數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing目錄1.概論2.數(shù)字圖像處理基礎3.圖像增強4.圖像的幾何變換5.頻域處理6.數(shù)學形態(tài)學基礎7.圖像分割8.圖像特征與理解第五章頻域處理1.頻域與頻域變換2.傅立葉變換3.頻域變換的一般表達式4.離散余弦變換5.頻域變換中圖像處理的實現(xiàn)6.小波變換簡介原始圖像頻域圖像5.1頻域與頻域變換

頻域變換本質(zhì)上是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。參考資料：（從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法）/v_JULY_v/article/details/6196862

5.1頻域與頻域變換理論基礎：任意波形都可以用不同頻率和相位的正弦波或余弦波的加權(quán)和來表示。(a)(b)(c)(d)＝＋＋

圖5-1任意波形可分解為正弦波或余弦波的加權(quán)和5.1頻域與頻域變換將圖5－1(b)所示的正弦波取出來,虛線表示的振幅為1，且初相位為0的正弦波作為基本正弦波，則實線表示的波形可由其振幅A和初相位φ確定。一個正弦波可由頻率，振幅和相位唯一確定。圖5－2正弦波的振幅A和相位φ5.1頻域與頻域變換圖5－1(b)、(c)、(d)３個不同的正弦波形可以描述為圖5－3所示的2幅圖。其中圖5－3(a)表示振幅與頻率之間的關(guān)系，稱為幅頻特性，而圖5－3(b)表示初相位與頻率之間的關(guān)系，稱為相頻特性。Au(a)幅頻特性φ(b)相頻特性圖5-3圖5-1(a)波形的頻域表示u5.1頻域與頻域變換

時域和頻域之間的變換可用數(shù)學公式表示如下：幅值與相位與頻率w之間的關(guān)系F(w)為幅值與相位關(guān)于頻率w的復數(shù)表示5.1頻域與頻域變換

舉例來自：/69407/從時域看到的信號和頻域看到的信號是不一樣的。頻域為信號的分析和處理提供了另一種視角。5.1頻域與頻域變換

舉例來自：/69407/相位譜：基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。5.2傅立葉變換傅立葉變換是一種常用的正交變換，它的理論完善，應用廣泛。

在圖像處理應用領(lǐng)域，傅立葉變換起著非常重要的作用，可用它完成圖像分析、圖像增強及圖像壓縮等工作。5.2.1傅立葉變換

如果一維連續(xù)信號f(x)滿足狄里赫萊條件，即：(1)有限個間斷點；(2)有限個極值點；(3)絕對可積。其傅立葉變換對一定存在。f(x)的傅立葉變換與反變換(Fouriertransformpair)定義為x－時變量；u－頻域變量。

正變換逆變換5.2.1傅立葉變換

1維連續(xù)傅里葉變換舉例，窗函數(shù)的傅里葉變換：對p(t)作傅里葉變換對上式求解，可得F(u)的表達式5.2.1傅立葉變換如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對為:x,y－時域變量；u,v－頻域變量。正變換逆變換5.2.2離散傅立葉變換

定義：設{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為：x,u=0,1,2,…,N－15.2.2離散傅立葉變換

歐拉公式離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列對每一個u對應的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和u決定了每個傅立葉變換結(jié)果的頻率5.2.2離散傅立葉變換傅立葉變換為復數(shù)形式R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部傅立葉變換的指數(shù)形式式中：(R(u),I(u))實軸虛軸相位譜幅度譜5.2.2離散傅立葉變換離散傅里葉變換舉例：5.2.2離散傅立葉變換離散傅里葉變換舉例：5.2.2離散傅立葉變換離散傅里葉變換舉例：信號的傅里葉變換結(jié)果5.2.2離散傅立葉變換信號的傅里葉變換中，F(xiàn)(i)和F(N-i)的頻譜值相等，為什么？

說明：5.2.2離散傅立葉變換將一維離散傅立葉變換推廣到二維，定義為：式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y為時域變量；u,v為頻域變量。5.2.2離散傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為：式中：R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)對圖像的分析具有十分重要的作用。線性比例性質(zhì)可分離性平移性質(zhì)空間位移頻率位移圖像中心化當時，5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)對圖像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二維DFT的性質(zhì)。周期性共軛對稱性旋轉(zhuǎn)不變性平均值卷積定理5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)對圖像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二維DFT的性質(zhì)。互相關(guān)定理自相關(guān)：5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)線性+=fftfftfft+=5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)比例性質(zhì)5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)

比例性質(zhì)證明5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)比例性質(zhì)圖像幅度譜5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)可分離性可分離性

f(x,y)

F(x,v)

F(u,v)按行進行一維DFT按列進行一維DFT139921373606682022-8+6i-2-8-6i13-1+6i-3-1-6i153-93164-8i04+8i22-8+6i-2-8-6i13-1+6i-3-1-6i153-93164-8i04+8i66-2+4i-14-2-4i7+3i3+11i7+3i-25-i8-8+8i-88-8i7-3i-25+i7-3i3-11i行變換列變換變換結(jié)果以列為對象5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)可分離性139921373606682012181422-2+4i-3+7i9-i3-7i-4043-7i-2-4i-3-7i9+i3+7i12181422-2+4i-3+7i9-i3-7i-4043-7i-2-4i-3-7i9+i3+7i66-2+4i-14-2-4i7+3i3+11i7+3i-25-i8-8+8i-88-8i7-3i-25+i7-3i3-11i行變換列變換以行為對象5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)可分離性5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)—時移它表明若在時域f(x)在平移時間t，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位將改變ut。tMM5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)—時移證明5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)—時移5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)—頻移證明：(a)原圖像(b)無平移的傅立葉頻譜(c)平移后的傅立葉頻譜頻譜平移示意圖5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)—頻移頻移性5.3頻域變換的一般表達式傅立葉變換是可分離變換的一個特例，這類變換具有一些共同特點?？煞蛛x變換圖像變換的矩陣形式5.3.1可分離變換

二維傅立葉變換可用通用關(guān)系式表示

g(x,y,u,v),h(x,y,u,v)稱為變換核，如果滿足：

如果g1和g2,h1和h2在形式上一樣，則稱該變換是對稱的。5.3.1可分離變換

二維傅立葉變換是可分離變換，它的核函數(shù)是對稱的。二維傅立葉變換可以利用變換核的可分離性，用兩次一維變換來實現(xiàn)。5.3.2圖像變換的矩陣表示

設f(x,y)為M×N的圖像灰度矩陣，將可分離變換寫成矩陣的形式：式中：F、f－二維M×N的矩陣；P－M×M矩陣；Q－N×N矩陣。圖像變換的矩陣表達式和代數(shù)表達式其本質(zhì)相同，將上式寫成代數(shù)表達式如下：式中：u取0,1,2,…,M－1；v取0,1,2,…,N－1。Q:對f每一行的變換，P：對f每列的變換5.4離散余弦變換（DCT）

離散余弦變換（DiscreteCosineTransform）的變換核為余弦函數(shù)，因其變換核為實數(shù)。

DCT的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號、圖像信號的相關(guān)特征。

近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標準中，均把DCT作為其中的一個基本處理模塊。5.4.1一維離散余弦變換一維DCT的變換核定義為：式中：x,u取0,1,2,…,N－1，且 設{f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號列，則一維DCT定義如下： 式中：u,x取0,1,2,…,N－1

5.4.1一維離散余弦變換將DCT寫成矩陣形式：其中：一維DCT的逆變換IDCT定義為：式中：x,u取0,1,2,…,N－15.4.2二維離散余弦變換將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為：

f(x,y)為M×N的二維離散信號，其二維DCT定義如下：二維DCT逆變換定義如下：5.4.2二維離散余弦變換

DCT頻譜舉例DFT和DCT的頻譜分布比較(a)DFT頻譜分布(b)DCT頻譜分布5.5頻域中圖像處理的實現(xiàn)理解數(shù)字圖像的頻譜圖

頻域圖像處理步驟頻域濾波5.5.1理解數(shù)字圖像的頻譜圖數(shù)字圖像平移后的頻譜中，圖像的能量將集中到頻譜中心（低頻成分），圖像上的邊緣、線條細節(jié)信息（高頻成分）將分散在圖像頻譜的邊緣。頻譜中低頻成分代表了圖像的概貌，高頻成分代表了圖像中的細節(jié)。ft低頻部分：變化緩慢高頻部分：變化快5.5.2頻域圖像處理步驟在頻域中進行圖像處理的步驟如下：（1）計算圖像的DFT，得到F(u,v)；（2）用濾波函數(shù)H(u,v)乘以F(u,v)，得到處理結(jié)果G(u,v)；（3）計算濾波后的IDFT；（4）取IDFT變換結(jié)果中的實部，得到處理后的圖像。H(u,v)稱作濾波器，它具有允許某些頻率成分通過，而阻止其它頻率成分通過的特性。濾波后的圖像可以由IDFT得到：通過H(u,v)對圖像在頻域F(u,v)進行處理：5.5.2頻域圖像處理步驟頻域處理的基本步驟流程圖為：f(x,y)預處理DFT濾波F(u,v)*H(u,v)IDFT后處理g(x,y)5.5.3頻域濾波

低通濾波器。低通濾波器允許低頻成分通過，而抑制高頻成分。因此，它能夠去除圖像中的噪聲，實現(xiàn)圖像平滑操作。5.5.3頻域濾波低通濾波器舉例(c)D0=10(d)D0=30(e)D0=60(f)D0=160(a)原圖像

(b)頻譜圖像5.5.3頻域濾波高通濾波器與低通濾波器相反，高通濾波器則允許高頻成分通過，而抑制低頻成分。因此，它能夠強化圖像中目標的邊緣，起銳化作用。5.5.3頻域濾波

帶通濾波器帶通濾波器允許指定范圍的頻率成分通過，而抑制其它頻率成分。理想帶通濾波器的濾波函數(shù)為：5.5.3頻域濾波帶阻濾波器帶阻濾波器抑制指定范圍的頻率成分，而允許其它頻率成分通過。理想帶阻濾波器的濾波函數(shù)為：5.5.3頻域濾波巴特沃斯濾波器由于理想濾波器存在明顯的“振鈴”現(xiàn)象，且其垂直的頻率響應特性僅能用軟件方法實現(xiàn)，無法用電路實現(xiàn)。因此，研究實用濾波器極具應用價值。一種常用的頻域濾波器是巴特沃斯（Butterworth）濾波器。低通巴特沃斯濾波器高通巴特沃斯濾波器式中:5.5.3頻域濾波巴特沃斯濾波器舉例(a)原始圖像(b)D0=60，n=1的濾波器

(c)低通巴特沃斯濾波效果巴特沃斯濾波器及處理效果5.6小波變換簡介傅里葉變換能夠得到信號的頻率組成，但不知道頻率發(fā)生的時間。如上圖所示，兩個不同的信號，他們的傅里變換是類似的，主頻成分也近似一致。5.6小波變換簡介對于非平穩(wěn)信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現(xiàn)的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。來自：/question/22864189/answer/407720835.6小波變換簡介小波分析的主要優(yōu)點之一就是提供局部分析與細化的能力。

小波分析在時域和頻域都具有良好的局部化特性，這稱為小波變換的“數(shù)學顯微鏡”特征。

與傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)相比，小波分析能在無明顯損失的情況下，對信號進行壓縮和去噪。5.6.1小波變換的理論基礎與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Motherwavelet）的寬度來獲得信號的頻率特