第三章圓錐曲線的方程

3.1橢圓...................................................................-1-

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程..................................................-1-

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)..............................................-12-

第1課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)......................................-12-

第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用.............................-23-

3.2雙曲線................................................................-35-

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................-35-

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)............................................-46-

3.3拋物線................................................................-60-

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................-60-

3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)............................................-70-

章末復(fù)習(xí)...................................................................-82-

3.1橢圓

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓焦點(diǎn)

1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)）

三角形的有關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)

2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

方程.（重點(diǎn)）

2.借助軌跡方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生

3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用

的邏輯推理及直觀想象的核心素

標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）

養(yǎng).

情景趣味導(dǎo)學(xué)情景導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學(xué)助教

2008年9月25日21時(shí)10分，“神舟七號(hào)”載人飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多人飛

行和出艙活動(dòng)，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階.請(qǐng)問(wèn)，“神舟七號(hào)”飛

船的運(yùn)行軌道是什么？

下面請(qǐng)你固定兩個(gè)圖釘，拉一根無(wú)彈性的細(xì)繩，兩端系在圖釘上（如圖），用鉛

筆抵住細(xì)繩并上下左右轉(zhuǎn)動(dòng)，看鉛筆留的軌跡是否是橢圓？

「三新知初探「

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,尸2的距離的和等于常數(shù)(大于IRBI)的點(diǎn)的軌跡叫做

橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的二

生稱為半焦距.

思考：(1)橢圓定義中將“大于陰尸2|”改為“等于尸1尸2|”的常數(shù)，其他條件不

變，點(diǎn)的軌跡是什么？

(2)橢圓定義中將“大于四尸2|”改為“小于|尸1園”的常數(shù)，其他條件不變，動(dòng)

點(diǎn)的軌跡是什么？

［提示］(1)點(diǎn)的軌跡是線段巧尸2.

(2)當(dāng)距離之和小于歐1放|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

o2

標(biāo)準(zhǔn)方程}+%=1(。泌＞0)%+各=1(。＞匕＞0)

焦點(diǎn)(―c,0)與(c,o)(0,—c)與(0,c)

a,b,c的關(guān)

c1=a2—b2

系

初試身

1.思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.()

(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是Fi,Fi,P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)RP到。，使

得|PQ=|PBI，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為圓.()

⑶方程攝+3=1(。＞0,心0)表示的曲線是橢圓.()

［提示］(1)X(2)V(3)X

v-22

2.設(shè)P是橢圓石+汽=1上的點(diǎn)，若仍是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，貝1"￡|+|「理

等于()

A.4B.5

C.8D.10

D［由橢圓方程知/=25,則a=5,|PFI|4-|PF2|=2?=10.］

3.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為Fi(0,-8),五2(0,8),且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦

點(diǎn)的距離之和為20,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

ABJ上=1

A，100十361400十3361

2222

CW0+36=1D.蘇+若=1

C［由條件知，焦點(diǎn)在y軸上，且a=10,c=8,

所以b2=a2—c2=36,

29

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為高+妥=1.］

1UUJ。

4.方程%+士=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

aa十6

(-6,—2)U(3,+°°)［由/＞。+6＞0得。＞3或一6VaV—2.］

―出映蟹卷合作探究。釋疑睚生杜燃邈…

寸型］求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例11求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為門(一4,0),F2(4,0),并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的

距離的和等于10；

(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3&)；

(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,一也)，(一1,書目.

［解］(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=4,2a=10,所以a=5,h=-\la2—c2=

______92

^/25-16=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+1=1.

(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

法一：由橢圓的定義知2〃=其(4-0)2+(36+2)2+1(4-0)2+(3啦-2)2=12,

解得〃=6.又c=2,所以h=yla1—c2=4y/2.

29

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為+a=l.

法二：因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)(4,3的，所以亭+猾=1.

又(?=/—濟(jì)=4,可解得層=36,序=32.

29

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

Jo32

X2V2

(3)法一：若焦點(diǎn)在尢軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為金=1(〃>〃>0),由已知

/=8,

條件得，

1.14?b2=4.

了十福T，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+?=1.

O4

2y2

若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+蘇=l(a>b>0).

則/v/?2,與〃>〃>0矛盾，舍去.

?2

綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+5=1.

O4

法二：設(shè)橢圓的一般方程為A?+B)2=l(A>0,B>0,AWB).分別將兩點(diǎn)的

UA+2B=\,

坐標(biāo)(2,一&),一1,乎代入橢圓的一般方程，得,14

解得，

B=］，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+9=1.

o4

1......規(guī)律c方法........................

用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在X軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)

坐標(biāo)軸都有可能.

7292

(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程方+卓=1(46>0)或5+/=1(4。>0)或整

式形式加好+町^二l(m>0,n>Q,m^n).

(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a,b,c(或〃z,用的方程組.

(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.求與橢圓會(huì)+卷=1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,正)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

r2v2

［解］法一：因?yàn)樗髾E圓與橢圓石十方=1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在X軸

上，且<?=25—9=16.

?2

設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+$=1(。>人>0).

因?yàn)?=16,且02=。2—廬，故。2一$=］6①.

又點(diǎn)(3,，記)在所求橢圓上，所以*伊=1,

915

即”+后=1②.

22

由①②得/=36,〃=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為短+去=1.

法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=止7=1.

ZD?Z/十4

又楠圓過(guò)點(diǎn)(3,V15),將x=3,)，=行代入方程得/7+忌=1,解得X

Zj十/IVIA

=11或入=一21(舍去).

72

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為基+去=1.

3620

1送型"橢圓中的焦點(diǎn)三角形

92

【例2】(1)已知橢圓言+方=1的左焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)是正2,點(diǎn)P在橢圓

上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PR|：『尸2|=()

A.3：5B.3：4

C.5：3D.4：3

(2)已知橢圓卷+《=1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，R,尸2是橢圓的焦點(diǎn)，且NPFE

=120°,則△PFiB的面積為.

[思路探究](1)借助的中點(diǎn)在y軸上，且O為尸產(chǎn)2的中點(diǎn)，所以

軸，再用定義和勾股定理解決.

(2)利用橢圓的定義和余弦定理，建立關(guān)于|PR|,|尸冏的方程，通過(guò)解方程求

解.

(1)C⑵呼[(1)依題意知，線段的中點(diǎn)在y軸上，又原點(diǎn)為QB的

中點(diǎn)，易得y軸〃PB,所以PP2_1_X軸，則有上川2一|尸尸2|2=4，=16,又根據(jù)橢圓

定義知|PK|+|PB|=8,所以|PFi|一|P3|=2,

從而|P尸i|=5,|P尸2|=3,即|PB|：\PFi\=5：3.

(2)由，+事=1,可知a=2,b=事,所以c=.屋—、=],從而尸]772]=2C=

2.

在APF1F2中，由余弦定理得IPEFqpRF+iFigF-ZIPniinFzIcosNPFiB,

即IPBFEPRF+d+ziPEi.①

由橢圓定義得|PB|十|Pb2|=2a=4.②

由①②聯(lián)立可得|PR|=3.

所以SAPFIFT師尸圖sin/P/M2=；X,X2X^=￥.]

廠......規(guī)律C方法........................

橢圓定義在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用技巧

⑴橢圓的定義具有雙向作用，即若|MEi|+|MF2|=2a(2a>|FiF2|),則點(diǎn)M的軌

跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.

(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí),可把|PR|,|Pg|看作一個(gè)整體,運(yùn)用|PB『+|尸尸2『

=(|PF|I+|P@|)2—21PBHPF2|及余弦定理求出IPF11-,而無(wú)需單獨(dú)求解.

［母題探究］

1.本例(2)中,把“NP尸1^2=120。"改為"NP尸1后=90°”，求△APB的面

積.

?2

［解］由橢圓方程彳+餐=1,知a=2,c=1,由橢圓定義，得IPEil+lPBkZa

=4,且71人|=2,在△PBB中，ZPFIF2=90°.

222

.,.|PF2|=|PFI|+|FIF2|.

從而(4一|Pn|)2=|PBF+4,

3

則|PR|=2,

因此S.FTPF2Hp碎=1.

3

故所求△2小］F2的面積為了

2.本例⑵中方程改為:+營(yíng)=1(。＞方＞0),且“NPFIF2=120。”改為

“/尸1尸尸2=120。"，若APF1F2的面積為小，求匕的值.

［解］由NFIPF2=120°,△PBF2的面積為小，可得；|PFMP尸2卜sinNFiP/^n

坐IPRHP五2|=小，|PQ||「網(wǎng)=4.根據(jù)橢圓的定義可得|PR|+|PB|=2a.再利用余

222

弦定理可得4c2=|PFi|+|PF2|~2\PFi||PF2|COS120°=(|PFi|+|PF2|)一|PFi=

4a2—4,

h2=1,即b=l.

逮型3與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.用定義法求橢圓的方程應(yīng)注意什么？

［提示］用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識(shí)將題目條件轉(zhuǎn)化為

到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點(diǎn)、對(duì)稱軸是否為坐

標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a,b,c.

2.利用代入法求軌跡方程的步驟是什么？

［提示］(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為M(x,y),已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為

P(xi,yi).

xi=g(x,y),

(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即得關(guān)系式

iyi=/i(x,y).

(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所

得方程化簡(jiǎn)即可.

［例3］(1)已知P是橢圓5+5=1上一動(dòng)點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段0P

4-O

中點(diǎn)。的軌跡方程為.

(2)如圖所示，圓C：(x+l)2+y2=25及點(diǎn)A(1,O),Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直

平分線交C。于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.

f思路探究］(1)點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)今點(diǎn)Q與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系今代入法求解.

(2)由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義進(jìn)行求解.

v2

(1)/+,=1［設(shè)。(x,y),P(xo,yo),由點(diǎn)。是線段。P的中點(diǎn)知xo=2x,yo

=2y,

又當(dāng)”I,

所以竽+等f(wàn)

即L］

(2)［解］由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ=,

：.\CM\+\MA\=\CM\+\MQ\=\CQ\,

：.\CM\+\MA\=5.

.?.點(diǎn)M的軌跡為橢圓，其中2a=5,焦點(diǎn)為C(—l,0),A(l,0),，a=|,c=l,

2521

?,?廬=〃一一1=彳.

?2

，所求點(diǎn)M的軌跡方程為言+會(huì)=1,

~4~4

即止+魚=］

125十21「

廠....??規(guī)律＜方法......一

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本

例⑴所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法.

2.對(duì)定義法求軌跡方程的認(rèn)識(shí)

如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知

曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們

后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問(wèn)題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法.

3.代入法(相關(guān)點(diǎn)法)

若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn)。(xi,

yi)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)。的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入已知曲

線C的方程F(x,y)=0,化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代

入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知x軸上一定點(diǎn)A(1,O),。為橢圓，+y2=i上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)

M的軌跡方程.

［解］設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(龍，y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xo,yo).

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，

，xo+1

x2'xo=2x—1,

得1???.

_義［yo=2y.

卜-2，

x2近

。(刈，yo)在橢圓1+y2=1上，4-y3=l.

將次=2x—1,yo=2y代入上式,

得中+3J.

2

故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是Q—；)+4y2=l.

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

匚必備素?？?/p>

1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi,尸2的距離之和為常數(shù)，即IMF1I+IM尸2|=2a,當(dāng)2a＞

尸|放|時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)2。=尸|尸2|時(shí)，軌跡是一條線段尸122；當(dāng)2a＜尸1周時(shí)，

軌跡不存在.

2.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，或求參數(shù)的值(或取值范圍).

(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，若方程不為標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確

定〃的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，再利用關(guān)系式屋=/+。2求出c,即可寫出焦

點(diǎn)坐標(biāo).

(2)已知方程求參數(shù)的值(或取值范圍)時(shí)，需注意：對(duì)于方程5+^=1,當(dāng)m

＞〃＞0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在光軸上的橢圓；當(dāng)〃＞機(jī)＞0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸

上的橢圓.特別地，當(dāng)/?=機(jī)＞0時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓.若已知方程不是

標(biāo)準(zhǔn)方程，需先進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.橢圓上的點(diǎn)尸與兩焦點(diǎn)f2構(gòu)成的三角形叫做焦點(diǎn)三角形，在焦點(diǎn)三角

形中，令4FIPF2=8,如圖.

⑴當(dāng)點(diǎn)P與囪或及重合時(shí)，最大.

(2)焦點(diǎn)的周長(zhǎng)為2(a+c).

22

(3)|FiF2|=\PFII+|P冏2-2|尸尸i||P尸21cos6.

(4)SApF|=^PF\||PF2|sin仇且當(dāng)尸與囪或及重合時(shí)，面積最大?

4.求與橢圓有關(guān)的軌跡方程的方法一般有：定義法、直接法和代入法(相關(guān)點(diǎn)

法）.

U學(xué)以致用」

1.橢圓會(huì)+尸=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的

距離為（）

A.5B.6C.7D.8

D［根據(jù)橢圓的定義知，P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a—2=2*5—2=8.］

2.已知橢圓4_?+62=4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,1）,則實(shí)數(shù)人的值是（）

A.1B.2

C.3D.4

F

2+-I

B［橢圓方程可化為4由題意知j解得々=2.］

-m=i，

火

3.若方程5+尸表示橢圓，則實(shí)數(shù)加滿足的條件是

,（機(jī)>0,

相〃?>［且加工1］［由方程2+丁匚7=1表示橢圓，得42〃?一1>0,解得

/JmZm—1

—1,

山〉;且〃岸1.］

4.橢圓的兩焦點(diǎn)為四（一4,0）,凡（4,0）,點(diǎn)P在橢圓上，若△PBB的面積最

大為12,則橢圓方程為.

72

言+，=1［如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)△PB/72的面積最大，

28/?=12,:.b=3.

又,；c=4,/.a2=b2+c2=25.

92

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為*+]=1]

5.設(shè)四，尸2分別是橢圓C：，+卓=1（。>40）的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C上

一點(diǎn)坐）到兩焦點(diǎn)為，f2的距離和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).

［解］?.?橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,

/.2?=4,屋=4,

???點(diǎn)［小，田）是橢圓上的一點(diǎn)，

一

?.?4+p—1|，?f?b2-T3,...c—1,

橢圓C的方程為］+］=L

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1,0）,（1,0）.

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

第1課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，

1.通過(guò)橢圓性質(zhì)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，培

并正確地畫出它的圖形.（重點(diǎn)）

養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲

2.借助離心率問(wèn)題的求解，提升直

線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出相應(yīng)

觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

的曲線.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

情景趣味導(dǎo)學(xué)情景導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感如

畬情境引入?助學(xué)助教

使用多媒體手段展示大小、扁圓程度等不同的橢圓，體現(xiàn)橢圓形狀的美，然

后分別從橢圓為封閉曲線，即范圍入手講出橢圓的范圍，對(duì)稱性，離心率等問(wèn)題.

「新知初探］

1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

位置

圖形

焦點(diǎn)的

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

位置

標(biāo)準(zhǔn)\+g=l(a>Q0)27

京士層三1(。＞?！?)

方程

范圍-a—xWa且一bWyWZ?—bWxWb且一aWyWa

對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心為原點(diǎn)

4(—4,0),A2(6F,0)Ai(0,—a),A2(0,a)

頂點(diǎn)

Bi(0,—b),52(0,b)&(40)

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)尸四，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|AIA2|=2^

隹八八占八、、c,0),52(。,0)Fi(0,—c),尸2(0,c)

焦距\FIF2\=2C

2.離心率

⑴定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比3爾為橢圓的離心圣.

(2)性質(zhì)：離心率e的范圍是(0』).當(dāng)e越接近于1時(shí)，橢圓越扁;當(dāng)e越接近

于9時(shí)，橢圓就越接近于圓.

思考：離心率相同的橢圓是同一橢圓嗎？

［提示］不是，離心率是比值，比值相同不代表4,C值相同，它反映的是橢

圓的扁圓程度.

1.思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴橢圓5+方=1(。＞人＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a.()

⑵橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a—c.()

⑶橢圓的離心率e越小，橢圓越圓.()

［提示］⑴X(2)7(3)V

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(3,0),。(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.卷+?=1B.^+j=l

C-W=1D,f-f=l

A[由題易知點(diǎn)P(3,0),Q(0,2)分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故橢圓的

焦點(diǎn)在x軸上，所以a=3,b=2,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+9=1.]

y4

3.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，它的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,小)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是.

/+彳=1[依題意得2a=4/?,c=y[3,又a2=02+c2,

'.a=2,b=1,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2+彳=].]

4.設(shè)橢圓各苴=i(ovy)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，則離心

率的值為.

3

,[由條件知2X5+2c=4〃，即2Z?=c+5,

又。2—〃=02,。=5解得。=4,c=3.

c3

離心率e=/=§]

疑難問(wèn)題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)影成

lb類型17由橢圓方程研究幾何性質(zhì)

2

y2v2X丫2

【例1】⑴橢圓”十方=1(。＞心。)與橢圓7+白=入(＞＞。且入日)有()

A.相同的焦點(diǎn)B.相同的頂點(diǎn)

C.相同的離心率D.相同的長(zhǎng)、短軸

(2)求橢圓9f+16y2=144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(1)C[在兩個(gè)方程的比較中，端點(diǎn)八。均取值不同，故A,B,D都不對(duì)，

而a,b,c雖然均不同，但倍數(shù)增長(zhǎng)一樣，所以比值不變，故應(yīng)選C.]

22

(2)[解]把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+5=1,

10y

所以a=4,b=3,c=q16-9=小,

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a=8和2b=6;

離心率e="=近

4

兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一市，0),(巾，0);

四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一4,0),(4,0),(0,-3),(0,3).

［母題探究］

1.本例⑴中把方程峰+方=貼＞0且杼D”改為“&+帚=

1QW0)”，結(jié)果會(huì)怎樣呢？

92

A［由于。＞匕，；?方程"+層:_幺=1中,/=(屋+九)一(〃+入)=屋一

22

焦點(diǎn)與，+，=1(。＞匕＞0)的焦點(diǎn)完全相同.

而因長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)發(fā)生了變化，所以BCD均不對(duì)，只有A正確.］

2.本例(2)中，把方程改為“16f+9＞2=144”，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？

29

［解］把方程161+9y2=144化為標(biāo)準(zhǔn)形式得汽+5=L

知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

這里次=16,y=9,.,.c2=16—9=7,

所以橢圓16f+9V=144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2X4=8,短軸長(zhǎng)為28=2X3=6,

離心率：e=＞平，焦點(diǎn)坐標(biāo)：(0,

頂點(diǎn)坐標(biāo)：(0,-4),(0,4),(-3,0),(3,0).

1......規(guī)律C方法......-、

由標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì)時(shí)的兩點(diǎn)注意

(1)已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定

焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型.

(2)焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn)。與"正確利用〃=辰十。2求出焦點(diǎn)

坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).同時(shí)要注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是

2612b,2c.

由幾何性質(zhì)求橢圓的方

程

【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,0),離心率6=坐

(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(l,2),且與橢圓5+看=1有相同的離心率.

［思路探究］(1)焦點(diǎn)位置不確定，分兩種情況求解.

(2)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

(3)法一：先求離心率，根據(jù)離心率找到。與匕的關(guān)系，再用待定系數(shù)法求解.

法二：設(shè)與橢圓為+點(diǎn)=1有相同離心率的橢圓方程為方+看=依(玄>0)或方+

不=攵2(%2>0).

［解］(1)若焦點(diǎn)在光軸上，則。=3,

Ve="=，:.c=?,/.Z?2=a2—c2=9—6=3.

.?.橢圓的方程為看+f=l.

7J

若焦點(diǎn)在y軸上，則〃=3,

.?7=(=5?=5】=坐解得層=27.

27

.?.橢圓的方程為與+卷=1.

二.所求橢圓的方程為5+^=1或務(wù)+5=1.

?2

(2)設(shè)橢圓方程為'+$=l(a>/>>0).

如圖所示，△AlE42為等腰直角三角形,

OF為斜邊AA2的中線(高)

且|OE=C,\AiA2\=2b,

c=/?=4,；?a2=/?2+/=32,

22

故所求橢圓的方程為強(qiáng)+1.

32lo

h11A21

（3）法一：由題意知e2=1--i=5，所以F=5，即屋=2戶，設(shè)所求橢圓的方程

ana乙

為焉+W=1或求l+W=L

2bb2b~b

將點(diǎn)M（1,2）代入橢圓方程得

14419

方+正=1或不+/=1，解得〃=］或從=3.

故所求橢圓的方程為5+^=1或V+^=L

2

9222

法二：設(shè)所求橢圓方程為方+g=M（Rl>0）或方+,r=左2（%2>0）,將點(diǎn)M的坐標(biāo)

代人可得.+1=%或今+5=依,解得依/攵2=4故各W或冬+會(huì)；，

即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方+'=1或*+5=1.

2

廠.......規(guī)1^<^法?......--

利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路

（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟

是：

①確定焦點(diǎn)位置；

②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方

程）；

③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程（組）求參數(shù)，列方程（組）時(shí)

常用的關(guān)系式有/=/一°2,e=^等.

（2）在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此

僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè).

v-2p2j-2仔

提醒：與橢圓了十層=1（。>/?>0）有相同離心率的橢圓方程為系+/=依（依>0,

2

焦點(diǎn)在X軸上)或，+$=依(%2>0,焦點(diǎn)在y軸上).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)A(3,0),并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱

軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

?2

［解］法一：若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+%=15>匕

>0),由題意得『7'解得『3’所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為料戶L

g+L，9

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+g=1(a>8>0).

'2a=3-2b,

a=9,

由題意得<92_解得<

謠十廬刁，b=3.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所+§=1.

綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為^"+y2=l或點(diǎn)"+看=1.

y017

99

法二：設(shè)橢圓方程為5+}=i(m>0,〃>0,機(jī)羊〃)，

—==1—=]

則由題意得儼'或產(chǎn).

2y[m=3-2\[nl2yfn=3-2y[m9

m=9f7??=9,

解得或

n=IIn=81.

922

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+>2=1或3+看r=1.

y017

白券型3求橢圓的離心率

［探究問(wèn)題］

1.橢圓的離心率是如何影響橢圓的扁圓程度的？

［提示］離心率e=》假設(shè)。固定，當(dāng)e-0時(shí)，0,因a1=c1+b2,則b^a,

所以離心率越小，橢圓就越圓，否則就越扁.

2.已知t的值能求出離心率嗎？

［提示］可以.e弋=/尹5一伊.

3.已知尸是橢圓的左焦點(diǎn)，A,8分別是其在x軸正半軸和y軸正半軸上的

頂點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且PE_Lx軸，0P〃A3,怎樣求橢圓的離心率？

99

［提示］如圖，設(shè)橢圓的方程為$+$=1(。>。>0),P(—C,m).

'：OP//AB,

:.△PFOsXBOA,

.c_m

,,1萬(wàn)，

又P(—C,TH)在橢圓上,

將①代入②，得多=1,

即e2=^,/.e=2?

22

【例3】設(shè)橢圓，+%=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為Fi,Fi,若在橢圓上存在一

點(diǎn)P,使而1?而2=0,求橢圓的離心率e的取值范圍.

［思路探究］由條件屆1?國(guó)12=0,知所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的

圓上，也在橢圓上，利用圓與橢圓有公共點(diǎn)的條件建立不等式求解.

［解］由題意知PRJ_Pb2,所以點(diǎn)尸在以尸1丘2為直徑的圓上，即在圓f+y2

=02上.

22

又點(diǎn)P在橢圓上，所以圓工2+,2=。2與橢圓1有公共點(diǎn).

連接OP(圖略)，則易知0VZ?〈cVa,

所以序W/Va?,即層―/Wc2V/.

所以，所以乎VI.所以［孚，l).

［母題探究］

1.本例中，把條件改為“點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合，且△尸乃尸2為等邊三角形”，

求橢圓的離心率.

［解］當(dāng)△PBB為等邊三角形時(shí)，即|PFI|=|PF2|=|FF2|,又|PFi|=a,，a=

、c1

2c,故離心率e=-=7

2.本例中，把條件改為“點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合，且△PKB為等腰直角三角

形”，求橢圓的離心率.

［解］當(dāng)△PBB為等腰直角三角形時(shí)，

ZFIPF2=90°,

這時(shí)尸尼尸也IPBI,

即2c=y［2a,

二離心率e=￡=彈.

a2

3.把本例中條件“使而1?際2=0”改為“使為鈍角”，求離心率的

取值范圍.

［解］由題意，知c＞b,:?心＞抉.

/1

又序=居一02,/.c2＞6F2—C2,即2c2＞層??.e2=u＞］,

...e＞乎.故橢圓的離心率的取值范圍為俘，1).

廠.......規(guī)律G方法.........一

求橢圓離心率及范圍的兩種方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=(求解.若已知a,b改b,c可借助于

a2="2+c2求出c或a,再代入公式e=(求解.

(2)方程法：若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b,c的齊次關(guān)系式，

借助于”2=〃+C2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩

邊同除以。的最高次累，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.

迷堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)叫婆直宓擔(dān)賽…

匚整備素養(yǎng)

1.對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)解釋

(1)橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置，范圍決定橢圓的大小，離心率決定橢圓的扁

平程度，對(duì)稱性是橢圓的重要特征，頂點(diǎn)是橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，是橢圓重要的

特殊點(diǎn).若已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則根據(jù)a,。的值可確定其性質(zhì).

(2)如圖所示，在△。為當(dāng)中，a,b,c,e對(duì)應(yīng)的線段或有關(guān)量為。=|尸2瓦|,b

c10尸2I

=|0及|,C=|0尸2|,￡=一=|"屋=COSN。乃歷.

111aIF2B2I

92

(3)若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+方=l(a>Q0),則橢圓與無(wú)軸的交點(diǎn)4,A2到焦

點(diǎn)尸2的距離分別為最大和最小，且|AE|=a+c,\A2F2\=a-c.

2.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，

再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法.在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦

點(diǎn)、頂點(diǎn)，而不能確定類型的量有長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率e、焦距.

匚連以致用E

1.焦點(diǎn)在光軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到左頂點(diǎn)的距離為3的橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.，+:=1B.^+/=1

C.^+y=lD.f+：=l

A[依題意，得a=2,a+c=3,故c=l,。=啦匚7=小，故所求橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程是,+]=1.]

2.已知實(shí)數(shù)1,機(jī),9成等比數(shù)列，則橢圓\+y2=l的離心率為()

A［VI,-9成等比數(shù)列,"2=9.

即機(jī)=3或機(jī)=—3(舍)，這時(shí)02=3—1=2,即

離心率e=§=爰=#.故選A.

⑤焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,6),(0,-6).］

r2v21

3.若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓5+5=1的離心率為右則機(jī)的值為.

|［由題意知0＜加＜2,且e2=1—?=