小學(xué)數(shù)學(xué)案例

1、數(shù)學(xué)是什么？

相信很多數(shù)學(xué)老師都這樣問過自己：數(shù)學(xué)究竟是什么？作為一個(gè)

數(shù)學(xué)老師，如果這個(gè)問題都回答不了，好象有點(diǎn)說不過去。但是誰又

能真正說清楚數(shù)學(xué)是什么呢？美國(guó)數(shù)學(xué)家柯朗在他的《數(shù)學(xué)是什么》

的書中說道：”……對(duì)于學(xué)者，對(duì)于普通人來說，更多的是依靠自身

的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不是哲學(xué)，才能回答這個(gè)問題：數(shù)學(xué)是什么？”的確,

我們很難給數(shù)學(xué)下一個(gè)準(zhǔn)確的定義，就讓我們?cè)趯?duì)一些案例的思考中

去慢慢地揣摩數(shù)學(xué)的內(nèi)涵吧。

一、是客觀，還是主觀？

[案例1]“含有未知數(shù)的式子叫方程?！迸袛噱e(cuò)誤，應(yīng)把“式子”改

為“等式”才對(duì)，我們一直這樣教學(xué)生、考學(xué)生。可這樣改，就是絕對(duì)

真理了嗎？我們從未思考過。張奠宙先生曾在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》上撰

文說：“其實(shí)，含有未知數(shù)的等式叫方程，也并非是方程的嚴(yán)格定義,

它僅是一種樸素的描寫，并沒有明確的外延，是經(jīng)不起推敲的。首先,

改成，等式'二字也未必準(zhǔn)確，實(shí)際上應(yīng)是'條件等式'才對(duì)。因?yàn)楹?/p>

未知數(shù)的恒等式不是我們要研究的方程，例如，x-x=O,對(duì)一切x

都對(duì)，何必解呢？反過來，把解，含有未知數(shù)的不等式二稱之為，解不

等式方程'，也可以說得通，無非是大家約定俗成而已?！笨戳诉@段話,

我們有何感想？

[案例2]“圓周長(zhǎng)的一半等于半圓的周長(zhǎng)”。判斷錯(cuò)誤。可是，究

竟什么是半圓呢？如果說圓是一條定點(diǎn)到定長(zhǎng)的封閉曲線，那半圓不

就是這曲線的一半，這不正好是圓周長(zhǎng)的一半嗎？把直徑納入進(jìn)去形

成半圓，不就承認(rèn)圓是一個(gè)塊而不是線了嗎？有一天，我突然醒悟并

為此感到興奮，并和老師們交流，老師們也大呼其對(duì)?？墒沁^幾天，

我還是不放心地去翻了《數(shù)學(xué)大辭典》，它明確告訴我“半圓就是半

條弧和直徑所組成的圖形”。我空歡喜了一場(chǎng)。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)其實(shí)是次

要的，關(guān)鍵是我們花了那么長(zhǎng)時(shí)間，去讓學(xué)生搞懂連自己也不懂的東

西，其價(jià)值何在呢？

[案例3]“0”一直是整數(shù)而非自然數(shù)，為這，老師和學(xué)生們都沒少

費(fèi)腦筋，可現(xiàn)在“0”也加入了自然數(shù)的行列；”5個(gè)3是多少？”也可以

寫成“5x3”了；“把6個(gè)桃平均分成3份“，操作時(shí)，直接拿2個(gè)放在

一個(gè)盤子里，也不說你是科學(xué)性錯(cuò)誤了。難道數(shù)學(xué)是可以改變的嗎？

[案例4]9月1日，我去隨班聽課。先是聽五年級(jí)的數(shù)學(xué)課，內(nèi)

容為小數(shù)乘法的意義。老師花了很大力氣去讓學(xué)生搞清：4x5是表示

5個(gè)4相加是多少或4的5倍是多少，4x0.5是表示4的十分之五是

多少，4x1.5是表示4的1.5倍是多少。有些學(xué)生還是有些糊涂，教

師便幫助他們總結(jié)規(guī)律：要看后面的數(shù)是大于1還是小于1。小于1

的，就是表示這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾是多少……大于1的，要

看是整數(shù)還是小數(shù)，是小數(shù)的，就是幾倍；是整數(shù)的，可以有兩種表

示方法……學(xué)生更糊涂了。第二節(jié)課去聽六年級(jí)數(shù)學(xué)課，正好是分?jǐn)?shù)

乘法的意義。又出現(xiàn)了上述情形，只不過把小數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。學(xué)生們

一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果無關(guān)大雅的話，把

4x0.5說成4的0.5倍又何妨呢？！至少可以少難為一點(diǎn)我們這些可

愛的孩子們。

在關(guān)注數(shù)學(xué)事實(shí)的同時(shí)，更應(yīng)該關(guān)注孩子的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。讓數(shù)學(xué)從

靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，從客觀走向主客觀的結(jié)合……

二、是形式，還是實(shí)質(zhì)？

［案例5］一年級(jí)數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們做課本上的一道題。題

目是看圖列式，左邊圖上畫了一棵大樹，樹上有5只鳥，樹的旁邊又

畫了3只鳥（頭朝樹）。學(xué)生當(dāng)即寫出算式：“5+3=8”，表示“樹上

有5只鳥，又飛來3只鳥，一共有8只鳥。”右邊圖上也畫了一棵大

樹，樹上有5只鳥，樹旁邊有3只鳥，只不過這3只鳥的頭的方向是

遠(yuǎn)離樹。學(xué)生也當(dāng)即寫出算式：“8—3=5”，表示“樹上原來有8只鳥,

飛了3只，還剩5只?！痹谝磺羞M(jìn)行的很順利之時(shí)，一個(gè)小朋友站起

來說，他列出的算式也是“5+3=8”。老師很不高興：“難道你沒看見

小鳥飛的方向嗎？頭朝左邊，就表示加，頭朝右邊就表示減……”

關(guān)鍵的是這種現(xiàn)象并非個(gè)別。在教學(xué)中，我們老師做過多少

次這種人為的規(guī)定??！“實(shí)線就表示合并，虛線就表示去掉”、“看見

總共就加，看見剩下就減”。本來簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，變得越來越復(fù)雜……

［案例6］教過《三角形認(rèn)識(shí)》的老師都知道，在這節(jié)課上我們

第一個(gè)要煞費(fèi)苦心的，就是讓學(xué)生懂得三角形是由三條線段圍成而非

組成的圖形。為了“圍成”與“組成”，我們往往要花去很長(zhǎng)的時(shí)間，并

常常為此設(shè)計(jì)而津津樂道。反思一下，如果我們不去區(qū)別“組成”與“圍

成”，或者說不把“圍成”突出來講，學(xué)生難道就會(huì)把“沒有連接在一起

的三條線段組成的圖形”看成是三角形嗎？我看百分之百不會(huì)。數(shù)學(xué)

課上，我們往往喜歡教語(yǔ)文，喜歡去咬文嚼字，看似深挖實(shí)質(zhì)問題，

實(shí)際是漸離實(shí)質(zhì)。對(duì)于一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，我們不能只注重它的定義，

我們更應(yīng)該重視的是幫助學(xué)生形成豐富與清晰的心象：學(xué)生能畫出多

少個(gè)形狀不同的三角形，學(xué)生能自主地在這些三角形中找出相同的特

征并把它們歸類嗎？一提到鈍角三角形、等腰三角形，學(xué)生的頭腦中

就能浮現(xiàn)出各種表象嗎？

為什么學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“小明身高1.5厘米”等數(shù)學(xué)笑話？

因?yàn)槲覀儗?duì)定義的關(guān)注，也許超過了對(duì)心象與它所代表的實(shí)際意義的

關(guān)注，而后者的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者。

三、是封閉，還是開放？

［案例7］48x53怎樣計(jì)算？列豎式，先從個(gè)位乘起……我們有一

套法則，我們很熟練它，但卻根本不知道還會(huì)有別的算法。面對(duì)數(shù)學(xué),

我們千萬不能認(rèn)為自己的方法就是唯一的。教學(xué)數(shù)學(xué)，我們一定要積

極地鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度去思考問題。讓數(shù)學(xué)走出封閉，走向開放。

［案例8］在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)中，我們通常都是從復(fù)習(xí)平均分

開始，然后逐漸地引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)餅平均分成2份，表示每一份的分

數(shù)；把一條線段平均分成3份，表示每一份的分?jǐn)?shù)……步步為營(yíng)，一

層一層地引導(dǎo)下來。如果我們?cè)谡n的一開始，就讓同學(xué)們自己隨便寫

一個(gè)分?jǐn)?shù)，然后聯(lián)系生活實(shí)際用這個(gè)分?jǐn)?shù)說句話，或直接說說這個(gè)分

數(shù)所表示的意義，可以嗎？完全可以，在開放的、具有挑戰(zhàn)性的又聯(lián)

系實(shí)際的問題情景中，學(xué)生的興趣只會(huì)更高，思維更活躍。

我們不能老是讓學(xué)生接觸封閉的數(shù)學(xué)（條件唯一，答案唯一）。

數(shù)學(xué)的魅力在哪里？在于數(shù)學(xué)的探索性與想