專(zhuān)題19數(shù)列求和歸類(lèi)【題型一】公式法求和1（等差）【典例分析】．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列求和公式：(1)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題型二】公式法求和2（等比）【典例分析】已知數(shù)列滿(mǎn)意，.(1)記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前12項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律等比數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（3）【變式訓(xùn)練】在①，②，③數(shù)列為等比數(shù)列這三個(gè)條件中選出兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，且，求的值.注：假如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【題型三】倒序求和【典例分析】已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2)若，求；【提分秘籍】基本規(guī)律若函數(shù)f（x）有對(duì)稱(chēng)中心，則數(shù)列f（n）的前n項(xiàng)和，可以借助對(duì)稱(chēng)中心構(gòu)建倒序求和。所以倒序求和，多是具有中心對(duì)稱(chēng)的【變式訓(xùn)練】設(shè)是函數(shù)的圖象上隨意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【題型四】錯(cuò)位相消【典例分析】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿(mǎn)意，記，證明：.【提分秘籍】基本規(guī)律錯(cuò)位相減法：形如an＝，用錯(cuò)位相減法求解．思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下【變式訓(xùn)練】數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型五】正負(fù)相間求和【典例分析】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù)）.(1)求的值，并寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】正負(fù)相間求和：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.假如須要探討奇偶，一般狀況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，干脆代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最終的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)?！咀兪接?xùn)練】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【題型六】裂項(xiàng)相消基礎(chǔ)【典例分析】已知等差數(shù)列中，，為其前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，，，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)的值.【提分秘籍】基本規(guī)律基本規(guī)律裂項(xiàng)相消法：常用的裂項(xiàng)公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； 【變式訓(xùn)練】已知公差不為0的等差數(shù)列滿(mǎn)意，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，并求使得成立的最小正整數(shù).【題型七】分組求和1：等差等比分組【典例分析】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)意.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加（減）【變式訓(xùn)練】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)意且是的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿(mǎn)意．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題型八】分組求和2：裂項(xiàng)分組【典例分析】已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，，，成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組+裂項(xiàng)求和法求和，分別求和而后相加減【變式訓(xùn)練】已知公比大于1的等比數(shù)列滿(mǎn)意，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【題型九】分組求和3：正負(fù)相間分組【典例分析】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【提分秘籍】基本規(guī)律.形如，多可以通過(guò)奇偶取值，再各自求和，得到奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)和【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型十】分段數(shù)列求和【典例分析】.已知數(shù)列滿(mǎn)意(1)求的值；(2)求的前50項(xiàng)和．【提分秘籍】基本規(guī)律有分段型（如），可奇偶各段各自求和。分段型，還包括符號(hào)型（如），周期型（如）等等【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【題型十一】裂項(xiàng)相消拔高1：f（x）型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，且數(shù)列也為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律1.形如，可列為型。其中，分子a-b是隱藏比較深的分母相減結(jié)果，須要留意構(gòu)造出這種形式。2.假如分子次冪比較高，可以先分別常數(shù)，再構(gòu)造分母之差的形式?！咀兪接?xùn)練】．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和的值.【題型十二】裂項(xiàng)相消拔高2：指數(shù)型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列滿(mǎn)意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于隨意的，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【提分秘籍】基本規(guī)律形如指數(shù)型，其中f（n）可構(gòu)造為，化為。留意構(gòu)造過(guò)程中指數(shù)冪的運(yùn)算【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)積為，求.（4）數(shù)列滿(mǎn)意，，其中，，求.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2024·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．2．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（·湖北·高考真題（文））已知數(shù)列和滿(mǎn)意：，，，，且是以為公比的等比數(shù)列.（1）證明：；（2）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求和：.4．（2024·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)意，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)意．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．培優(yōu)其次階——培優(yōu)拔尖練1．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)料（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）