福建省龍巖高中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．無窮數(shù)列1,3,6,10，…的通項公式為（）A． B．C． D．2．若都是正數(shù)，則的最小值為().A．5 B．7 C．9 D．133．已知向量，且，則的值是（）A． B． C．3 D．4．若，則的坐標是()A． B． C． D．5．不等式的解集為()A．(-4，1) B．(-1，4)C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）6．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．7．過點斜率為－3的直線的一般式方程為（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．9．為三角形ABC的一個內(nèi)角,若,則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．集合A={x|-2<x<2}，B={x|-1<x<3}那么A∪B=()A．{x|-2<x<-1} B．{x|-1<x<2}C．{x|-2<x<1} D．{x|-2<x<3}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為___________。12．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.13．若無窮等比數(shù)列的各項和等于，則的取值范圍是_____．14．設(shè)，，，則，，從小到大排列為______15．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個表面積為的球，若，則的最大值是_______.16．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知拋物線的焦點為，過的直線交軸正半軸于點，交拋物線于兩點，其中點在第一象限.（Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范圍.18．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點．（1）求證：；（2）求證：．19．若的最小值為.（1）求的表達式；（2）求能使的值，并求當取此值時，的最大值.20．已知三棱錐的體積為1.在側(cè)棱上取一點，使，然后在上取一點，使，繼續(xù)在上取一點，使，……按上述步驟，依次得到點，記三棱錐的體積依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，為數(shù)列的前項和，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．（1）求，的值；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：由累加法得:,分別相加得,,故選C.考點：數(shù)列的通項公式.2、C【解析】

把式子展開，合并同類項，運用基本不等式，可以求出的最小值.【詳解】因為都是正數(shù)，所以，（當且僅當時取等號），故本題選C.【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.3、A【解析】

由已知求得，然后展開兩角差的正切求解．【詳解】解：由，且，得，即．，故選A．【點睛】本題考查數(shù)量積的坐標運算，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．4、C【解析】

，.故選C.5、A【解析】

將原不等式化簡并因式分解，由此求得不等式的解集.【詳解】原不等式等價于，即，解得.故選A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由點和斜率求出點斜式方程，化為一般式方程即可．【詳解】解：過點斜率為的直線方程為，化為一般式方程為；故選：．【點睛】本題考查了由點以及斜率求點斜式方程的問題，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

由已知遞推關(guān)系式可以推出數(shù)列的特征，即數(shù)列和均是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由已知可得，當時，由得，所以數(shù)列和均是公比為2的等比數(shù)列，首項分別為2和1，由等比數(shù)列知識可求得，,故選：D．【點睛】本題主要考查遞推關(guān)系式，及等比數(shù)列的相關(guān)知識，屬于中檔題．9、B【解析】試題分析：由,兩邊平方得,即,又,則,所以為第三、四象限角或軸負半軸上的角,所以為鈍角．故正確答案為B．考點：1．三角函數(shù)的符號、平方關(guān)系;2．三角形內(nèi)角．10、D【解析】

根據(jù)并集定義計算．【詳解】由題意A∪B={x|-2<x<3}．故選D．【點睛】本題考查集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3；【解析】

由三視圖還原幾何體，根據(jù)垂直關(guān)系和勾股定理可求得各棱長，從而得到最長棱的長度.【詳解】由三視圖可得幾何體如下圖所示：其中平面，，，，，，四棱錐最長棱為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體的相關(guān)問題，關(guān)鍵是能夠準確還原幾何體中的長度和垂直關(guān)系，從而確定最長棱.12、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應(yīng)用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．13、．【解析】

根據(jù)題意可知，，從而得出，再由，即可求出的取值范圍．【詳解】解：由題意可知，，且，，，，或，故的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的極限問題，解題時要熟練掌握無窮等比數(shù)列的極限和，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

首先利用輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式分別求出，，的值，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性對，，排序即可.【詳解】由題知，，，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)已知可得直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以,可得的內(nèi)切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，所以此時的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直三棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及組合體的性質(zhì)和球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.16、【解析】

由圖乙可得：第行有個數(shù)，且第行最后的一個數(shù)為，從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【詳解】分析圖乙，可得①第行有個數(shù)，則前行共有個數(shù)，②第行最后的一個數(shù)為，③從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個數(shù)為，這行中第個數(shù)為，前行共有個數(shù)，則為第個數(shù)．故填．【點睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）題意實質(zhì)上證明線段的中點到軸的距離等于線段長的一半，根據(jù)拋物線的定義設(shè)可證得；（Ⅱ）同樣設(shè)，，把已知,用坐標表示出來，消去坐標及，得出與的關(guān)系，此時就可得出的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，圓心坐標為，圓心到軸的距離為，圓的半徑為，所以，以線段為直徑的圓與軸相切．（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因為，所以的取值范圍是．解法二：設(shè)，，將代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，將代入（*）式，得，所以，．代入，得．因為，所以的取值范圍是．考點：拋物線的定義，拋物線的焦點弦問題．18、(1)見詳解；（2）見詳解.【解析】

（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點，D是棱AB的中點，利用中位線的性質(zhì)可證OD∥BC1，根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥AA1，根據(jù)AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據(jù)線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC1⊥A1C．【詳解】（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，所以：O為AC1的中點，又因為：D是棱AB的中點，所以：OD∥BC1，又因為：BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，因為：AC＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因為：AB?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因為：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因為：A1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因為：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因為：BC1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）的最大值為【解析】試題分析：（1）通過同角三角函數(shù)關(guān)系將化簡，再對函數(shù)配方，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而求出的最小值；（2）由，則根據(jù)的解析式可知只能在內(nèi)解方程，從而求出的值，即可求出的最大值.試題解析：（1）若，即，則當時，有最小值，；若，即，則當時，有最小值，若，即，則當時，有最小值，所以；（2）若，由所求的解析式知或由或（舍）；由（舍）此時，得，所以時，，此時的最大值為.20、（1）．；（2）．【解析】

（1）由三棱錐的體積公式可得是等比數(shù)列，從而可求得其通項公式，利用可求得，但要注意；（2）用錯位相減法求得，化簡不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．【詳解】（1）由題意，∴，三棱錐的體積就是三棱錐的體積，它們都以為底面，因此它們的體積比等于它們高的比，即到平面的距離之比，又都在直線上，所以點到平面的距離之比就等于棱長的比，∴，，，∴．，則，時，，也適合．∴．（2）由（1），，，兩式相減得：，∴．不等式為，即，設(shè)，則，∴當時，遞增，當，遞減，是中的最大項，．不等式對恒成立，則，∴或．故的范圍是．【點睛】本題考查棱錐的體積，考查等比