2019年北京市西城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第一8題均有四個(gè)選

項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.（3分）實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,

這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最小的是（）

abcd

—*-----------?!------------

-3-2-101234

A.aB.bC.cD.d

2.（3分）京津冀一體化是由京津唐工業(yè)基地的概念發(fā)展而來(lái)，

涉及到的人口總數(shù)約為90000000人.將90000000用科學(xué)記

數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.9X108B.9X107C.90X106D.9X106

3.（3分）如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（）

OD

□

A.棱柱“B.圓錐C.球D.圓柱

4.（3分）如圖，直線1,7/12,若Nl=70°,Z2=60°,則N3

A.40°B.50°C.60°D.70°

5.（3分）一個(gè)試驗(yàn)室在0：00-4：00的溫度T（單位：℃）與

時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，在0：00-2：

00保持恒溫，在2：00-4：00勻速升溫，則開(kāi)始升溫后試驗(yàn)室

A.5℃B.10℃C.20℃D.40℃

6.（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中的“折竹

抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問(wèn)折者高幾

何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈二10尺），一陣風(fēng)將竹

子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處

離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方

程為（）

A.x2-3-（10-x）2B.x2-32=（10-x）2C.x2+3-（10-x）

2D.X2+32=（10-x）2

7.（3分）小軍為了解同學(xué)們的課余生活，設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問(wèn)

卷（不完整）：

調(diào)查問(wèn)卷年月

林平時(shí)轟喜歡的一項(xiàng)課余活動(dòng)是（）（單選）

CA）（B）（C）（D）其他

他準(zhǔn)備在“①看課外書(shū)，②體育活動(dòng)，③看電■視，④踢足球,

⑤看小說(shuō)”中選取三個(gè)作為該問(wèn)題的備選答案，選取合理的是

（）

A.①②③B.①④⑤C.②③④D.②④⑤

8.（3分）如圖，廣場(chǎng)中心的菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)是40米，Z

A=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.5米B.5盛米C.10米D.10仃米

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）使分式上有意義的x的取值范圍是

10.（2分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AB3.（填

11.（3分）分解因式：3nl2-6m+3=.

12.（3分）某水果公司購(gòu)進(jìn)10000kg蘋(píng)果，公司想知道蘋(píng)果的

損壞率，從所有蘋(píng)果中隨機(jī)抽取若干進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分結(jié)果如下表:

蘋(píng)果總質(zhì)量n(kg)1002003004005001000

損壞蘋(píng)果質(zhì)量m(kg)10.519.430.639.249.5101.

0234410

蘋(píng)果損壞的頻率n叫（結(jié)0.100.090.100.090.090.10

果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）|5|7|289|1

估計(jì)這批蘋(píng)果損壞的概率為（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位），

損壞的蘋(píng)果約有kg.

13.（3分）如圖，。0是4ABC的外接圓，ZACO-450,則NB

的度數(shù)為

14.（3分）某同學(xué)看了下面的統(tǒng)計(jì)圖說(shuō)：“這幅圖顯示，從2015

年到2016年A市常住人口大幅增加.”你認(rèn)為這位同學(xué)的說(shuō)法是

否合理？答：（填“合理”或“不合理”），你的理由

是.

A市常住人口統(tǒng)計(jì)圖

15.（3分）如圖，圖中的四邊形都是矩形，根據(jù)圖形，寫(xiě)出一

個(gè)正確的等式：

16.（3分）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：

尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線.

已知：線段AB.

求作：線段AB的垂直平分線.，

小紅的作法如下：

如圖，①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于寺AB的長(zhǎng)為半徑作弧，

兩弧相交于點(diǎn)C；

②再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于寺AB的長(zhǎng)為半徑（不同于①

中的半徑）作弧，兩弧相交于點(diǎn)D,使點(diǎn)D與點(diǎn)C在直線AB的

同側(cè)；

③作直線CD.

所以直線CD就是所求作的垂直平分線.

,老師說(shuō)：“小紅的作法正確

請(qǐng)回答：小紅的作圖依據(jù)是

*c

%

圖1E2

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分,第23-26

題，每小題5分，第27,28題，每小題5分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字

說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.（5分）計(jì)算：4sin60°+|-Vs|-727+（3-兀）°.

’3（x-l）＜x+l

18.（5分）解不等式組：］x-3、，

19.（5分）下面是“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的尺規(guī)

作圖過(guò)程.

已知：直線/及直線/外一點(diǎn)R

求作：直線尸0,使得國(guó)，/,垂足為0.

作法：如圖，

p?

①在直線/上任取一點(diǎn)力；

②以點(diǎn)〃為圓心，以為半徑作圓，交直線/于點(diǎn)夕；

③分別以點(diǎn)4人為圓心，大于與46的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相

交于點(diǎn)C;

④連接先交直線/于點(diǎn)Q.

則直線制就是所求作的垂線.

根據(jù)上述尺規(guī)作圖過(guò)程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：'：PA=,AC=,

：.PQL1.()(填推理的依據(jù))

20.(5分)關(guān)于x的一元二次方程*+(勿-3)x-3/=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的勿的

值，并求此時(shí)方程的根.

21.(5分)如圖，口力用力中，E,分分別是邊夕G力。的中點(diǎn)，

NBAC=90°.

(1)求證：四邊形力叱是菱形;

(2)若夕。=4,N夕=60°,求四邊形/瓦/的面積.

22.(5分)如圖，Rt△力回中，N4％=90。，點(diǎn)〃在力。邊上,

以力〃為直徑作。。交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)后CE=BC.

(1)求證：B是。。的切線；

(2)若CD=2,BD=2近,求。。的半徑.

B

23.(6分)如圖，等邊△力回的邊長(zhǎng)為3c勿，點(diǎn)N在力。邊上，

AN=1cm.△力夕。邊上的動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)A出發(fā)，沿力一打一。運(yùn)動(dòng),

到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的路程為xc勿，腑的長(zhǎng)為ycm.小

西根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化

的規(guī)律進(jìn)行了探究.

F面是小西的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

“y/cm

3

0123456x/cm

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng)仞-2c勿時(shí)，點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的

路程為cm.

r

24.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線hy=kx

-1（AWO）與函數(shù)（x>0）的圖象交于點(diǎn)力（3,2）.

（1）求A,m的值；

（2）將直線/沿y軸向上平移方個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)心

與函數(shù)y=T（x>0）的圖象交于點(diǎn)。

①當(dāng)方=2時(shí)，求線段⑦的長(zhǎng)；

②若加忘旌2&,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出方的取值范圍.

25.（6分）為了激發(fā)學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)

校開(kāi)展“魅力數(shù)學(xué)”趣味競(jìng)賽.現(xiàn)隨機(jī)抽取40名參賽學(xué)生的

成績(jī)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部

分信息.

a.競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成4組：60Wx<

70,70<x<80,80<x<90,90<x<100）：

b.競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0Wx<90這一組的是：

828384848585858687888889

平均數(shù)中位數(shù)

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出表中"的值；

(2)小亮說(shuō)：“這次競(jìng)賽我得了84分，在所有參賽學(xué)生中排

名屬中游略偏上！”小亮的說(shuō)法(填“正確”或“不正

確”)，理由是；

(3)若成績(jī)不低于85分可以進(jìn)入決賽，請(qǐng)估計(jì)參賽的200名

學(xué)生中能進(jìn)入決賽的人數(shù).

趣數(shù)

(學(xué)生人政)

20

15

10

60708090100成紈

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax-2ax-

3a(aWO)的頂點(diǎn)為〃與x軸交于4人兩點(diǎn)(/在人的左

側(cè)).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求點(diǎn)力，B,。的坐標(biāo)；

(2)橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)4B

之間的部分與線段力夕所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有7個(gè)

整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

27.(7分)如圖，在△力回中，AB=BC,N夕=90°，點(diǎn)〃為線

段以上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)打，。重合)，連接力〃將線段力〃

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段瓦；連接

(1)①依題意補(bǔ)全圖1；

②求證：/EDC=/BAD；

(2)①小方通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，線段B與龍的數(shù)量關(guān)系始終不變，用等式表示

為：;

②小方把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明

該猜想的幾種想法：

想法1：過(guò)點(diǎn)￡作小為。，交加延長(zhǎng)線于點(diǎn)幾只需證△力施

經(jīng)叢DEF.

想法2：在線段力夕上取一點(diǎn)幾使得郎上加，連接外；只需

證△物經(jīng)△%C

想法3：延長(zhǎng)力夕到凡使得班三或，連接加；CF,只需證四

邊形"談為平行四邊形.

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小方證明①中的猜想.(一種方法

即可)

28.(7分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x分中的點(diǎn)〃和。M半徑為r),

給出如下定義：若點(diǎn)〃關(guān)于點(diǎn)〃的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,且r^PQ^Zr,

則稱(chēng)點(diǎn)〃為的稱(chēng)心點(diǎn).

。1i

備用圖

(1)當(dāng)。。的半徑為2時(shí)，

①如圖1,在點(diǎn)A(0,1),B(2,0),C(3,4)中，。。

的稱(chēng)心點(diǎn)是；

②如圖2,點(diǎn)。在直線上，若點(diǎn)。是。。的稱(chēng)心點(diǎn)，求

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

(2)。7的圓心為7(0,力，半徑為2,直線y=^x+l與x

O

軸，y軸分別交于點(diǎn)后F.若線段環(huán)上的所有點(diǎn)都是07的稱(chēng)

心點(diǎn)，直接寫(xiě)出方的取值范圍.

2019年北京市西城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第一8題均有四個(gè)選

項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.

【解答】解：由圖可知：c到原點(diǎn)0的距離最短，

所以在這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是c.

故選：C.

2.

【解答】解：90000000=9X107,

故選：B.

3.

【解答】解：根據(jù)俯視圖和左視圖為矩形是柱體，根據(jù)主視圖是

圓形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓柱.

故選：D.

4.

【解答】解：???直線1412,

.?.Z4=Z1=7O°，

.*.Z3=180o-Z2-Z4=50°，

5.

【解答】解：由函數(shù)圖象知t=2時(shí)，溫度T=20℃,當(dāng)t=4時(shí),

溫度T-40℃,

???開(kāi)始升溫后試驗(yàn)室每小時(shí)升高的溫度為等=10(℃),

故選：B.

6.

【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10-x)尺,

根據(jù)勾股定理得：X2+32=(10-X)2.

故選：D.

7.

【解答】解：?.?看課外書(shū)包含看小說(shuō)，體育活動(dòng)包含踢足球,

二?④⑤的選項(xiàng)重復(fù)，

故選取合理的是①②③.

故選：A.

8.

【解答】解：如圖，連接AC、BD,AC與BD交于點(diǎn)0,

?菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)是40米，ZBAD=60°,

.*.AC±BD,AC=20A,ZCAD=|ZBAD=30°,AD=10米，

二.OA二AD?cos30°=10X^=5V3（米），

.,.AC=20A=10?米.

故選：D.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）使分式上有意義的x的取值范圍是xW3.

【分析】根據(jù)分式有意義，分母不為零列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：分式有意義，則X-3W0,

解得xW3.

故答案為：xW3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0.

10.（2分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，力夕＜3.（填

>=”或）

【分析】根據(jù)勾股定理求出力打，比較大小，即可得到答案.

【解答】解：一=解答22=2a,

2a<3,

：.AB<3,

故答案為：<.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角

邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么，+52=4

11.

【解答】解：3m2-6m+3

=3(m2-2m+l)

=3(m-1)2.

故答案為：3(m-1)2.

12.

【解答】解：根據(jù)表中的損壞的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多時(shí)，蘋(píng)

果損壞的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.1左右，所以可估計(jì)蘋(píng)果損壞率大

約是0.1;

根據(jù)題意得：

10000X0.1=1000(kg)

答：損壞的蘋(píng)果約有1000kg.

故答案為：0.1,1000.

13.

【解答】解：連接0A,如圖,

VZAC0=45°,0A=0C,

ZJAC0=ZCA0=45°,

ZA0C=90°,

ZB=45°.

故答案為：45°

14.

【解答】解：這位同學(xué)的說(shuō)法合理，

理由：由函數(shù)圖象可知函數(shù)圖象上升的比較陡，從而可知從2015

年到2016年A市常住人口大幅增加，

故答案為：由函數(shù)圖象可知函數(shù)圖象上升的比較陡，從而可知從

2015年到2016年A市常住人口大幅增加.

15.

【解答】解：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab；

故答案：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab（答案不唯一）.

16.

【解答】解：如圖，\?由作圖可知，AC=BC=AD=BD,

???直線CD就是線段AB的垂直平分線.

故答案為：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分

線上；兩點(diǎn)確定一條直線.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26

題，每小題5分，第27,28題，每小題5分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字

說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.（5分）計(jì)算：4sin60°+|-V3-727+（3-兀）°.

【分析】因?yàn)閟in60°=pI-/3|=V3,折=3?,（3-兀）

°=1，分別代入化簡(jiǎn)即可.

【解答】解:原式=4義爭(zhēng)3盛+1=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握特殊的三角函數(shù)值，

二次根式的化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

’3(x-l)<x+l

18.(5分)解不等式組：x-3..

【分析】先分別求出不等式的解，然后求其交集即可.

‘3(x-l)<x+l①

【解答】解：，X-3、

”2—

解不等式①，得x<2,

解不等式②，得xN-,

???原不等式組的解集為-5<x<2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，要遵循以下原則：

同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

19.(5分)下面是“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的尺規(guī)

作圖過(guò)程.

已知：直線/及直線/外一點(diǎn)R

求作：直線網(wǎng)，使得垂足為0.

作法：如圖，

①在直線/上任取一點(diǎn)小

②以點(diǎn)〃為圓心，⑸為半徑作圓，交直線/于點(diǎn)夕；

③分別以點(diǎn)4人為圓心，大于專(zhuān)仿的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相

交于點(diǎn)C；

④連接先交直線,于點(diǎn)a

則直線制就是所求作的垂線.

根據(jù)上述尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：'：PA=PB,AC=BC,

???PQL1.（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分

線上）（填推理的依據(jù)）

【分析】按要求畫(huà)出圖形，根據(jù)畫(huà)圖操作的過(guò)程，可知以，PB

都是半徑，AC=BC.

【解答】解：（1）如圖：

（2）'：PA=PB,AC=BC,

：,PQLL（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線

上）.

故答案為必,BC,到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平

分線上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，垂直的性質(zhì).能夠根

據(jù)給出條件作出圖形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

20.（5分）關(guān)于x的一元二次方程*+（勿-3）x-3/27=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的力的

值，并求此時(shí)方程的根.

【分析】(1)先求出判別式△的值，再根據(jù)的意義證

明即可；

(2)根據(jù)求根公式得出苞=3,也=-勿，即可求出力的值和方

程的根.

【解答】(1)證明：△=(勿-3)2-4XlX(-3加，

=石-6研9+12/，

=(加3)2,

無(wú)論勿取任何實(shí)數(shù)，(研3),NO,即△》()，

二.原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)解：???△=(M3)2,由求根公式，得

__(._3)+4向+3)??(m+3)&

x[=2><1'x2=2><1，

原方程的根為：豆=3,苞=-勿，

?.?方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，

...取/=1,方程的兩根為荀=3,在=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求根公式和根的判別式的應(yīng)用，能正確運(yùn)

用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

21.(5分)如圖，口力用力中，E,分分別是邊比；力〃的中點(diǎn)，

/BAC=9U°.

(1)求證：四邊形力叱是菱形；

(2)若&'=4,N夕=60°,求四邊形力的面積.

A

BEC

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到夕。=”，BC//AD,由總方

分別是邊人。，4?的中點(diǎn)，得到AF=\AD,于是得到

結(jié)論；

(2)如圖，連接箝交力。于點(diǎn)。，解直角三角形得到力方=2,

AC=2后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到力d/OA=OC,OE=OF,根

據(jù)菱形的性質(zhì)得到?！?宏超=1,于是得到結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?在口力夕⑦中，

：.BC=AD,BC//AD,

又,：E,尸分別是邊夕C,力。的中點(diǎn)，

:.EC=\BC,AF=\AD,

：.EC//AF,

...四邊形力叱為平行四邊形.

在Rt△力回中，N=90。,￡是以邊中點(diǎn)，

：.AE=EC,

??.四邊形/叱是菱形；

(2)如圖，連接/交力。于點(diǎn)。，

B

在Rt△力歐中，ZBAC=90°,N夕=60。,BC=4,

:?AB=2,AC=2V3,

?.?四邊形/叱是菱形，

：.ACLEF,OA=OC,OE=OF,

:?〃是△力回的中位線，

：.OE=^AB=1,

:.EF=2,

，S菱形AECF=%AC?EF=%X2aX2=2M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，平

行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

22.(5分)如圖，Rt△/回中，N4％=90。，點(diǎn)。在力「邊上,

以力〃為直徑作。。交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)丹CE=BC.

(1)求證：〃是。。的切線；

(2)若CD=2,BD=2辰,求。。的半徑.

【分析】(1)連接小，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N1=N2,

Z3=Z4,由Nl+N5=90°得到N2+N3=90°,得NOEC=

90°,于是得到結(jié)論；

(2)設(shè)。。的半徑為7，則OD=OE=r,%=戶2,由您+冢

=比得到關(guān)于z的方程，即可求出半徑.

【解答】解：(1)如圖，連接死；

B

、--/

TN43=90°,

.,.Zl+Z5=90°.

,?CE=BC,

/.Z1=Z2.

'：OE=OD,

.?.Z3=Z4.

又?.?N4=N5,

.*.Z3=Z5,

.*.Z2+Z3=90°,即N碑C=90°,

：.OELCE.

?.?布是。。的半徑，

???"是。。的切線.

(2)在Rt△夕⑦中，N〃％=90°,⑦=2,BD=2炳,

BC=CE=4.

設(shè)。。的半徑為r,則OD=OE=r,OC=戶2,

在Rt△窗。中，N爾;=90°,

0隊(duì)也=0已

.-.r+42=S)2,

解得z=3,

???。。的半徑為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理，掌握切線的判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

23.(6分)如圖，等邊△力回的邊長(zhǎng)為3c勿，點(diǎn)N在力。邊上，

AN=1cm.△力夕。邊上的動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)A出發(fā)，沿力一打一。運(yùn)動(dòng),

到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的路程為xc勿，腑的長(zhǎng)為ycm.小

西根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化

的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小西的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

0123456/m

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng)仞-2c勿時(shí)，點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的

路程為2.3或4或6cm.

【分析】(1)觀察表格中的數(shù)據(jù)可得出答案；

(2)利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可；

(3)利用圖象尋找圖象與直線y=2交點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

【解答】解：本題答案不唯一，如：

(3)觀察圖象可得當(dāng)MN=2cm時(shí)，點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的路程為2.3cm

或4c7或6cm.

故答案為：2.3或4或6.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，等邊三角形的性質(zhì)、描點(diǎn)法

畫(huà)函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的性質(zhì)以及應(yīng)用等知識(shí)；理解函數(shù)圖象

的意義，正確運(yùn)用圖象法解題是關(guān)鍵.

24.(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1：y=kx

-1(AWO)與函數(shù)(x>0)的圖象交于點(diǎn)力(3,2).

(1)求A,m的值；

(2)將直線/沿y軸向上平移方個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)

與函數(shù)y=T(x>0)的圖象交于點(diǎn)。

①當(dāng)方=2時(shí)，求線段切的長(zhǎng)；

②若eWOW2正，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出方的取值范圍.

【分析】(1)將點(diǎn)力分別代入y=Ax-1(AWO)與函數(shù)y=號(hào),

即可求出左、力的值；

(2)①求出當(dāng)方=2時(shí)直線解析式，代入函數(shù)尸子中，整理得,

x(x+l)=6,解方程求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出⑦的長(zhǎng)；②

觀察圖象解答即可.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(3,2)的坐標(biāo)分別代入y=kx-1

和y=T中，得

2=3^-1,2哼

:.k=2,勿=3義2=6；

⑵①?..直線尸Ax-1與y軸交于點(diǎn)。（0,-1）,

?,.當(dāng)t=2時(shí)，C（0,1）.

此時(shí)直線解析式為y=x+l,代入函數(shù)一中，整理得，x（x+l）

=6,

解得豆=-3（舍去），蒞=2,

：.D（2,3）,

:.CD=2版.

②當(dāng)CD=正時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,6）,

??.2WtW6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定

系數(shù)法求解析式，利用函數(shù)圖象性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

25.（6分）為了激發(fā)學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)

校開(kāi)展“魅力數(shù)學(xué)”趣味競(jìng)賽.現(xiàn)隨機(jī)抽取40名參賽學(xué)生的

成績(jī)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部

分信息.

a.競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成4組：60<x<

70,70<x<80,80<x<90,90<x<100）：

b.競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0<x<90這一組的是：

828384848585858687888889

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

81.6m94

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出表中勿的值；

(2)小亮說(shuō)：“這次競(jìng)賽我得了84分，在所有參賽學(xué)生中排

名屬中游略偏上！”小亮的說(shuō)法正確(填“正確”或“不

正確”)，理由是小亮得了84分，略高于競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)

據(jù)的中位數(shù)82；

(3)若成績(jī)不低于85分可以進(jìn)入決賽，請(qǐng)估計(jì)參賽的200名

學(xué)生中能進(jìn)入決賽的人數(shù).

【分析】(1)這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(2)小亮得了84分，略高于競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)82,

說(shuō)明小亮的成績(jī)排名屬中游略偏上.

(3)根據(jù)競(jìng)賽成績(jī)不低于8(5分)的人數(shù)為17,即可估計(jì)參

賽的200名學(xué)生中能進(jìn)入決賽的人數(shù).

【解答】解：(1)40名參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)為排序后的

第20和21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即/=絲箸=82.5.

(2)小亮的說(shuō)法正確；

理由是小亮得了84分,略高于競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)82,

說(shuō)明小亮的成績(jī)排名屬中游略偏上.

故答案為：正確，小亮得了84分，略高于競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)

的中位數(shù)82；

(3)在樣本中，成績(jī)?cè)?5Wx<90,90WxW100范圍內(nèi)的人

數(shù)分別為8,9,

所以競(jìng)賽成績(jī)不低于8(5分)的人數(shù)為17.

估計(jì)參賽的200名學(xué)生中能進(jìn)入決賽的人數(shù)為看X200=85.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計(jì)總

體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得出解題所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定

義和意義、樣本估計(jì)總體思想的運(yùn)用.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系攻r中，拋物線尸a*-2ax-

3a(aWO)的頂點(diǎn)為〃與x軸交于4人兩點(diǎn)(/在人的左

側(cè)).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求點(diǎn)力，B,。的坐標(biāo)；

(2)橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)4B

之間的部分與線段力夕所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有7個(gè)

整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

【分析】(1)將函數(shù)解析式進(jìn)行因式分解尸a1-2ax-3a=

a(x+1)(x-3),即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)分兩種情況a>0和a<0討論，結(jié)合圖象確定有7個(gè)整

數(shù)點(diǎn)時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍.

【解答】解：(1)''y=ax-2ax-3a=a(x+1)(x-3),

：.D(1,-4),力(-1,0),6(3,0),

(2)如圖，當(dāng)a>0時(shí)，

①當(dāng)a=l時(shí)，拋物線在點(diǎn)4人之間的部分與線段力夕所圍成

的區(qū)域內(nèi)恰有7個(gè)整點(diǎn).

②(3=1■時(shí)，拋物線在點(diǎn)4人之間的部分與線段力夕所圍成的區(qū)

域內(nèi)有6個(gè)整點(diǎn).

結(jié)合函數(shù)圖象可得，

當(dāng)a<0時(shí)，同理可得-IWaV-日，

的取值范圍或-l<a<-1,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)上點(diǎn)的特征.分類(lèi)討論a的情況，

數(shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵.

27.(7分)如圖，在△力■中，AB=BC,N夕=90°，點(diǎn)〃為線

段加上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8。重合)，連接力〃將線段加

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段場(chǎng)；連接

(1)①依題意補(bǔ)全圖1；

②求證：/EDC=/BAD；

(2)①小方通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，線段四與龍的數(shù)量關(guān)系始終不變，用等式表示為：CE

=42BD；

②小方把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明

該猜想的幾種想法：

想法1：過(guò)點(diǎn)￡作"工比；交正延長(zhǎng)線于點(diǎn)幾只需證△力施

空ADEF.

想法2：在線段力夕上取一點(diǎn)幾使得孫上龍，連接加；只需

證△物經(jīng)△%C

想法3：延長(zhǎng)力夕到凡使得第=或，連接加；CF,只需證四

邊形"談為平行四邊形.

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小方證明①中的猜想.（一種方法

即可）

【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形即可；

②由角的關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）①CE=?BD；

②想法1：過(guò)點(diǎn)￡作夕讓勿，交夕。延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡證明△力施

經(jīng)4DEF,得出力夕=BD=EF,證出CF=BD=EF,得出△的

是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；

想法2：在線段四上取一點(diǎn)總使得孫三龍，連接外；證出

AF=DC,證明△力叫Z△應(yīng)C得出B=如=^^劭即可；

想法3：延長(zhǎng)力打到總使得BF=BD,連接加；CF,證明△力或

空叢CBF,得出AD=CF,ZBAD=ZBCF,再證明四邊形DFCE

為平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】（1）①解：補(bǔ)全的圖形如圖1所示；

②證明：,:/ADE=/B=90°,

ZEDC-vZADB=ABADyAADB=900,

AEDC=/BAD；

(2)①解：猜想：CE=42BD-,

故答案為：CE=y[zBD-,

②想法1：

證明：過(guò)點(diǎn)月作比1夕。，交正延長(zhǎng)線于點(diǎn)E如圖2所示：

.?.”=90°,

fZB=ZF

在△力龐和△郎中，，NBAD=NEDC,

,AD=DE

:.4ADB經(jīng)4DEF(AAS),

：.AB=DF,BD=EF,

*：AB=BC,

：.DF=BC,

即DOCF=BD^DC,

：.CF=BD=EF,

..?△。戶是等腰直角三角形，

CE=『iCF=『iBD；

想法2：

證明：在線段四上取一點(diǎn)凡使得第=或，連接加；如圖3

所示：

TN夕=90°,AB=BC,

：.DF=42BD,

'：AB=BC,BF=BD,

：.AB-BF=BC-BD,

即AF=DC,

'AF=DC

在△力勿和△龐「中，，/BAD=NEDC,

AD=DE

二.△力加絲△龐。(必S),

CE=DF=y[2BD-,

想法3

證明：延長(zhǎng)力打到凡使得第=劭，連接在，CF,如圖4所示:

TN夕=90°,：.DF=42BD,

rAB=BC

在Rt△力龍和Rt△吸中，，ZABD=ZCBF=90°,

BD=BF

:.△ABMACBF(SAS),

：.AD=CF,ZBAD=ZBCF,

'：AD=DE,

：.DE=CF.

,：ZEDC=/BAD,

：.ZEDC=ZBCF,

：.DE//CF,

??.四邊形"還為平行四邊形,

CE=DF=42BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與

性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，通過(guò)作

輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

28.（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x分中的點(diǎn)〃和。M半徑為r）,

給出如下定義：若點(diǎn)〃關(guān)于點(diǎn)〃的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,且rWPgBr,

則稱(chēng)點(diǎn)〃為的稱(chēng)心點(diǎn).

。1i

備用圖

(1)當(dāng)。。的半徑為2時(shí)，

①如圖1,在點(diǎn)A(0,1),夕(2,0),C