2025屆上海市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．2．若圓的半徑為4，a、b、c為圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為()A．2 B．8 C． D．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，那么（）A．此數(shù)列一定是等差數(shù)列 B．此數(shù)列一定是等比數(shù)列C．此數(shù)列不是等差數(shù)列，就是等比數(shù)列 D．以上說法都不正確4．已知，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．6．已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．英國數(shù)學(xué)家布魯克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.968．已知，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．99．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．已知A(2,4)與B(3,3)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在的值域是__________________.12．直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為_______．13．在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足，則是的垂心；②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)一定過的重心；③是內(nèi)一定點(diǎn)，且，則；④若且，則為等邊三角形，其中正確的命題為_____（將所有正確命題的序號都填上）14．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為________．15．函數(shù)（）的值域是__________.16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，單位圓與軸正半軸相交于點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周回到點(diǎn)，設(shè)()，的面積為(當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，)，與的函數(shù)關(guān)系如圖所示的程序框圖.(1)寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式；(2)若輸出的值為，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．在△ABC中，中線長AM＝2.（1）若＝－2，求證：＋＋＝0；（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·(＋)的最小值．19．已知三棱柱中，平面ABC，，，M為AC中點(diǎn).（1）證明:直線平面；（2）求異面直線與所成角的大小.20．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.21．為了了解四川省各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對歲的人群抽樣了人，回答問題“四川省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)？”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表．組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第，，組每組各抽取多少人？（3）通過直方圖求出年齡的眾數(shù)，平均數(shù)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：若，那么，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；是單調(diào)遞減函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以，C.正確；是減函數(shù)，所以，故選C.考點(diǎn)：不等式2、C【解析】

試題分析：由正弦定理可知，∴，∴．考點(diǎn)：正弦定理的運(yùn)用．3、D【解析】

利用即可求得：，當(dāng)時(shí)，或，對賦值2,3，選擇不同的遞推關(guān)系可得數(shù)列：1，3,-3，…，問題得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理有，，所以或若時(shí)，滿足，時(shí)，滿足，可得數(shù)列：1，3,-3，…此數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用與的關(guān)系求，以及等差等比數(shù)列的判定．4、B【解析】sin(π+α)?3cos(2π?α)=0，即：sinα+3cosα=0，①又∵sin2α+cos2α=1，②由①②聯(lián)立解得：cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.5、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的計(jì)算，求解時(shí)遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則，一作的是過點(diǎn)作面的垂線，有時(shí)也可以通過等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．6、D【解析】

根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線有可能在平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，可能平行，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線、面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用題設(shè)中給出的公式進(jìn)行化簡，即可估算，得到答案．【詳解】由題設(shè)中的余弦公式得，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查了新信息試題的應(yīng)用，其中解答中理解題意，利用題設(shè)中的公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由可知,再利用坐標(biāo)公式求解.【詳解】因?yàn)?,且,所以,即,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解題關(guān)鍵是明確.9、D【解析】

利用奇函數(shù)偶函數(shù)的判定方法逐一判斷得解.【詳解】A.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；B.函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱.,所以函數(shù)是奇函數(shù)；C.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；D.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析：兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則,點(diǎn)與的中點(diǎn)在直線上，,那么直線的斜率等于，中點(diǎn)坐標(biāo)為，即中點(diǎn)坐標(biāo)為，,整理得：,故選C.考點(diǎn)：求直線方程二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用反三角函數(shù)的性質(zhì)及，可得答案.【詳解】解：，且，，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查反三角函數(shù)的性質(zhì)，相對簡單.12、【解析】

由題得（-1）,解之即得a的值.【詳解】由題得（-1）,所以a=2.故答案為；2【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線垂直的斜率關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.13、①②④．【解析】

①:運(yùn)用已知的式子進(jìn)行合理的變形，可以得到，進(jìn)而得到，再次運(yùn)用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；②：運(yùn)用平面向量的減法的運(yùn)算法則、加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線定理，可以證明本命題是真命題；③：運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線定理，結(jié)合面積公式，可證明出本結(jié)論是錯(cuò)誤的；④：運(yùn)用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數(shù)量積的定義，可以證明出本結(jié)論是正確的.【詳解】①:，同理可得：,，所以本命題是真命題；②:，設(shè)的中點(diǎn)為，所以有，因此動(dòng)點(diǎn)一定過的重心，故本命題是真命題；③:由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,,故本命題是假命題；④:由可知角的平分線垂直于底邊，故是等腰三角形，由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想.14、【解析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點(diǎn)為外接圓圓心．再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓圓心坐標(biāo)，外心是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，到三頂點(diǎn)距離相等．15、【解析】

由，根據(jù)基本不等式即可得出，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出，即求出原函數(shù)的值域．【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，；原函數(shù)的值域是．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的值域的定義及求法，基本不等式的應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義．16、【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和，可得；利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后求解三角函數(shù)值即可．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以；又，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握和若，則是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

(1)通過實(shí)際問題得到與的函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù)，從而判斷出程序框填的結(jié)果.(2)分類討論時(shí)和時(shí)兩種情形下的點(diǎn)Q坐標(biāo)，從而得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，故程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式分別是，(2)時(shí)，令，即，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，令，即，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或故點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題主要考查算法框圖，三角函數(shù)的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，分析實(shí)際問題的能力.18、（1）見解析；（2）最小值－2.【解析】

試題分析：（1）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，我們易將·(＋),轉(zhuǎn)化為－2||||=2(x－1)2－2的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，得到答案．試題解析：（1）證明：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0（2）設(shè)||＝x，則||＝2－x(0≤x≤2)∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＋＝2∴·(＋)＝2·＝－2||||＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取最小值－2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【詳解】請?jiān)诖溯斎朐斀猓?9、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)O，再證明，得證；（2）先求，可得.再結(jié)合即可得解.【詳解】證明：（1）連接交于點(diǎn)O，連接OM，為平行四邊形，為的中點(diǎn)，又M為AC的中點(diǎn)，.又平面，平面.平面.（2）平面ABC，，.又，由M為AC中點(diǎn)，，，又O為的中點(diǎn)，.，.所以異面直線與所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的求法，屬基礎(chǔ)題.20、（1）為，為；（2）產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解析】

（1）根據(jù)題意給出的函數(shù)模型，設(shè)；代入圖中數(shù)據(jù)求得既得，注意自變量；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元.，列出利潤函數(shù)為，用換元法，設(shè)，變化為二次函數(shù)可求得利潤的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元.，，令，則則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為4萬元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，在已知函數(shù)模型時(shí)直接設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，代入已知條件可得函數(shù)解析式．21、（1）;（2）第組抽取人，第組抽取人，第組抽取人;（3）40,．【解析】

（1）由頻率分布表得第四組人數(shù)為25人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為0.25，從而求出．由此求出各組人數(shù)，進(jìn)而能求出，，，的值．（2）由第2，3，4組回答正確的人分別有18、27、9人，從中用分層抽樣的方法抽取6人，由此