2025屆北京市西城區(qū)第8中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某校高一年級(jí)有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取25名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為（）A．5 B．10 C．15 D．202．某班由50個(gè)編號(hào)為01，02，03，…50的學(xué)生組成，現(xiàn)在要選取8名學(xué)生參加合唱團(tuán)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則該樣本中選出的第8名同學(xué)的編號(hào)為（）495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877047447672176335025839212067649544354827447A．20 B．25 C．26 D．343．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．4．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的取值范圍為()A． B． C． D．5．已知是圓上的三點(diǎn)，（）A． B． C． D．6．如圖，某人在點(diǎn)處測得某塔在南偏西的方向上，塔頂仰角為，此人沿正南方向前進(jìn)30米到達(dá)處，測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高為（）A．20米 B．15米 C．12米 D．10米7．不等式的解集是A． B．C．或 D．8．曲線與曲線的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等9．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040t5070根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程為y=6.5x+17.5，則tA．40 B．50 C．60 D．7010．函數(shù)y=tan（–2x）的定義域是()A．{x|x≠+，k∈Z} B．{x|x≠kπ+，k∈Z}C．{x|x≠+，k∈Z} D．{x|x≠kπ+，k∈Z}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．12．等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，，則首項(xiàng)的取值范圍是____________．13．在四面體A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面體A-BCD的最大體積為，則四面體A-BCD外接球的表面積為________．14．方程的解集是____________.15．若，則__________.16．已知，，若，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面積．18．已知點(diǎn)．（1）求中邊上的高所在直線的方程；（2）求過三點(diǎn)的圓的方程．19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.20．內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.21．如圖1，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，△PAB是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，將△PAB沿AB邊折起，使平面PAB⊥平面ABCD，連接PC、PD，如圖2，（1）證明：AB⊥PC；（2）求PD與平面ABCD所成角的正弦值（3）在線段PD上是否存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MC？若存在，請(qǐng)找出N點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用分層抽樣的定義和方法求解即可.【詳解】設(shè)應(yīng)抽取的女生人數(shù)為，則，解得．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的定義及方法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用隨機(jī)數(shù)表依次選出8名學(xué)生的二位數(shù)的編號(hào)，超出范圍的、重復(fù)的要舍去.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第11列開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，選出來的8名學(xué)生的編號(hào)分別為：17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；∴樣本選出來的第8名同學(xué)的編號(hào)為1．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)數(shù)表法求抽樣編號(hào)的問題，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】試題分析：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長為1，則，，．故選B．考點(diǎn)：異面直線所成的角．【名師點(diǎn)睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點(diǎn)的選取，選取特殊點(diǎn)時(shí)要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點(diǎn)，特別是線段的中點(diǎn)，幾何體的特殊線段．4、A【解析】

的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，根據(jù)不等式表示的可行域，可得出取值范圍.【詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率．畫出如圖的可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，．的取值范圍為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的可行域的畫法，以及目標(biāo)函數(shù)為分式時(shí)求取值范圍的方法.5、C【解析】

先由等式，得出，并計(jì)算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算出的值．【詳解】由于是圓上的三點(diǎn)，，則，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計(jì)算能力，屬于中等題．6、B【解析】

設(shè)塔底為，塔高為，根據(jù)已知條件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.【詳解】設(shè)塔底為，塔高為，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】試題分析：∵，∴，即，∴不等式的解集為．考點(diǎn)：分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．8、D【解析】

首先將后面的曲線化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，分別求兩個(gè)曲線的幾何性質(zhì)，比較后得出選項(xiàng).【詳解】首先化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，，由方程形式可知，曲線的長軸長是8，短軸長是6，焦距是，離心率，，的長軸長是，短軸長是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】分析：由題意，求得這組熟記的樣本中心(x詳解：由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得x=2+4+5+6+85把(x,y)代入回歸直線的方程，得點(diǎn)睛：本題主要考查了回歸分析的初步應(yīng)用，其中熟記回歸直線的基本特征——回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、A【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡解析式，由正切函數(shù)的定義域求出此函數(shù)的定義域．【詳解】由題意得，y=tan（–2x）=–tan（2x–），由2x–（k∈Z）得，x≠+，k∈Z，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠+，k∈Z}，故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的定義域，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)數(shù)列的規(guī)律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項(xiàng)中的第項(xiàng)，則分子為，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的分母為：又的分子為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求解數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)分子的變化特點(diǎn)確定的取值.12、【解析】

由題得，利用即可得解【詳解】由題意知，，可得，又因?yàn)?，所以可求?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13、【解析】

當(dāng)面ABC面與BCD垂直時(shí)，四面體A-BCD的體積最大，根據(jù)最大體積為求出四面體的邊長，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面體A-BCD外接球的球心位于的中點(diǎn)，從而得到半徑，即可求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)面ABC面與BCD垂直時(shí)，四面體A-BCD的體積最大為，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面體A-BCD外接球的球心為的中點(diǎn)，又，解得，，，所以四面體A-BCD外接球的半徑故四面體A-BCD外接球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接圓及相關(guān)計(jì)算，多面體外接圓問題關(guān)鍵在圓心和半徑.14、【解析】

由方程可得或，然后分別解出規(guī)定范圍內(nèi)的解即可.【詳解】因?yàn)樗曰蛴傻没蛞驗(yàn)?，所以由得因?yàn)?，所以綜上：解集是故答案為：【點(diǎn)睛】方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化為或，不要把遺漏了.15、；【解析】

易知的周期為，從而化簡求得.【詳解】的周期為，且，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的周期以及利用周期求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

首先令，分別把解出來，再利用整體換元的思想即可解決．【詳解】令所以令，所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了整體換元的思想以及對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算和公式法解一元二次方程．整體換元的思想是高中的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考常考的內(nèi)容需重點(diǎn)掌握．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2(2)【解析】

（1）在題干等式中利用邊化角思想，結(jié)合兩角和的正弦公式、內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式計(jì)算出，再利用角化邊的思想可得出的比值；（2）由（1）中的結(jié)果，結(jié)合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，最后利用三角形的面積公式求出的面積．【詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，化簡可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因?yàn)?，且所以因此．【點(diǎn)睛】在解三角形的問題時(shí)，要根據(jù)已知元素的類型合理選擇正弦定理與余弦定理解三角形，除此之外，在有邊和角的等式中，優(yōu)先邊化角，利用三角恒等變換思想化簡求解，能起到簡化計(jì)算的作用．18、（1）；（2）【解析】

（1）邊上的高所在直線方程斜率與邊所在直線的方程斜率之積為-1，可求出高所在直線的斜率，代入即可求出高所在直線的方程。（2）設(shè)圓的一般方程為，代入即可求得圓的方程?！驹斀狻浚?）因?yàn)樗谥本€的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為所以邊上的高所在直線的方程為，即（2）設(shè)所求圓的方程為因?yàn)樵谒蟮膱A上，故有所以所求圓的方程為【點(diǎn)睛】（1）求直線方程一般通過直線點(diǎn)斜式方程求解，即知道點(diǎn)和斜率。（2）圓的一般方程為，三個(gè)未知數(shù)三個(gè)點(diǎn)代入即可。19、（1）或；（2）當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?時(shí)的值域?yàn)?【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據(jù)，且，建立方程組求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，結(jié)合向量與向量共線，常數(shù)，建立的表達(dá)式，代入，對(duì)分類討論，綜合三角函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出值域.詳解：（1），∵，且，∴，，解得，時(shí)，；時(shí)，.∴向量或.（2），∵向量與向量共線，常數(shù)，∴，∴.①當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最小值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最小值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?綜上所述，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?時(shí)的值域?yàn)?點(diǎn)睛：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直和共線的定理、模的計(jì)算、三角函數(shù)的值域等問題，考查了分類討論方法、推理與計(jì)算能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）應(yīng)用正弦的二倍角公式結(jié)合正弦定理可得，從而得．（2）用余弦定理求得，再由三角形面積公式可得三角形面積．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理，因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，，，由余弦定理得，解得或，均適合題.當(dāng)時(shí)，的面積為.當(dāng)時(shí)，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面積公式．三角形中可用公式很多，關(guān)鍵是確定先用哪個(gè)公式，再用哪個(gè)公式，象本題第（2）小題選用余弦定理求出，然后可直接求出三角形面積，解法簡捷．21、(1)證明見解析(2)．(3)存在，PN．【解析】

（1）只需證明AB⊥面PMC，即可證明AB⊥PC；（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM為PD與平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD與平面ABCD所成角的正弦值．（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，可得PB∥NE，．即可．【詳解】（1）證明：∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴PM⊥AB．∵ABCD為菱形，∠ABC＝60°．∴