/天津市2023-2024學年高三數(shù)學上學期9月開學檢測模擬試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：本大題共5小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請把正確答案填涂在答題卡上.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出集合，根據(jù)集合并集與補集運算求解.【詳解】方程的兩根分別為，故，所以，.故選：D2.設，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關系確定.【詳解】化簡不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．本題考查充分必要條件，解題關鍵是化簡不等式，由集合的關系來判斷條件．3.函數(shù)在的圖像大致為（）A.B.C.D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊點的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】設，的定義域為，，所以是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，C選項錯誤.，所以BD選項錯誤，A選項正確.故選：A4.某部門隨機調(diào)查了90名工作人員，為了了解他們的休閑方式是讀書還是健身與性別是否有關，得到的數(shù)據(jù)如列聯(lián)表所示.若認為性別與休閑方式有關，則此時犯錯誤的概率不超過（）性別休閑方式合計讀書健身女生25（）20（）45男生15（）30（）45合計405090附：，，0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.0.01 B.0.05 C.95% D.99.5%【正確答案】B【分析】計算的值，由此確定正確答案.【詳解】依題意，，所以犯錯誤的概率不超過的情況下，認為性別與休閑方式有關.故選：B5.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.6.已知，，，則a，b，c的大小關系為A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．7.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以、和表示從甲罐中取出紅球、白球和黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)全概率公式求得，結(jié)合條件概型的知識確定正確答案.【詳解】依題意，，A選項正確.，B選項錯誤，，C選項錯誤，，D選項錯誤.故選：A8.設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．9.已知函數(shù)圖象上存在關于y軸對稱的兩點，則正數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先分析的單調(diào)性，可得對稱點分別位于與的圖象上，從而得到，進而利用同構(gòu)法，構(gòu)造函數(shù)得到，再構(gòu)造函數(shù)，由此得解.【詳解】因為，所以當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；又的圖象上存在關于y軸對稱的兩點，所以這兩個對稱點分別位于與的圖象上；設在的圖象上，則在函數(shù)的圖象上，且，故有，即，進而；設，則，又恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，則，于是．故選：B．關鍵點睛：本題解決的關鍵在于利用同構(gòu)法，將轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造了函數(shù)，由此得解.第Ⅱ卷（非選擇題共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共計30分.不需寫出解答過程，請把答案填在答案紙上的指定位置.10.已知（為虛數(shù)單位），則________.【正確答案】【分析】利用復數(shù)乘法、除法運算求得正確答案.【詳解】依題意，則.故11.展開式中常數(shù)項為______．【正確答案】60【分析】先求出展開式的通項公式,再令的指數(shù)為0,解出,進而可求出常數(shù)項.【詳解】的展開式中的通項公式.令-6=0，解得r=4．∴的展開式中常數(shù)項為:=60．故答案為60．本題考查了二項式定理,屬基礎題.12.將字母、、、、、排成一排，其中必須在的左邊，則不同的安排方法有________.（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】先安排，然后排其它字母，由此計算出不同的安排方法.【詳解】先安排，方法數(shù)有種方法，再安排其它字母，方法數(shù)有種，故不同的安排方法有種.故13.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【正確答案】①.，②.##【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故，.14.已知，則的最小值是_______．【正確答案】【分析】根據(jù)題設條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當且僅當，即時取等號.∴的最小值為.故答案為.本題考查了基本不等式在求最值中的應用.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.15.設函數(shù)存在最小值，則的取值范圍是________.【正確答案】【分析】根據(jù)的值與的大小關系進行分類討論，每種情況分別求函數(shù)在和的最小值，并比較大小即可.【詳解】①當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此不存在最小值；②當時，.當時，，故函數(shù)存在最小值；③當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，；當時，.若，則不存在最小值，故，解得.此時滿足題設；④當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，；當時，.因為，所以，因此不存在最小值.綜上，的取值范圍是.故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請把解題過程寫在答案紙上.16.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設，，求和的值.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）利用正弦定理得到，即可得到，從而求出；（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即可求出，再利用二倍角公式求出、，最后根據(jù)兩角和的正弦公式計算可得；【小問1詳解】解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，又因為，可得.【小問2詳解】解：由（1）得，在中，，，由余弦定理有，故.由正弦定理，即，可得.又因為，故.因此，.所以.17.如圖，P，O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點，，．（1）求證：平面PBC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC與平面PBC夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】(1)建立坐標系，利用平面的法向量與的數(shù)量積為零可證明；(2)利用與平面的法向量可求解；(3)利用平面的法向量可求解.【小問1詳解】以點O為原點，直線OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，由上得，，，設平面PBC的法向量為，則由得取，得，因為，所以，又平面PBC，所以平面PBC．【小問2詳解】由（1）知平面PBC的法向量為，因為，所以，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．【小問3詳解】顯然，平面POC的法向量為，由（1）知平面PBC的法向量為，設平面POC與平面PBC的夾角為，則．18.已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，點P（﹣1，）在橢圓C上，且|PF2|．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，M為線段AB的中點，若橢圓C上存在點N，滿足3（O為坐標原點），求直線l的方程．【正確答案】（1）．（2）xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．【分析】（1）根據(jù)題意得①，②，③，由①②③組成方程組，解得，，進而得橢圓的方程．（2）設直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程得關于的一元二次方程，結(jié)合韋達定理得，，從而得線段中點坐標，點的坐標，將其代入橢圓方程，可解得，進而得出直線的方程．【詳解】解：（1）因為點在橢圓上，且．所以，①，解得，②又因為③由①②③組成方程組，解得，，所以橢圓的方程為：．（2）由（1）可知，設直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，得，則，所以線段中點，，所以，，所以點的坐標為，，將點坐標代入橢圓的方程，解得，，所以直線的方程為：或．本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的相交問題，屬于中檔題．19.已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和；（3）記，求的最大值和最小值.【正確答案】（1），（2）（3）最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識求得.（2）利用錯位相減求和法求得.（3）利用裂項求和法，結(jié)合對進行分類討論，由此求得的最大值和最小值.【小問1詳解】依題意，，，解得，所以，則，設等差數(shù)列的公差為，則，所以.【小問2詳解】，，，兩式相減得，.【小問3詳解】，，當為偶數(shù)時，，令（為偶數(shù)），則是單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為，且.當為奇數(shù)是，，令（為奇數(shù)），則是單調(diào)遞減數(shù)列，最大值為，且.綜上所述，的最大值為，最小值為.求解等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式，關鍵是通過基本量的計算求得首項和公差（公比）.求解形如等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，或等差數(shù)列除以等比數(shù)列的數(shù)列的前項和，使用的方法是錯位相減求和法.20.已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，，求a的取值范圍；（3）設，證明：．【正確答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（3）見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設中的不等式.小問1詳解】當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在