考13題）汽車剎車助力裝置能有效為駕駛員踩剎車省力。如圖，剎車助力裝置可簡(jiǎn)化為助力氣室和抽氣氣室等部分構(gòu)成，連桿AB與助力活塞固定為一體，駕駛員踩剎車時(shí)，在連桿AB上施加水平力推動(dòng)液壓泵實(shí)現(xiàn)剎車。助力氣室與抽氣氣室用細(xì)管連接，通過抽氣降低助力氣室壓強(qiáng)，利用大氣壓與助力氣室的壓強(qiáng)差實(shí)現(xiàn)剎車助力。每次抽氣時(shí)，K1打開，K2閉合，抽氣活塞在外力作用下從抽氣氣室最下端向上運(yùn)動(dòng)，助力氣室中的氣體充滿抽氣氣室，達(dá)到兩氣室壓強(qiáng)相等；然后，K1閉合，K2打開，抽氣活塞向下運(yùn)動(dòng)，抽氣氣室中的全部氣體從K2排出，完成一次抽氣過程。已知助力氣室容積為V0，初始?jí)簭?qiáng)等于外部大氣壓強(qiáng)p0，助力活塞橫截面積為S，抽氣氣室的容積為V1。假設(shè)抽氣過程中，助力活塞保持不動(dòng)，氣體可視為理想氣體，溫度保持不變。（1）求第1次抽氣之后助力氣室內(nèi)的壓強(qiáng)p1；（2）第n次抽氣后，求該剎車助力裝置為駕駛員省力的大小ΔF。答案：（1）V0V0＋V1p0（解析：（1）第1次抽氣過程，助力氣室的氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律有p0V0＝p1（V0＋V1）解得p1＝V0V0（2）第2次抽氣過程，有p1V0＝p2（V0＋V1）解得p2＝V0V故第n次抽氣后，助力氣室內(nèi)的壓強(qiáng)為pn＝V0V故第n次抽氣后，駕駛員省力的大小ΔF＝（p0－pn）S解得ΔF＝1－V0V題型一液柱類模型1.如圖所示，高為16cm的兩相同玻璃管豎直放置，下端連通，左管上端封閉，右管上端開口。右管中有高為4cm的水銀柱封閉了一部分氣體，水銀柱上表面離管口的距離為10cm。管底水平連接段的體積可忽略，大氣壓強(qiáng)p0＝76cmHg。若從右側(cè)端口緩慢注入水銀（與原水銀柱之間無氣隙），恰好使水銀柱下端到達(dá)右管底部，整個(gè)過程中，管內(nèi)氣體的溫度不變，則該過程中注入右管中水銀柱的高度為（）A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm解析：C開始時(shí)左管氣體壓強(qiáng)p＝p0＋ph＝80cmHg，水銀柱恰好到底部時(shí)，根據(jù)等溫過程方程p（2L－14cm）＝p'L，可得p'＝90cmHg，再根據(jù)壓強(qiáng)關(guān)系p'＝p0＋ph'，可得h'＝14cm，則應(yīng)注入右管中水銀柱的高度為10cm，故選C。2.如圖所示，一粗細(xì)均勻的“山”形管豎直放置，A管上端封閉，B管上端與大氣相通，C管內(nèi)裝有帶柄的活塞，活塞下方直接與水銀接觸。A管上方用水銀封有長(zhǎng)度L＝10cm的空氣柱，溫度t1＝27℃；B管水銀面比A管中高出h＝4cm。已知大氣壓強(qiáng)p0＝76cmHg。為了使A、B管中的水銀面等高，可以用以下兩種方法：（1）固定C管中的活塞，改變A管中氣體的溫度，使A、B管中的水銀面等高，求此時(shí)A管中氣體的熱力學(xué)溫度T2；（2）在溫度不變的條件下，向上抽動(dòng)活塞，使A、B管中的水銀面等高，求活塞上移的距離ΔL。（結(jié)果保留一位小數(shù)）答案：（1）228K（2）5.1cm解析：（1）設(shè)“山”形管的橫截面積為S，對(duì)A部分氣體，初態(tài)有p1＝p0＋ph＝76cmHg＋4cmHg＝80cmHg末態(tài)有p2＝76cmHg氣柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝10cm，L'＝8cm根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程p1V故有p1LS解得T2＝228K。（2）由于T不變，對(duì)A部分氣體根據(jù)玻意耳定律可得p1V1＝p3V3即有p1LS＝p0L3S解得L3≈10.53cm所以C管中水銀長(zhǎng)度的增加量為ΔL＝4cm＋0.53cm＋0.53cm≈5.1cm即活塞上移的距離為5.1cm。題型二活塞類模型3.如圖所示，一定質(zhì)量的理想氣體用質(zhì)量可忽略的活塞封閉在導(dǎo)熱性能良好的質(zhì)量m＝1kg的汽缸中，活塞的密封性良好，用勁度系數(shù)為k＝200N/m輕彈簧將活塞與天花板連接。汽缸置于水平桌面上，開始時(shí)彈簧剛好處于原長(zhǎng)。已知活塞與汽缸底部的間距為L(zhǎng)＝0.1m，活塞的橫截面積為S＝0.01m2，外界環(huán)境的壓強(qiáng)為p0＝1.0×105Pa，溫度為T0＝300K，忽略一切摩擦，重力加速度g＝10m/s2。緩慢降低環(huán)境溫度，則當(dāng)汽缸剛好要離開水平桌面時(shí)環(huán)境溫度為（）A.125.0K B.148.5KC.297.0K D.248.5K解析：B當(dāng)汽缸剛好要離開水平桌面時(shí)，彈簧的彈力為mg，則mg＝kx，解得彈簧伸長(zhǎng)量為x＝mgk＝1×10200m＝0.05m，則當(dāng)汽缸剛好要離開水平桌面時(shí)，活塞與汽缸底部的間距為L(zhǎng)1＝L－x＝0.05m，當(dāng)汽缸剛好要離開水平桌面時(shí)，汽缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)為p1＝p0－mgS＝1.0×105Pa－1×100.01Pa＝0.99×105Pa，對(duì)汽缸內(nèi)氣體由理想氣體狀態(tài)方程得p0LS4.（2022·全國(guó)乙卷33題）如圖，一豎直放置的汽缸由兩個(gè)粗細(xì)不同的圓柱形筒組成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之間封閉有一定量的理想氣體，兩活塞用一輕質(zhì)彈簧連接，汽缸連接處有小卡銷，活塞Ⅱ不能通過連接處?；钊?、Ⅱ的質(zhì)量分別為2m、m，面積分別為2S、S，彈簧原長(zhǎng)為l。初始時(shí)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為0.1l，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸連接處的距離相等，兩活塞間氣體的溫度為T0。已知活塞外大氣壓強(qiáng)為p0，忽略活塞與缸壁間的摩擦，汽缸無漏氣，不計(jì)彈簧的體積。（1）求彈簧的勁度系數(shù)；（2）緩慢加熱兩活塞間的氣體，求當(dāng)活塞Ⅱ剛運(yùn)動(dòng)到汽缸連接處時(shí)，活塞間氣體的壓強(qiáng)和溫度。答案：（1）40mgl（2）p0＋3mgS解析：（1）設(shè)初始狀態(tài)汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為p1，對(duì)兩活塞整體有p0·2S＋p1·S＋3mg＝p0·S＋p1·2S對(duì)活塞Ⅱ有k·0.1l＋p0·S＝p1·S＋mg解得k＝40mg（2）設(shè)活塞Ⅱ剛到汽缸連接處時(shí)內(nèi)部氣體壓強(qiáng)為p2，對(duì)兩活塞整體有p0·2S＋p2·S＋3mg＝p0·S＋p2·2S解得p2＝p1＝p0＋3對(duì)活塞Ⅱ有k·x＋p0·S＝p2·S＋mg活塞Ⅱ運(yùn)動(dòng)到汽缸連接處氣體體積為V2＝2（l＋x）S初始時(shí)氣體的體積V1＝0.55lS＋0.55l·2S＝1.65lS由蓋－呂薩克定律有V1T解得T2＝43T0題型三變質(zhì)量模型5.（2021·山東高考4題）血壓儀由加壓氣囊、臂帶，壓強(qiáng)計(jì)等構(gòu)成，如圖所示。加壓氣囊可將外界空氣充入臂帶，壓強(qiáng)計(jì)示數(shù)為臂帶內(nèi)氣體的壓強(qiáng)高于大氣壓強(qiáng)的數(shù)值，充氣前臂帶內(nèi)氣體壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)，體積為V；每次擠壓氣囊都能將60cm3的外界空氣充入臂帶中，經(jīng)5次充氣后，臂帶內(nèi)氣體體積變?yōu)?V，壓強(qiáng)計(jì)示數(shù)為150mmHg。已知大氣壓強(qiáng)等于750mmHg，氣體溫度不變。忽略細(xì)管和壓強(qiáng)計(jì)內(nèi)的氣體體積。則V等于（）A.30cm3 B.40cm3C.50cm3 D.60cm3解析：D根據(jù)玻意耳定律可知p0V＋5p0V0＝p1×5V，已知p0＝750mmHg，V0＝60cm3，p1＝750mmHg＋150mmHg＝900mmHg，代入數(shù)據(jù)整理得V＝60cm3，故選D。6.如圖所示，容積為5L的氧氣袋廣泛用于野外病人急救。若原來是真空的容積為5L的氧氣袋是由醫(yī)用鋼瓶?jī)?nèi)的氧氣分裝的，已知醫(yī)用鋼瓶容積為10L，貯有壓強(qiáng)為3.6×106Pa的氧氣，充氣后的氧氣袋中氧氣壓強(qiáng)都是1.2×106Pa，設(shè)充氣過程不漏氣，環(huán)境溫度不變。求：（1）一個(gè)醫(yī)用鋼瓶最多可分裝多少個(gè)氧氣袋；（2）病人用后，氧氣袋內(nèi)氣壓降至1.0×106Pa，用去的氧氣質(zhì)量與原來氣體總質(zhì)量之比（結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示）。答案：（1）4（2）1解析：（1）選取鋼瓶?jī)?nèi)氧氣整體作為研究對(duì)象，鋼瓶?jī)?nèi)氧氣體積V1＝10L，p1＝3.6×106Pa分裝n個(gè)氧氣袋，V2＝（V1＋n×5L），p2＝1.2×106Pa分裝過程是等溫變化，根據(jù)玻意耳定律p1V1＝p2V2解得n＝4。（2）選取氧氣袋內(nèi)p2＝1.2×106Pa的氧氣整體作為研究對(duì)象，設(shè)氣壓降至p3＝1.0×106Pa時(shí)氧氣的體積為V，用氣過程是等溫變化，根據(jù)玻意耳定律得p2V0＝p3V解得V＝65V用去氣體的體積為ΔV＝65V0－V0＝15所以用去氣體的質(zhì)量與原來氣體總質(zhì)量之比為Δmm＝ρΔVρV7.如圖所示，氣窯是以可燃性氣體為能源對(duì)陶瓷泥坯進(jìn)行升溫?zé)Y(jié)的一種設(shè)備。某次燒制前，封閉在窯內(nèi)的氣體壓強(qiáng)為p0，溫度為室溫。為避免窯內(nèi)氣壓過高，窯上有一個(gè)單向排氣閥，當(dāng)窯內(nèi)氣壓達(dá)到2p0時(shí)，窯內(nèi)氣體溫度為327℃，單向排氣閥開始排氣。開始排