江蘇省常州市田家炳高級中學2025屆高一下數學期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一個圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設圓柱的側面積為，球的表面積為，則()A． B． C． D．12．如果，那么下列不等式錯誤的是（）A． B．C． D．3．已知數列中，，，且，則的值為（）A． B． C． D．4．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數a的值是A． B． C． D．5．數列中，，則數列的極限值（）A．等于0 B．等于1 C．等于0或1 D．不存在6．已知函數，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關于對稱；③在區(qū)間上單調遞增；④若實數m使得方程在上恰好有三個實數解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④7．設，則()A． B．C． D．8．盒中裝有除顏色以外，形狀大小完全相同的3個紅球、2個白球、1個黑球，從中任取2個球，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；至少有一個紅球 B．至少有一個白球；紅、黑球各一個C．恰有一個白球：一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；都是白球9．等差數列的首項為.公差不為，若成等比數列，則數列的前項和為（）A． B． C． D．10．已知數列的前項和為，且滿足，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）．下列四個結論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結論有___________.（寫出所有正確結論的編號）12．，則f（f（2））的值為____________．13．九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數，滿足，且，則解下4個環(huán)所需的最少移動次數為_____.14．如圖所示，E，F分別是邊長為1的正方形的邊BC，CD的中點，將其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三點重合.則所圍成的三棱錐的體積為___________.15．已知向量，向量，若與垂直，則__________．16．過點且在坐標軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列，，，且.(1)設，證明數列是等比數列，并求數列的通項；(2)若，并且數列的前項和為，不等式對任意正整數恒成立，求正整數的最小值.(注:當時，則)18．已知函數.（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）設是第一象限角，且，求的值.19．已知函數.（1）若，且對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；（2）求，解關于的不等式.20．在平面直角坐標系中，已知點，，.（Ⅰ)求的坐標及；（Ⅱ)當實數為何值時，.21．使用支付寶和微信支付已經成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統(tǒng)計發(fā)現一周內超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(千人)具有線性相關關系，并得到最近一周的7組數據如下表，并依此作為決策依據.(1)作出散點圖，并求出回歸方程(，精確到)；(2)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據市場調查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數增加7千人，試決策超市是否有必要開展抽獎活動？(3)超市管理層決定:從周一到周日，若第二天的凈利潤比前一天增長超過兩成，則對全體員工進行獎勵，在(Ⅱ)的決策下，求全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.參考數據:，，，.參考公式：，，.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由圓柱的側面積及球的表面積公式求解即可.【詳解】解：設圓柱的底面半徑為，則，則圓柱的側面積為，球的表面積為，則，故選：D.【點睛】本題考查了圓柱的側面積的求法，重點考查了球的表面積公式，屬基礎題.2、A【解析】

利用不等式的性質或比較法對各選項中不等式的正誤進行判斷.【詳解】，，，則，，可得出，因此，A選項錯誤，故選：A.【點睛】本題考查判斷不等式的正誤，常利用不等式的性質或比較法來進行判斷，考查推理能力，屬于基礎題.3、A【解析】

由遞推關系，結合，，可求得，，的值，可得數列是一個周期為6的周期數列，進而可求的值?！驹斀狻恳驗椋?，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得數列是一個周期為6的周期數列，所以，故選A?！军c睛】本題考查由遞推關系求數列中的項，考查數列周期的判斷，屬基礎題。4、B【解析】試題分析：圓化為標準方程為，所以圓心為（-1,1），半徑，弦心距為．因為圓截直線所得弦長為4，所以．故選B．5、B【解析】

根據題意得到：時，，再計算即可.【詳解】因為當時，.所以.故選：B【點睛】本題主要考查數列的極限，解題時要注意公式的選取和應用，屬于中檔題.6、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據判斷②的正誤，由求出的單調遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因為，故①正確因為，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調遞增，故③正確若實數m使得方程在上恰好有三個實數解，結合的圖象知，必有此時，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點睛】本題考查的是三角函數的圖象及其性質，解決這類問題時首先應把函數化成三角函數基本型.7、A【解析】

先由誘導公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根據39°∈（30°，45°）得到大致范圍.【詳解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故選A．【點睛】這個題目考查了三角函數的誘導公式的應用，以及特殊角的三角函數值的應用，題目比較基礎.8、B【解析】

根據對立事件和互斥事件的定義，對每個選項進行逐一分析即可.【詳解】從6個小球中任取2個小球，共有15個基本事件，因為存在事件：取出的兩個球為1個白球和1個紅球，故至少有一個白球；至少有一個紅球，這兩個事件不互斥，故A錯誤；因為存在事件：取出的兩個球為1個白球和1個黑球，故恰有一個白球：一個白球一個黑球，這兩個事件不互斥，故C錯誤；因為存在事件：取出的兩個球都是白球，故至少有一個白球；都是白球，這兩個事件不互斥，故D錯誤；因為至少有一個白球，包括：1個白球和1個紅球，1個白球和1個黑球，2個白球這3個基本事件；紅、黑球各一個只包括1個紅球1個白球這1個基本事件，故兩個事件互斥，因還有其它基本事件未包括，故不對立.故B正確.故選：B.【點睛】本題考查互斥事件和對立事件的辨析，屬基礎題.9、A【解析】

根據等比中項定義可得；利用和表示出等式，可構造方程求得；利用等差數列求和公式求得結果.【詳解】由題意得：設等差數列公差為，則即：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數列前項和公式的應用；關鍵是能夠構造方程求出公差，屬于?？碱}型.10、B【解析】

由可知，數列隔項成等比數列，從而得到結果.【詳解】由可知：當n≥2時，，兩式作商可得：∴奇數項構成以1為首項，2為公比的等比數列，偶數項構成以2為首項，2為公比的等比數列，∴故選：B【點睛】本題考查數列的遞推關系，考查隔項成等比，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

由①可知只需求點A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為到軸截面距離的最大值問題進行求解對于③④，可采用建系法進行分析【詳解】選項①如圖所示，當時，四棱錐體積最大，選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項③和④，如圖所示：以垂直于方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，其中設,.,設直線BQ與AP所成角為，，當時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.12、1【解析】

先求f（1），再根據f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數求值，考查對應性以及基本求解能力.13、7【解析】

利用的通項公式，依次求出，從而得到，即可得到答案。【詳解】由于表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數，滿足，且所以，，故，所以解下4個環(huán)所需的最少移動次數為7故答案為7.【點睛】本題考查數列的遞推公式，屬于基礎題。14、【解析】

根據折疊后不變的垂直關系，結合線面垂直判定定理可得到為三棱錐的高，由此可根據三棱錐體積公式求得結果.【詳解】設點重合于點，如下圖所示：，，又平面，平面，即為三棱錐的高故答案為：【點睛】本題考查立體幾何折疊問題中的三棱錐體積的求解問題，處理折疊問題的關鍵是能夠明確折疊后的不變量，即不變的垂直關系和長度關系.15、；【解析】

由計算可得．【詳解】，∵與垂直，∴，．故答案為－1．【點睛】本題考查向量垂直的坐標運算．由向量垂直得其數量積為0，本題屬于基礎題．16、或【解析】

討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；當直線不過原點時，設，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【點睛】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，(2)10【解析】

（1）根據等比數列的定義，結合題中條件，計算，，即可證明數列是等比數列，求出；再根據累加法，即可求出數列的通項；（2）根據題意，得到，分別求出，當，用放縮法得，根據裂項相消法求，進而可求出結果.【詳解】(1)證明：，而∴是以4為首項2為公比的等比數列，，∴即，，所以，，......，，以上各式相加得：；∴；(2)由（1）得：，，，，，由已知條件知當時，，即∴，而綜上所述得最小值為10.【點睛】本題主要考查證明數列為等比數列，求數列的通項公式，以及數列的應用，熟記等比數列的概念，累加法求數列的通項公式，以及裂項相消法求數列的和等即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可根據分式的分母不能為得出，然后解即可得出函數的定義域；(2)本題首先可根據以及同角三角函數關系計算出以及的值，然后對函數進行化簡，得到，最后通過計算即可得出結果．【詳解】(1)由得，，所以，，故的定義域為.(2)因為，且是第一象限角，所以有，解得，.故．【點睛】本題考查三角函數的性質、三角恒等變換的應用，考查的公式有、、、二倍角公式以及兩角差的余弦公式，考查化歸與轉化思想，是中檔題．19、（1）（2）見解析【解析】

（1）由題意，若，則函數關于對稱，根據二次函數對稱性，可求，代入化簡得在上恒成立，由，知當為最小值，根據恒成立思想，令最小值，即可求解；（2）根據題意，由，化簡一元二次不等式為，討論參數范圍，寫出解集即可.【詳解】解：（1）若，所以函數對稱軸，.，即在恒成立，即在上恒成立所以，又，故（2），所以；原不等式變?yōu)椋驗?，所?所以當，即時，解為；當時，解集為；當，即時，解為綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為必；當時，不等式的解隼為【點睛】本題考查（1）函數恒成立問題；（2）含參一元二次不等式的解法；考查計算能力，考查分類討論思想，屬于中等題型.20、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）根據點，的坐標即可求出，從而可求出；（Ⅱ）可以求出，根據即可得出，解出即可．【詳解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【點睛】考查根據點的坐標求向量的坐標的方法，根據向量的坐標求向量長度的方法，以及平行向量的坐標關系．21、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

(1)通過表格描點即可，先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程；（2）先計算活動開展后使用支付寶和微信支付的人數為(千人)，代入（1）問得到結果；（3）先判斷周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵，從而確定基本事件，再找出連續(xù)兩天獲得獎勵的基本事件，故可計算出全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.【詳解】(1)散