8.6空間直線、平面的垂直直線與直線垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．(直觀想象)2．駕馭兩異面直線所成的角的求法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)視察下面兩個(gè)圖形．問(wèn)題：(1)教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線的位置關(guān)系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？CD與BE的位置關(guān)系是什么？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°．1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎？[提示]依據(jù)等角定理可知，異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).學(xué)問(wèn)點(diǎn)2兩條異面直線垂直(1)定義：假如兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線相互垂直．(2)表示：直線a與直線b垂直，記作a⊥b．2．兩條直線垂直，肯定相交嗎？[提示]不肯定．當(dāng)兩條異面直線所成的角為90°時(shí)，兩條異面直線垂直，但不肯定相交．1．已知正方體ABCD-EFGH，則AH與FG所成的角是________．45°[如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因?yàn)樗倪呅蜝CGF為正方形，所以∠BGF＝45°.]2．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點(diǎn)，則在長(zhǎng)方體全部的棱中和EF垂直且異面的有________條．2[長(zhǎng)方體全部的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．]類(lèi)型1異面直線所成的角【例1】如圖，空間四邊形ABCD的各個(gè)棱長(zhǎng)都相等，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．[解]如圖，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，又E為BC的中點(diǎn)，∴EF綉12CD∴∠AEF為異面直線AE與CD所成的角(或補(bǔ)角)．設(shè)空間四邊形ABCD的棱長(zhǎng)為a，則AE＝AF＝32∴cos∠AEF＝AE2+E故異面直線AE與CD所成角的余弦值為36求異面直線所成角的一般步驟“一作”即過(guò)空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線，而空間一點(diǎn)一般取在兩異面直線中的一條上，特殊是某些特殊點(diǎn)處，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處．“二求”即通過(guò)解三角形，計(jì)算所作的角的大?。叭Y(jié)論”即假如所構(gòu)造的角的大小為α，若0°＜α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大小；若90°＜α＜180°，則180°－α即為所求．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，求異面直線A1C與B1C1所成的角的大?。甗解]因?yàn)閹缀误w是棱柱，BC∥B1C1，則直線A1C與BC所成的角就是異面直線A1C與B1C1所成的角．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，連接BA1(圖略)，∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝2，∴△BCA1是等邊三角形，∴異面直線A1C與B1C1所成的角為60°.類(lèi)型2直線與直線垂直的證明【例2】如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.[解]法一：如圖，連接A1C1，B1D1，設(shè)交點(diǎn)為O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，GA1，GC1．則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.法二：如圖，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，則HE∥DB1，且HE＝12DB1．于是∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．連接HF，設(shè)AA1＝1，則EF＝22，HE＝32，取A1D1的中點(diǎn)I，連接IF∴HF2＝HI2＋I(xiàn)F2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2∴∠HEF＝90°，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.法三：如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體，連接B1Q，DQ，則B1Q∥EF.于是，直線DB1與B1Q所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．通過(guò)計(jì)算，不難得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，從而異面直線DB1與EF所成的角為90°，所以DB1⊥EF.證明兩條直線垂直的策略(1)對(duì)于共面垂直的兩條直線的證明，可依據(jù)勾股定理證明．(2)對(duì)于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來(lái)證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，則線段AA1的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(2)空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝5，EF＝求證：AC⊥BD.(1)6[連接CD1，AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角．∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，∴∠AD1C＝90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝23，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC∵底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，AD1＝22∴AA1＝AD(2)證明：∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，滿意FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.1．(多選)假如空間兩條直線相互垂直，那么它們可能是()A．相交直線 B．異面直線C．共面直線 D．平行直線ABC[由平面幾何學(xué)問(wèn)和異面垂直的定義可知，相互垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選ABC.]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°B[取A1B1中點(diǎn)I，連接IG，IH，則EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱所在的直線中與直線BC1所成角為π4A．6 B．8C．10 D．12B[因?yàn)檎襟w中∠CBC1＝π4，所以BC與直線BC1所成角為π4，又BC∥AD∥A1D1∥B1C所以AD，A1D1，B1C1與直線BC1所成角為π4同理可得BB1，CC1，DD1，AA1與直線BC1所成角為π4又AB，CD，C1D1，A1B1與直線BC1所成角為π2所以與直線BC1所成角為π4故選B.]4．如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝23，AD(1)BC和A′C′所成的角為_(kāi)_______；(2)AA′和BC′所成的角為_(kāi)_______．(1)45°(2)60°[(1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°.]回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？[提示]異面直線所成角θ的范圍為0°<θ≤90°，假如兩條異面直線a，b所成的角為直角，我們就稱(chēng)這兩條直線相互垂直，記為a⊥b.2．用平移法求異面直線所成角的一般步驟是什么？[提示](1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角；(2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角；(3)結(jié)論——設(shè)由(2)求出的角的大小為θ，若0°<θ≤90°，則θ即為所求，若90°<θ<180°，則180°－θ即為所求．3．用平移法求異面直線所成角時(shí)應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想？[提示]應(yīng)用的是數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)換思想，即化空間圖形問(wèn)題為平面圖形問(wèn)題．課時(shí)分層作業(yè)(三十二)直線與直線垂直一、選擇題1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱全部的棱中，和AC垂直且異面的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條B[和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1，故選B.]2．已知直線a，b，c，下列三個(gè)命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A[①不正確，有可能平行；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確，可能平行，可能相交也可能異面．]3．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接BC1，A1C1(圖略)，∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故異面直線A1B與AD1所成角為60°.]4．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝2，則異面直線A．30°B．45°C．60°D．90°C[連接A1C1(圖略)，因?yàn)锽B1∥AA1，所以∠A1AC1為異面直線AC1與BB1所成的角．因?yàn)閠an∠A1AC1＝A1所以∠A1AC1＝60°，故選C.]5．(多選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為90°CD[由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成的角為90°，D正確．故選CD.]二、填空題6．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD與AC所成角的度數(shù)為_(kāi)_______．60°[依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.]7．如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于________.5[取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN為異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM8．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．90°[如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝三、解答題9．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：A1C1⊥EF.[解](1)如圖，連接AC，AB1．由幾何體ABCD-A1B1C1D1是正方體，知四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而AC與B1C所成的角為A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.故A1C1與B1C所成的角為60°.(2)證明：如圖，連接BD.易知四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，因?yàn)镋F為△ABD的中位線，所以EF∥BD.又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.10．如圖所示，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐后，GH與IJ所成角的度數(shù)為()A．90°B．60°C．45°D．0°B[將三角形折成三棱錐，如圖所示，GH與IJ為異面直線，在三棱錐A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即為所求，因此GH與IJ所成角為60°.]11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°D[如圖，連接CD1，AC，因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線沖突，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.]12．(多選)一個(gè)正方體紙盒綻開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，正確的是()A．AB⊥EFB．AB與CM所成的角為60°C．EF與MN是異面直線D．MN∥CDAC[把正方體的平面綻開(kāi)圖還原為原來(lái)的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正確．]13．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成角的大小是________．15°或75°[取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB，且EG＝12AB，F(xiàn)G∥CD，且FG＝12CD，由AB＝CD知易知∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.]14．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是三棱錐A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，AC