1.4.2用空間向量探討距離、夾角問題第1課時距離問題A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.若O為坐標(biāo)原點,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.1652 B.2C.53 D.532.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(1,2,3),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()A.2 B.2C.3 D.323.已知直線l過點P(1,3,1),且方向向量為m=(1,0,-1),則點A(1,-1,-1)到直線l的距離為 ()A.32 B.4C.25 D.34.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1=2,則點C到直線AB1的距離為()A.155 B.C.153 D.5.(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點E是棱A1B1的中點,P在正方體內(nèi)部且滿足AP=34A.點A到直線BE的距離是5B.點A到直線BE的距離是2C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為3D.點P到直線AB的距離為256.已知平面α內(nèi)一點P(8,9,5),點Q(1,2,2)在平面α外,若α的一個法向量為n=(4,3,-12),則點Q到平面α的距離為.

7.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1C1D間的距離是.

8.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,ABEF為矩形,且它們所在的平面相互垂直,AB=2BE=4,M為對角線AC上的一個定點,且3AM=MC,則M到直線BF的距離為.

B級關(guān)鍵實力提升練9.在空間直角坐標(biāo)系中,定義:平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時為零),點P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=|Ax0+By0+Cz0A.55 B.C.2 D.510.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=2,直線AD與A1C1所成的角為π4,E為棱BB1的中點,則點D1到平面ACE的距離為11.如圖,多面體ABC-A1B1C1是由長方體一分為二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,點D是棱BB1的中點,則異面直線DA1與B1C1的距離是.

12.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點.(1)求點B到直線AC1的距離;(2)求點F到平面AEC1的距離.13.如圖,在四棱錐A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB,AB⊥AC,O為BC中點,且AO⊥平面BCDE.(1)求點B到平面ADE的距離.(2)線段AC上是否存在一點Q,使OQ∥平面ADE?假如不存在,請說明理由;假如存在,求AQAC的值

參考答案1.4.2用空間向量探討距離、夾角問題第1課時距離問題1.D∵OP=12(OA+OB)∴PC=∴|PC|=4+12.A∵兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(1,2,3),則OA=(1,2,3).又兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),∴兩平面間的距離d=|n·OA3.A由題得,PA=(0,-4,-2),|PA|=25,|PA·m||m|=224.D由題意知,BC=AC=AB=2,BB1=2.取棱AC的中點O,則BO⊥AC,BO=3.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),所以AB1=(3,1,2),CA=(0,-2,0),所以CA在AB1上的投影的長度為|CA·A故選D.5.BC如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.設(shè)∠ABE=θ,則cosθ=BA·sinθ=1-故點A到直線BE的距離d1=|BA|sinθ=1×255由圖易證得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離.則A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n·A1B=0,n·A所以n=(1,1,1).所以點D1到平面A1BD的距離d2=|A即平面A1BD與平面B1CD1間的距離為33,故C正確因為AP=34AB+12又AB=(1,0,0),則|AP·AB||AB|=34,所以點6.1因為P(8,9,5),Q(1,2,2),所以PQ=(-7,-7,-3).又α的一個法向量為n=(4,3,-12),所以點Q到平面α的距離為|PQ·n7.33以點A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z則A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1).設(shè)平面AB1C的法向量為m=(x1,y1,z1),AB1=(1,0,1),AC=(1,1,0),由m·AB=x1+z1=0,m·AC=x1+y1設(shè)平面A1C1D的法向量為n=(x2,y2,z2),DA1=(0,-1,1),DC1=(1,0,1),由n·DA1=-y2+z2=0,n·DC因為m=n,平面AB1C與平面A1C1D不重合,故平面AB1C∥平面A1C1D.因為AD=(0,1,0),所以平面AB1C與平面A1C1D間的距離為d=|AD8.705以B為原點,BA,BE,BC所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),F(4,2,0),C(0,0,4),A(4,0,0),BA=(4,0,0),BF=(4,2,0),AC=(-4,0,4)因為3AM=MC,所以AM=則BM=BA+14AC=(4,0,0)+1令a=BM=(3,0,1),u=BF|BF|=(4,2,0)25=255,55,0,所以9.B以底面中心O為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖,則O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).設(shè)平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0,將A,B,P三點的坐標(biāo)代入計算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化為-Dy-12即2y+z-2=0,所以d=|210.3依據(jù)題意可得A1C1∥AC,故直線AD與A1C1所成的角即為直線AD與AC所成的角,即∠DAC=π4,則∠DCA=π∴△CDA為等腰直角三角形,∴CD=AD=1.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),AC=(-1,1,0),AE=(0,1,1),D1A=(1,0,-2),設(shè)平面ACE的法向量n=(x,y,則n·AC=-x+y=0,n·AE故點D1到平面ACE的距離為|D11.22以B為坐標(biāo)原點,分別以BC,AB,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1∴DA1=(0,1,1),B1設(shè)m=(x,y,z)是DA則DA1·m=0,即y+z=B1C1·m=0,即易知x2+y2+z2=1,③聯(lián)立①②③,解得x不妨取m=0,22,-22,又C1D=(-1,0,則異面直線DA1與B1C1的距離d=|C12.解(1)以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,1),B(1,1,1),C1(0,1,0),E1,12,0,F1,12,1,則AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),AE=0,12,-1,EC1=-1,12,0,AF=0,12,0.取a=AB=(0,1,0),u=AC1|AC1|=33(-1,1,-1),則a2=1,a·u(2)設(shè)點F到平面AEC1的距離為d,平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則n取z=1,則x=1,y=2,所以n=(1,2,1).又AF=0,12,0,故點F到平面AEC1的距離為d=|AF·13.解(1)∵AO⊥平面BCDE,BC?平面BCDE,∴AO⊥BC.∵O為BC中點,取ED中點M,∴OM∥CD.∵CD⊥CB,∴OM⊥CB.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,∵AB⊥AC,且AB=AC,∴BC=42+42=42.則A(0,0,22),B(22,0,0),C(-22,0,0),E(22,2,0),D(-22,4,0),O(0,0,0),∴BE=(0,2,0),DE=(42,-2,0),AE=(22,2,-設(shè)平面ADE的法向量n=(x,y,z),則n令x=1,則y=22,z=