數(shù)學歸納法

教學目標

1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力.

2.了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學歸納法的操

作步驟.

3.抽象思維和概括能力進一步得到提高.

教學重點與難點

重點：歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析.

難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解.

教學過程設(shè)計

（~）引入

師：從今天開始，我們來學習數(shù)學歸納法.什么是數(shù)學歸納法呢？應(yīng)該從認

識什么是歸納法開始.

（板書課題：數(shù)學歸納法）

（-）什么是歸納法（板書）

師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點.

問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，

請問怎么辦？

（可準備一袋白球、問題用小黑板或投影幻燈片事先準備好）

生：把它倒出來看一看就可以了.

師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性.順序操作怎么做?

生：一4"一個拿，拿一個看一個.

師：對.問題的結(jié)果是什么呢？

（演示操作過程）

第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：

這一袋球都是白球.

問題2：在數(shù)列｛a.｝中，a】=l,（n€N+）,先計算

a”a3,alo的值，再推測通項a0的公式.（問題由小黑板或投影幻燈片給

出）

生：a?=q，a?=；,a4=：.由此得到：2門=4（n€N+）.

N54n

師：同學們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸

納法有什么特點嗎？

生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.

特點是由特殊f一般（板書）.

師：很好！其實在中學數(shù)學中，歸納法我們早就接觸到了.例如，給出數(shù)列

的前四項，求它的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公

式用的也是歸納法，今后的學習還會看到歸納法的運用.

在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者

依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法.

還應(yīng)該指出，問題1和問題2運用的歸納法還是有區(qū)別的.問題1中，一共

12個球，全看了，由此而得到了結(jié)論.這種把研究對象一一都考查到了而推出

結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.對于問題2,由于自然數(shù)有無數(shù)個，用完全歸納

法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項體現(xiàn)的規(guī)律，進行推測，得出結(jié)論的，這

種歸納法稱為不完全歸納法.

（三）歸納法的認識（板書）

歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）.

師：用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研

究問題3.

問題3：對于任意自然數(shù)n,比較與6（7n+9）的大小.（問題由小黑板

或投影幻燈片給出）

（給學生一定的計算、思考時間）

生：經(jīng)過計算，我的結(jié)論是：對任意ndN.,7n-3<6（7n+9）.

師：你計算了幾個數(shù)得到的結(jié)論？

生：4個.

師：你算了n=l,n=2,n=3,n=4這4個數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧？

生：對.

師：有沒有不同意見？

生:我驗了n=8,這時有7"3>6（7n+9）,而不是7、V6（7n+9）.他的結(jié)

論不對吧！

師：那你的結(jié)論是什么呢？

(動員大家思考，糾正)

生：我的結(jié)論是：

當n=l,2,3,4,5時,3V6(7n+9)；

當n=6,7,8,…時，7"3>6(7n+9).

師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測.請把你們計

算結(jié)果填入下表內(nèi)：

jn-3大小關(guān)系6()

1

n=l<96

49

1

n=2<138

7

n=31<180

n=47<222

n=549<264

n=6343>306

n=72401>348

師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜.要注意對數(shù)據(jù)作出謹慎地分析.由上表

可看到，當n依1,2,3,4,…變動時，相應(yīng)的7日的值以后一個是前一個的7

倍的速度在增加，而6(7n+9)相應(yīng)值的增長速度還不到2倍.完全有理由確認,

當n取較大值時，7"3>6(7n+9)會成立的.

師：對問題3推測有誤的同學完全不必過于自責，接受教訓(xùn)就可以了.其實

在數(shù)學史上，一些世界級的數(shù)學大師在運用歸納法時，也曾有過失誤.

資料1(事先準備好，由學生閱讀)

費馬(Fermat)是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一,

是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也

有許多貢獻.

但是，費馬曾認為，當nGN時，2竊+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0,1,2,

3,4作了驗證后得到的.

18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了225+1=4294967297=6700

417X641,從而否定了費馬的推測.

師：有的同學說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的.但

是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上！

再請看數(shù)學史上的另一個資料(仍由學生閱讀)：

資料2

f(n)=n2+n+41,當ndN時，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？

f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,

f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,

f(10)=151,…f(39)=1601.

但是f(40)=1681=4〃是合數(shù)

師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說

世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而

是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來.

師：歸納法為什么會出錯呢？

生：完全歸納法不會出錯.

師：對！但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢？

生：由于用不完全歸納法時，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份.

師：完全同意.那么怎么辦呢？

生：應(yīng)該予以證明.

師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)

接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準.對于數(shù)學問題，應(yīng)尋求數(shù)學

證明.

（四）歸納與證明（板書）

師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考.

生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了.

師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證

明.數(shù)學上稱這種證法為窮舉法.它體現(xiàn)了分類討論的思想.

師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這

袋球全是白球，那么怎么證明呢？

（稍作醞釀，使學生把注意力更集中起來）

師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學史上也經(jīng)歷了多年的醞

釀.第一個正式研究此課題的是意大利科學家莫羅利科.他運用遞推的思想予以

證明.

結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球.

然后再構(gòu)造一個命題予以證明.命題的條件是:“設(shè)某一次拿出來的是白球”,

結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”.

這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而

是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性.

大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？

生：是.第一次拿出的是白球已確認，反復(fù)運用上述構(gòu)造的命題，可得第二

次、第三次、第四次、……拿出的都是白球.

師：對.它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想

得到了證明.

生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？

生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排.

生：再例如多米諾骨牌游戲.

（有條件可放一段此種游戲的錄相）

師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：

（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；

（2）第一張牌被推倒.

用這種思想設(shè)計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證

明方法就是數(shù)學歸納法.

（五）數(shù)學歸納法（板書）

師：用數(shù)學歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？

生：先證n=l時，公式成立（第一步）；

再證明：若對某個自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n=k+l）公

式也成立（第二步）.

師：這兩步的證明自己會進行嗎？請先證明第一步.

生：當n=l時，左式=al=l,右式=；=1.此時公式成立.

(應(yīng)追問各步計算推理的依據(jù))

師：再證明第二步.先明確要證明什么？

生：設(shè)n=k時，公式成立，即ak='.以此為條件來證明n=k+1

K

時，公式也成立，即ak+i=U也成立.

師：應(yīng)注意，這里是證明遞推關(guān)系成立，證明2*+1=占成立時，

必須用到=(這個條件.

生：依已知條件，

師：于是由上述兩步，命題得到了證明.這就是用數(shù)學歸納法進行證明的基

本要求.

師：請小結(jié)一下用數(shù)學歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟.

生：共兩步(學生說，教師板書)：

(1)n=l時，命題成立；

(2)設(shè)11=1;時命題成立，則當n=k+l時，命題也成立.

師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立.例如，對于問題3推測

得的命題：當n=6,7,8,…時，7—>6(7n+9).第一步應(yīng)證明n=6時，不等

式成立.

（若有時間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時間可布置學生課下思

考）

（六）小結(jié)

師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：

（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法.

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法.分完全歸納法和不完全歸納

法二種.

（3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，

證明可用數(shù)學歸納法進行.

（4）數(shù)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，

它的操作步驟必須是二步.

數(shù)學歸納法在數(shù)學中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學習.

（七）課外作業(yè)

（1）閱讀課本P112?P115的內(nèi)容.

（2）書面作業(yè)P115練習：1,3.

課堂教學設(shè)計說明

1.數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方

法.它的操作步驟簡單、明確，教學重點應(yīng)該是方法的應(yīng)用.但是我們認為不能

把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練.對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮

重重.為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可.你怎么知

道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受.學完了數(shù)

學歸納法的學生又往往有應(yīng)該用時但想不起來的問題，等等.為此，我們設(shè)想強

化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識

當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來.這樣不僅使學生可

以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的

基礎(chǔ)，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的

教學的重要補充，也是引導(dǎo)學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機.

數(shù)學歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對

不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結(jié)束.第二

階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到

歸納出二個步驟結(jié)束.

把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實

質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內(nèi)容中的數(shù)學思

想的一種嘗試.

2.在教學方法上，這里運用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法.目

的是在于加強學生對教學過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度，教

師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥.學生的思維參與往