吉林省長春2024-2025高三上學(xué)期其次次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知：，則的充分不必要條件是（）A. B. C. D.2.已知正實(shí)數(shù)a，b滿意，則的最小值是（）A.8 B.16 C.32 D.363.已知函數(shù)的值域?yàn)镽．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)對(duì)，，滿意，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.5.已知定義在R上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.16.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為D.的最大值為10.下列說法中錯(cuò)誤的為A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.向量，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底C.若，則在方向上的正射影的數(shù)量為D.三個(gè)不共線的向量，，，滿意，則是的內(nèi)心11.在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是特別關(guān)鍵技術(shù)，我們通過每天都在運(yùn)用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)．的圖象就可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的最大值為712.設(shè)函數(shù)，已知有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B.在有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)C.在單調(diào)遞增D.ω的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的隨意，，…，都有，若函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，則在△中，的最大值是______.14.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且的面積為，則邊的值為________．15.如圖，在中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿意，若的面積為，則的最小值為__________.16.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)在處的切線為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.18.已知函數(shù)的最小正周期為.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若，求取值的集合.19.如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)打算在濕地內(nèi)建立一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的馬路（長度均超過2千米），在兩條馬路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建立兩條觀光線路PM，PN，測得千米，千米．（1）求線段MN的長度；（2）若，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．20.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.21.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，恒成立，求的范圍；（Ⅱ）若在處切線為，且方程恰有兩解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22已知函數(shù)，.（1）求證：在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知：，則的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】解出的解集，的充分不必要條件是其子集，選出即可.【詳解】解：由得，的充分不必要條件是的子集，C符合，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的推斷，是基礎(chǔ)題.2.已知正實(shí)數(shù)a，b滿意，則的最小值是（）A.8 B.16 C.32 D.36【答案】B【分析】對(duì)利用基本不等式求出且，把綻開得到，即可求出最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿意，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).因?yàn)?，所以，所?故的最小值是16.故選：B3.已知函數(shù)的值域?yàn)镽．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】當(dāng)函數(shù)的值域?yàn)闀r(shí)，命題等價(jià)于函數(shù)的值域必需包含區(qū)間得解【詳解】的值域?yàn)镽令，則的值域必需包含區(qū)間當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A【點(diǎn)睛】轉(zhuǎn)化命題的等價(jià)命題是解題關(guān)鍵.4.已知函數(shù)對(duì)，，滿意，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】先推斷是R上的增函數(shù)，列關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意，得是R上的增函數(shù)，

則，解得，

故選：5.已知定義在R上函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.1【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)滿意，得到，再結(jié)合，得到，即的周期為4，然后利用周期結(jié)合當(dāng)時(shí)，求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿意，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，則，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的實(shí)力，屬于中檔題.6.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用平面對(duì)量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】..故選：A7.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由題可得在有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而可得，即得.【詳解】原問題等價(jià)于在有零點(diǎn)，而，∴，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，又，由可推斷，因而的值域?yàn)椋钟辛泓c(diǎn)，有，所以.故選：D.8.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】依據(jù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，依據(jù)定義域求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，∴周期，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，∴，∴，，解得，又，解得，當(dāng)k=0時(shí)，解，當(dāng)k=-1時(shí)，，可得，.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點(diǎn)問題，此類問題通常接受數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可得，屬于較難題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為D.的最大值為【答案】ABC【分析】先化簡，得到，再依據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】函數(shù).對(duì)于A：的最小正周期為.故A正確；對(duì)于B：，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故B正確；對(duì)于C：，所以是的一個(gè)零點(diǎn).故C正確；對(duì)于D：函數(shù),所以的最大值為2.故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列說法中錯(cuò)誤的為A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.向量，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底C.若，則在方向上的正射影的數(shù)量為D.三個(gè)不共線的向量，，，滿意，則是的內(nèi)心【答案】AC【分析】對(duì)于A，由向量的交角為銳角的等價(jià)條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計(jì)算即可；對(duì)于B，由，可知，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底；對(duì)于C，利用向量投影的定義即可推斷；對(duì)于D，由，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，進(jìn)而得出點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】對(duì)于A，已知，，且與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A不正確；對(duì)于B，向量，，，，向量，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C，若，則在上的投影為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，表示與中角的外角平分線共線的向量，由，可知垂直于角的外角平分線，所以，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，故點(diǎn)是的內(nèi)心，D正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的運(yùn)算和有關(guān)概念，詳細(xì)包括向量數(shù)量積的夾角公式、向量共線的坐標(biāo)表示和向量投影的定義等學(xué)問，屬于中檔題.11.在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是特別關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在運(yùn)用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)．的圖象就可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為7【答案】CD【分析】利用周期的定義可推斷A選項(xiàng)的正誤；利用奇偶性的定義可推斷B選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)的對(duì)稱性可推斷C選項(xiàng)的正誤；求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的最大值，可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，可知函?shù)的最小正周期不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以也是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，所以函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，因?yàn)榈娜≈捣秶鶠?，可知，?dāng)時(shí)，，所以的最大值為7，所以D正確．故選：CD．12.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B.在有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)C.在單調(diào)遞增D.ω的取值范圍是【答案】ACD【分析】由在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，可得可求出的范圍，然后逐個(gè)分析推斷即可.【詳解】因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)零點(diǎn)，如圖所示，所以，所以，所以D正確，對(duì)于AB，由函數(shù)在上的圖象可知，在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，有3個(gè)或2個(gè)微小值點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以C正確，故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的隨意，，…，都有，若函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，則在△中，的最大值是______.【答案】##【分析】依據(jù)題設(shè)凸函數(shù)的性質(zhì)可得即可求最大值，留意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)知：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且的面積為，則邊的值為________．【答案】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦，余弦定理求得角的值，再利用正弦定理可得，結(jié)合的面積求出邊的值.【詳解】解：，，即，由正弦定理角化邊得，，由正弦定理，即，化簡得，又的面積為解得故答案為：.15.如圖，在中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿意，若的面積為，則的最小值為__________.【答案】【分析】用表示，利用這兩者共線可求，求出后利用基本不等式可求其最小值.【詳解】因?yàn)?，故，所以，而，因?yàn)榕c為非零共線向量，故存在實(shí)數(shù)，使得，故，所以，所以，由的面積為可得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，故答案：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與三角形有關(guān)的向量問題，假如知道邊與夾角的關(guān)系，則可以考慮用已知的邊所在的向量作為基底向量，其余的向量可以用基地向量來表示，此時(shí)模長的計(jì)算、向量的數(shù)量積等都可以通過基底向量來計(jì)算.16.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】先依據(jù)將轉(zhuǎn)化為來表示，由此化簡的解析式，對(duì)進(jìn)行分類探討，依據(jù)恒成立列不等式來求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)和，所以，，可得，故.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，可得，所以，要使恒成立，只要，即，又，從而；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，要使恒成立，只要，解得，又，從而.綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立的問題，主要解題思路是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來進(jìn)行求解，如本題中恒成立，就轉(zhuǎn)化為的值域，也即三角函數(shù)的值域來進(jìn)行求解.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)在處的切線為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）減區(qū)間為增區(qū)間為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；【詳解】（1）依題意可得：又函數(shù)在處的切線為，解得：（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，當(dāng)時(shí)，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.已知函數(shù)的最小正周期為.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若，求取值的集合.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）取值的集合為.【詳解】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ），即，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，化簡后，寫成集合形式即可.試題解析：（Ⅰ），因?yàn)橹芷跒椋?，故，由，得，函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，（Ⅱ），即，由正弦函數(shù)得性質(zhì)得，解得所以，則取值的集合為.19.如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)打算在濕地內(nèi)建立一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的馬路（長度均超過2千米），在兩條馬路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建立兩條觀光線路PM，PN，測得千米，千米．（1）求線段MN的長度；（2）若，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．【答案】（1）千米（2）千米【分析】（1）在中，利用余弦定理運(yùn)算求解；（2）在中，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問1詳解】在中，由余弦定理得，，即，可得，所以線段MN的長度千米．【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋剑?，因此＝，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取到最大值千米．20.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，依據(jù)二次方程根的分布即可求解，（2）結(jié)合，代入化簡式子，將問題轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【小問1詳解】,有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，所以在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則解得，故的取值范圍為，【小問2詳解】由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，故，因此在單調(diào)遞減，故，故，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分別變量，構(gòu)造新函數(shù)，干脆把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：依據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，依據(jù)相像結(jié)構(gòu)構(gòu)造幫助函數(shù).21.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，恒成立