專題15平面對(duì)量（選填壓軸題）①向量模問題（定值，最值，范圍）1．（2024·浙江·永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽）已知點(diǎn)是邊長為的正五邊形內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，則∴圓O的半徑則，即，即，即，即，即則∵設(shè)，則∵，則又∵，則∴，則即∴，則由此易得，即其最大值是.故選：D.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿意，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿意，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，即點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因?yàn)椋獾?，所以為邊長為的正三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得設(shè)，其中，又因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，可得，所以.即的最大值為.故選：B.3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿意：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，，又，，設(shè)，，，則，，又，，、、、四點(diǎn)共圓，當(dāng)最大時(shí)，有，為該圓的半徑，由，所以，在中，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)是的平分線時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的最大值為圓的直徑大小為.故選：A．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿意，且，動(dòng)點(diǎn)，滿意，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題，則到，，三點(diǎn)的距離相等，所以是的外心.又，變形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心與垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的邊長為；如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，，可設(shè)，其中，，而，即是的中點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．故選：D．5．（2024·浙江·諸暨市教化探討中心高二學(xué)業(yè)考試）已知，，向量滿意，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，得：，即有，如圖示，設(shè)，故不妨設(shè)，則，則，設(shè)，則，因?yàn)?，故可得，所以C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，,AB的中點(diǎn)為，則以AB為直徑的圓的方程為，故的最大值為，最小值為，即的取值范圍是，故選：B6．（2024·遼寧葫蘆島·高一期末）如圖，在等腰中，已知，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，其中，，且，若線段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在等腰中，已知?jiǎng)t，因?yàn)榉謩e是邊的點(diǎn)，所以，而，左右兩邊平方得，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，即的最小值為.故選：B.7．（2024·內(nèi)蒙古通遼·高二期末（理））已知向量滿意.設(shè)，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?.又，所以，解得，則向量的夾角為.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，所以，?設(shè)，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)..故選：B.8．（2024·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知平面對(duì)量滿意，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，不妨設(shè)，又，不妨設(shè)在直線上，又可得，即，則，設(shè)，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；又，則的最小值等價(jià)于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.故選：D.9．（2024·浙江臺(tái)州·高一期末）已知是平面內(nèi)三個(gè)非零向量，且，則當(dāng)與的夾角最小時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即是邊長為1的等邊三角形，因?yàn)?，則可以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，則，令，則，令，則，則可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在取得最大值，即最大，與的夾角最小，此時(shí).故選：B.10．（2024·江蘇·揚(yáng)中市其次高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知與為單位向量，且⊥，向量滿意，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【詳解】依據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點(diǎn)，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．11．（2024·浙江·高一期中）已知平面對(duì)量，，滿意，，，，則的最小值為________.【答案】【詳解】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，連接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理?又由，得，所以點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、F共線，且點(diǎn)C在點(diǎn)E、F之間時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿意，，動(dòng)點(diǎn)，滿意，，則的最大值為__．【答案】【詳解】解：平面內(nèi)，，，，，，可設(shè)，，，，動(dòng)點(diǎn)，滿意，，可設(shè)，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值為．故答案為：．13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面對(duì)量，和單位向量，滿意，，，當(dāng)變更時(shí)，的最小值為，則的最大值為__________.【答案】【詳解】不妨設(shè)，，則由題知又，所以整理得①，所以又，所以而將①代入整理得：令，，有最小值，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，當(dāng)時(shí)有最大值.故答案為：.14．（2024·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，O為外心，若，，則的范圍是______．【答案】【詳解】因?yàn)?，而，故，故外接圓半徑滿意，故，所以，而，故，如圖，在單位圓中，設(shè)，則，又若，則，故，若，則，故，若，則，故，綜上，時(shí)，總有，其中，且，因?yàn)?，故，而，故，所以，故，故答案為?5．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知平面對(duì)量滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，取明顯成立，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，∴，即存在，使，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，存在，使，即適合題意；綜上，的取值范圍是.故答案為：.16．（2024·浙江·瑞安市瑞祥高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面對(duì)量滿意：，，，，，則當(dāng)取到最小值時(shí)，___________.【答案】【詳解】依據(jù)題意，因?yàn)?，，，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以或，即或；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，取到最小值，解得，，，所以，，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，取到最小值，解得，，，所以，，所以；綜上所述：.故答案為：.②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與分別切于點(diǎn)則___________.【答案】0【詳解】由，得，則，設(shè)，，所以，得切線的方程為，即，切線的方程為，即，又兩條切線過切點(diǎn)，有、，所以是方程即的兩實(shí)根，得，又，所以將代入上式，得.故答案為：0，2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，則的最小值為______.【答案】【詳解】，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，故，故求的最大值.設(shè)，，則由余弦定理，，，因?yàn)?，故，即，又，故，即，此時(shí)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即的最小值為故答案為：3．（2024·浙江省義烏中學(xué)高一期末）已知向量，滿意，若以向量為基底，將向量表示成為實(shí)數(shù)），都有，則的最小值為________【答案】【詳解】由題可知，不妨設(shè)，,,則點(diǎn)、分別在以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為和的圓上運(yùn)動(dòng)，又為實(shí)數(shù)），都有，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)且此線與半徑為2的圓相切時(shí)，向量的夾角最大，此時(shí)，的最小.此時(shí)，在中，由余弦定理可得，,故答案為：.4．（2024·浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)料）已知單位向量，向量，滿意，且，其中，當(dāng)取到最小時(shí)，_______．【答案】0【詳解】由題意得，故，又，，故，，同理得，故，明顯，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取到最小值2，，得，得．故答案為：05．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿意，若對(duì)隨意，恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解析：因?yàn)?，則，因?yàn)?，由，由，即，由，則恒成立.由,即則，解得，又所以.故答案為：6．（2024·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)料）已知平面對(duì)量滿意，且，，則的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】由題可設(shè)，，，，，B、C在以O(shè)為圓心半徑為的圓上，又，則．因?yàn)?，記與的夾角為，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可設(shè)，∴，∴，，∴，，∴；綜上，結(jié)合圖像可得，所以．故答案為：．7．（2024·全國·高一）已知△ABC三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xoy所在平面內(nèi)，點(diǎn)B、C分別在x、y正半軸上滑動(dòng)，，，，則的最大值為______．【答案】【詳解】建立如圖的坐標(biāo)系，,所以四點(diǎn)共圓.,設(shè)，則且，,在中，由正弦定理知：,即，,故，其中，時(shí)，，故有最大值.故答案為：8．（2024·上海市七寶中學(xué)高三期中）設(shè)為中邊上的中線，且.若，則的最大值為_________【答案】##【詳解】①為中點(diǎn),為中點(diǎn)(由得到)代入①式得又代入得由余弦定理得由結(jié)合基本不等式得所以當(dāng)且僅當(dāng)取等最大值為故答案為：9．（2024·江蘇·輔仁中學(xué)高一階段練習(xí)）已知A，B，C，D是平面內(nèi)四點(diǎn)，且，則的最小值為___________.【答案】【詳解】設(shè)，，則，，所以，，則，當(dāng)，時(shí)的最小值為.故答案為：10．（2024·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）已知三角形ABC，點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，BD是的角平分線，為直線BD上一點(diǎn)，滿意，，，則_____________.【答案】6【詳解】由為方向上的單位向量，易知：是外角的角平分線，又BD是的角平分線，即為△的旁心，而，，法一：作于點(diǎn)，則，如下圖示，所以，又，所以.法二：不妨設(shè)△為等邊三角形，即，則，所以，故，而，所以.故答案為：611．（2024·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高一期中）在中，，P為AB邊上一點(diǎn)，，則的最小值為______．【答案】【詳解】延長AC至點(diǎn)D，使AD=4AC，連接BD，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，由于，所以，由三線合一得：，因?yàn)?，所以，由勾股定理得：，所以△ABD為等邊三角形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)（），所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：12．（2024·上?！とA東師范高校附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在圓上，已知，，則的最小值為___________.【答案】【詳解】由題意，取線段AB的中點(diǎn)，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因?yàn)閳A心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：③向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2024·上海交大附中高二階段練習(xí)）若平面對(duì)量，，滿意，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，三者干脆各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.2．（2024·浙江·紹興市教化教學(xué)探討院高二期末）已知平面對(duì)量，滿意，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)，有，設(shè)與夾角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可設(shè)，則由于對(duì)隨意實(shí)數(shù)，有，故恒成立，即對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，故，即，所以向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于如圖所示的直線外部的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界直線），設(shè)，，則,故，不妨假設(shè)向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上部分區(qū)域內(nèi)，則由圖可以看到當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于B處，即在直線上，且當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，所以，即最小值為，由圖可以看到，當(dāng)B點(diǎn)沿直線向外運(yùn)動(dòng)或在陰影部分中向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以無限趨近于0，故，因此的范圍是，當(dāng)B點(diǎn)位于直線上或下方的區(qū)域內(nèi)時(shí)，同理可求得的范圍是，故選：D3．（2024·江西·橫峰中學(xué)高一期末）在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，由重心的性質(zhì)可得，則，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，即，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，任取、且，則.當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，?故選：C.4．（2024·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知平面對(duì)量、、滿意，則與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，，所以，，①，②又，③②與③聯(lián)立可得，④①④聯(lián)立可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，則，故與所成夾角的最大值是，故選：A.5．（2024·福建省廈門集美中學(xué)高一期中）中，若，，點(diǎn)E滿意，直線與直線相交于點(diǎn)D，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在△ABC中，由余弦定理得：設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線，所以，解得：，所以，即因?yàn)锳B=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以所以故選：A6．（2024·全國·高二期末）已知.在時(shí)取得最小值，問當(dāng)時(shí)，向量與夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，,則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，又因?yàn)?，所以，故，又，所以，所以與的夾角的取值范圍是，故選：C.7．（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）中，若，，點(diǎn)滿意，直線與直線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，設(shè)，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，，，因?yàn)?，、、三點(diǎn)共線，所以，聯(lián)立，解得，，，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，故選：A.8．（2024·上?！とA師大二附中高一期中）已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：A.9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，，，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，當(dāng)取得最小值時(shí)，向量與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此在中，所以向量與的夾角的余弦值為，故選：C.11．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一期末）在中，，為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若的最小值為3，則_________．【答案】【詳解】取線段MN的中點(diǎn)P，連接CP，過C作于O，如圖，，依題意，，因的最小值為3，則的最小值為2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案為：12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面對(duì)量滿意，若，且，則的最小值為___________.【答案】【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，，，，因?yàn)?，所以，因此點(diǎn)在直線上，又由于，因此是的角平分線，因此點(diǎn)是直線與的角平分線的交點(diǎn).依據(jù)角平分線的性質(zhì)可.過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則.因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)由于，由此當(dāng)直線相切于時(shí)，有最大值，有最小值.設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為，則，，故.綜合上述，的最小值為.故答案為：.13．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知平面對(duì)量滿意：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則______【答案】【詳解】解：記，，，則，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．過，兩點(diǎn)的圓與圓相外切，記切點(diǎn)為，此時(shí)最大（如圖）．下證上述結(jié)論：取圓上不同于切點(diǎn)的點(diǎn)，因?yàn)樵趫A的外面，所以．下面求當(dāng)最大時(shí)，的值．記圓的半徑為，則．所以只需求出圓的半徑為即可．法一：如右圖，為弦的中點(diǎn)，在中，由余弦定理求得，，則．在中，，，，，由余弦定理得，．即．法二：如圖建系，，，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上．以為弦長作圓，當(dāng)圓與圓外切時(shí)最大．圓心在弦的中垂線上，設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得，即或（舍去），此時(shí)，得．故答案為：.14．（2024·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一期中）已知的外心為，滿意，則的最小值是___________.【答案】【詳解】依題意作圖，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，在中，記，，，因?yàn)榈耐庑臑镺，則，因?yàn)?，又，所以，同理可得，，由得，，?在中，由余弦定理得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故答案為：.15．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面對(duì)量滿意，則與所成夾角的取值范圍是_______.【答案】【詳解】令||＝|2|＝x，向量（）與（2）的夾角為θ∈[0，π]，因?yàn)?（）﹣（2），所以（）?（）＝（）?[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|cosθ①，若與的夾角為α∈[0，π]，即（）?（）＝||||cosα②，所以由①②知，||cosα＝2||﹣|2|cosθ＝2x﹣xcosθ＝x（2﹣cosθ），所以cosα＞0，即||2cos2α＝4x2﹣4x2cosθ+x2cos2θ，又因?yàn)閨|2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2cosθ，所以cos2α，令m＝5﹣4cosθ，即cos2α，m∈[1，9]，有cos2α∈[，1]，又因?yàn)閏osα＞0，所以cosα∈[，1]，所以α的最大值是．故答案為：．④向量的其它問題1．（2024·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知銳角滿意，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所以，即有：，即，所以，設(shè)，可得，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，設(shè)，則有，所以==，所以故選：A.2．（2024·河南駐馬店·高一期末）已知D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿意，，，連接AO并延長交BC于F點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，所以，同理，三點(diǎn)共線，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，，所以故選：D.3．（2024·湖南衡陽·高一期末）在中，，，AD，BC的交點(diǎn)為M，過M作動(dòng)直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若，()，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)t，使又由三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)m，使得則，解之得，則又，()，則，由三點(diǎn)共線，可得則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則的最小值為故選：D4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，函數(shù)．若對(duì)于隨意的，且，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以等價(jià)于，即，令，，所以可知在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以在上為減函數(shù)，所以，所以，故選：B5．（2024·浙江臺(tái)州·高二期末）已知點(diǎn)為的外接圓圓上一點(diǎn)（不與、重合），且線段與邊相交于一點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若為線段與邊交點(diǎn)，則且，由題設(shè)，在的邊外側(cè)，如上圖中上，令，則，而，所以，當(dāng)變大時(shí)，外接圓半徑趨向無窮大，此時(shí)可趨向無窮大，綜上，的取值范圍為.故選：B6．（2024·湖南·永州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為2，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)向量與的夾角為由，可得，即，即關(guān)于恒成立則，即故向量在方向上投影故選：A7．（2024·全國·高一期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；，解得：，，即.故選：B.8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設(shè)AD交BC于E，且，由B,E,C三點(diǎn)共線可得：，∴，∴.設(shè)，則，∴.又，∴，∴.故選：B.9．（2024·上?！らh行中學(xué)高一階段練習(xí)）向量集合，對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，則稱為“類集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若為“類集”，則集合（為實(shí)常數(shù)）也是“類集”；②若、都是“類集”，則集合也是“類集”；③若、都是“類集”，則也是“類集”；④若、都是“類集”，且交集非空，則也是“類集”．其中正確的命題有（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】D【詳解】①若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，對(duì)于集合（為實(shí)常數(shù)），可得對(duì)于隨意，以及隨意都有，故正確；②若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，可得對(duì)于隨意，以及隨意，都有，故正確；③若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，設(shè)，為中元素的合并而得，且不重復(fù)，不符合“類集”的定義，故錯(cuò)誤；④若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，若為“類集”，則對(duì)于隨意，，以及隨意，都有，設(shè)，為中元素的公共部分，且不為空集，符合“類集”的定義，故正確；故選：D.10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊的重心與外心，已知、，且．則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E______；【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，則的重心，∵是不等邊三角形，∴，再設(shè)的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴，∵點(diǎn)N是的外心，∴，即，化簡(jiǎn)整理得軌跡E的方程是.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌