南岳區(qū)一中高三第三次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1已知集合4=k050”,411270"},B={X|X2+X=O),貝必門8為()

A{0,-1}B,{-1,1}C.{-1}D.{0}

21

2設(shè)3"=4"=36,則—I—=)

ab

5

A1B.log5C.log6D.

656

3若曲線y=e”在x=l處的切線與直線2元+根y+l=O垂直,則〃?)

C.二2

A—1cB.2eD.-

ee

已矢口工￡（一；7|1＞0）且?05工=：,貝!]1@112x

4

2

724

AD.

247

5、在AA5C中，若asinA=Z?sinB,則AA3C的形狀是（)

A、等邊三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、鈍角三角形

6、已知向量1=(2,4),3=(—1,1),貝1」2々一3=()

A、(5,9)B、(5,7)C、(3,9)D、(3,7)

7.設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的前n項和為S“，己知S,=5,S6=15,則S9=（)

A.35B.30C.25D.15

y<2

8.已知變量x,y滿足約束條件＜x+y>1,則z=3x+y的最大值為()

x-y<\

A12B.11C.3；D.-1

9下列命題中真命題是（）

A若卅，則

B若加ua9nuajnH則a〃6；

C若加ua：2aq私〃是異面直線，那么〃與a相交;

D若=則〃〃a且獻(xiàn)/￡

10.若。＜匕＜0,下列不等式成立的是()

b11

A.a2<b-B.a2<ahC.—V1D.—<—

aab

11.圓(x+l)2+(y-4)2=25被直線4x-3y-4=0截得的弦長是()

(A)3(B)4(C)6(D)8

12、由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛%｝中，若%44=3"，則sinQogsq+log3?2+???+log3tz7）

的值為（）

V3

B、~TC、1

二、填空題

XV

13.已知R、W為橢圓一+乙=1的兩個焦點，過R的直線交橢圓于A、B兩點,若

259

后.+怩卻=12,則怙0=o

14.已知正四面體A8CD中，E是A3的中點，則異面直線CE與3。所成角的余弦值為

15.函數(shù)/（幻=1+30?+3［（Q+2）X+1］有極值，則a的取值范圍是—

16.函數(shù)/（X）=xcosx在點（4,-乃）處的切線方程是

三、解答題

17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=J^（sinx+cos尤）cos龍———；

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)xe［0,匕77r］時，求函數(shù)/（x）的值域.

18.（本小題滿分12分）已知橢圓x2/■+V方=1（。＞。＞0）經(jīng)過點A（0,4）,離心率為3：；

（1）求橢圓C的方程；

4

（2）求過點（3,0）且斜率為一的直線被C所截線段的中點坐標(biāo).

5

2

19.已知四邊形ABCD滿足AO〃3C,BA=AD=DC=-BC=a,E是3c的中點，將

2

MAE沿著AE翻折成AAAE,使面與AE_L面AECD,￡G分別為用。，AE的中點.

（1）求三棱錐E-ACg的體積；

（2）證明：々E〃平面ACE；

（3）證明：平面4GO_L平面

20.某產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100t,平均分成若干批生產(chǎn)。設(shè)每批生產(chǎn)需要投入

固定費用75元，而每批生產(chǎn)直接消耗的費用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比，已知每批生產(chǎn)10t

時，直接消耗的費用為300元（不包括固定的費用）。

（1）若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t,求此產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期的總費用（固定費用和直接消耗的費用）。

（2）設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt,一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總費用y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求

出y的最小值。

21.2知函數(shù)y(x)=exsinx

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)XG0,-時，f(x)>kx,求實數(shù)上的取值范圍.

X=5H---1

22.已知直線/：I2(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

y=-j3+—t

I2

坐標(biāo)系，曲線C的坐標(biāo)方程為夕=2cos6.

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5,6),直線］與曲線C的交點為A,B,求的值.

4

答題卷

班次姓名學(xué)號

一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號123456789101112

答案

二、填空題（每小題5分，共20分）

13＞14、15、16.

三、解答題（12+12+12+12+12+10=70分）

17.（本小題滿分12分）己知函數(shù)/（X）=J^（sinx+cosx）cosx———；

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

7乃

（2）當(dāng)xe[0,時，求函數(shù)/（x）的值域.

v3

18.（本小題滿分12分）已知橢圓二+二=1（。＞。＞0）經(jīng)過點A（0,4）,離心率為1；

a-b5

（1）求橢圓C的方程；

4

（2）求過點（3,0）且斜率為1■的直線被C所截線段的中點坐標(biāo).

19.已知四邊形ABCD滿足AO〃3C,BA=AD=DC=-BC=a,E是3c的中點，將

2

MAE沿著AE翻折成AAAE,使面與AE_L面AECD,￡G分別為用。，AE的中點.

(1)求三棱錐E-ACg的體積；

(2)證明：々E〃平面ACE；

(3)證明：平面4GO_L平面

20.某產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為1003平均分成若干批生產(chǎn)。設(shè)每批生產(chǎn)需要投入

固定費用75元，而每批生產(chǎn)直接消耗的費用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比，已知每批生產(chǎn)10t

時，直接消耗的費用為300元(不包括固定的費用)。

(1)若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t,求此產(chǎn)品在一個生產(chǎn)周期的總費用(固定費用和直接消耗的費用)。

(2)設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt,一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總費用y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求

出y的最小值。

6

21.2知函數(shù)y(x)=exsinx

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)XG0,-時，f(x)>kx,求實數(shù)上的取值范圍.

X=5H---1

22.已知直線/：{2(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

V\/34—t

I2

坐標(biāo)系，曲線C的坐標(biāo)方程為夕=2cos8.

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5,6)，直線/與曲線C的交點為A,B,求IMAHMBI的值.

8

答卷

1.c

【解析】

試題分析：A={cos0",sin270°}={-1,1},B={X|X2+X=0}={0,-1},AAAB={-1}.

考點：集合的交集運算.

2.A

【解析】

試題分析：因為3"=4"=36,由指數(shù)化對數(shù)可得"=l°g336/=log436,所以

2111

---F-=----------+----------

ablog^36陶36a=l,由換底公式可化為：

2121

—?—=----------1-------------=2log3+log4=log9x4=1

ablog36log36363636

34，故選擇A

考點：1.對數(shù)運算法則；2.換底公式

3.B

【解析】

試題分析：y'=",y'|、T=e,所以曲線了="在x=l處的切線斜率為2=e,直線

121

2%+陽+1=0與切線垂直，則2x+〃zy+l=0的斜率應(yīng)為——，所以---二一一（m0）,

eme

所以〃z=2e.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直.

4.D

【解析】

yr43sinx3

試題分析：?.?%￡（---,0）,cosx=—,/.sinx=--,tanx---------=--,

255cosx4

c2tanx24

??tan2x=------------=-------.

1-tanx7

考點：平方關(guān)系、倍角關(guān)系.

5.B

【解析】

試題分析：由題意asinA=Z?sin3,根據(jù)正弦定理有sir?A=sit?8,A,B為三角形內(nèi)角,

因此sinA=sin3,所以A=8或（舍去），故aABC是等腰三角形

考點：正弦定理；三角形形狀的判斷；

6.B

【解析】

試題分析:2a-S=2(2,4)-(-l,l)=(4,8)-(-l,l)=(4+l,8-l)=(5,7).故B正確.

考點：向量的加減法.

7.B

【解析】

試題分析：?.?數(shù)列｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，；.S3，S6-S3，Sg-S6成等差數(shù)列，即5,15-5,$9-15成

等差數(shù)列，

/.2(15-5)=5+(59-15),即怎=30.

考點：等差數(shù)列的性質(zhì).

8.B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，約束條件表示的可行域為以4-1,2),8(3,2),。(1,0)三點為頂點的三角

形區(qū)域，通過觀察可知目標(biāo)函數(shù)z=3x+y在點5(3,2)處取得最大值，代入可求得為11,故

選B.

考點：線性規(guī)劃.

9.A

【解析】

試題分析：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直，所以選項A正

確.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一平面，則這兩個平面平行.顯然選項B錯誤;

若用是異面直線，那么”與a相交或平行，所以選項C錯誤；若

=M〃八叫則"〃a且〃"或n在某一平面內(nèi)，故選項D錯誤；故選A.

考點：判斷命題的真假性.

10.C

【解析】

11

試題分析：若a<6<0,則a2>b~,a2-ab=a(a-b)>0,—>—,所以選項A、B、D均錯

ab

誤.故選C.

考點：比大小.

11.c

【解析】

試題分析：圓5+1)2+(>-4)2=25的圓心為(一1,4),半徑r=5,所以弦長/滿足

百+「-；一4卜25,/=6

考點：直線與圓相交的位置關(guān)系

10

12.B

【解析】

兀

試題分析：由題設(shè)及等比數(shù)列的性質(zhì)得a；=3"即％=35,則

73

sin(log3al+log3a2+…+嘀％)=sin(log3(4?4...4,%))=sin(log36Z4)=sin(log33)=sin—=—

故選B

考點：①等比數(shù)列的性質(zhì)②對數(shù)運算③特殊角的三角函數(shù)值計算

13.8

【解析】

試題分析：由橢圓方程可知/=25,從=9,/=16;々=5力=3,。=4,由橢圓定義可知

國A|+任日+閨周=4a=20,所以AW=8

考點：橢圓方程及定義

【解析】

CEBD

試題分析：如圖，設(shè)正四面體的棱長為2,則CE=6；，cos〈CE,B?！?

國（前-麗）仄麗一仄麗+麗?麗一麗之

2乖）一4百

=所以異面直線CE與3。所成角的余弦值為亞

66

考點：異面直線及其所成的角

15.（』一l）U（2,+8）

【解析】

試題分析：/(幻=3/+6奴+33+2),函數(shù)有極值，等價于.(幻=0有兩個不等實根,

所以△=36/一36(。+2)>0,即/一。一2>0,解得a的取值范圍是(-oo,—l)U(2,+oo).

考點：函數(shù)存在極值的條件.

16.y=—x.

【解析】

試題分析：由題意知，/(x)=cosx-xsinx,所以/(")=cos〃一;rsin乃=-1,所以函

數(shù)y=/(%)在點(/一萬)處的切線方程為：y+?=一(％-4)，即丁=一%.

考點：導(dǎo)數(shù)的基本概念及幾何意義.

3TE

[--+k^,-+k^\,keZ[-l]

17.(1)8'8-2)2-s

【解析】

sin(2x+-)

試題分析：(1)先利用二倍角公式和配角公式將廣(%)化為4,再利用三角函數(shù)的圖

xe[0.—]2x+

象與性質(zhì)進(jìn)行求解；(2)先由,24,得到44-6,再結(jié)合三角函數(shù)的圖象

求其值域.

0

f(x)=-J2(sinx+cosx)?cosx-

試題解析：02

l+cos2x.41

=-72(—sin2x+--------)-----

22

=sin(2x+?)

2x+-三

(1)當(dāng)一2+2knW4W2+2kn(kwZ)時，函數(shù)單調(diào)遞增,

[~—+k7i,—+k7t\

可得函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為88(kGZ).

xe[0.—]2x+-e[-.—]

⑵當(dāng)24時，446,

./(x)e[1:1]

即函數(shù)/(x)的值域為弓

考點：1.二倍角公式；2.配角公式；3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

12

【解析】

試題分析：（1）待定系數(shù)法求橢圓方程；（20先求出直線方程代入橢圓方程，然后由韋達(dá)定理

求出兩根之和，再求出中點橫坐標(biāo)，最后代入直線方程求出中點縱坐標(biāo)即得結(jié)果.

試題解析：（1）因為橢圓經(jīng)過點A,所以b=4.

3c3b29

又因離心率為三，所以上=一；.1一、=一，。=5

5a5a25

22

所以橢圓方程為：—+^-=1

2516

4x2y2

依題意可得，直線方程為y=—。一3）,并將其代入橢圓方程一+2_=1,得

52516

%2—3%—8=0.

（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點坐標(biāo)為（再,必）,（々,必），則由韋達(dá)定理得，玉+%=3,

所以中點橫坐標(biāo)為"乜=3,并將其代入直線方程得，y=--

225

故所求中點坐標(biāo)為

考點：求橢圓方程、直線與橢圓相交求弦的中點坐標(biāo).

3

19.（1）—；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

8

【解析】

試題分析：（1）合理轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點，利用平行四邊形與等邊三角形求得底面面積，利用面

面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，即得高線，進(jìn)而求出體積；（2）利用中位線得到線線平行，再利

用線面平行的判定定理得到線面平行；（3）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明.

試題解析：（1）由題意知，AD〃EC且AO=EC,所以四邊形AOCE為平行四邊形，

AE=DC=a,:.\ABE為等邊三角形，

22

...NAEC=120°,SMEC=-asinl20°=—?1分

連結(jié)用G,則與GJ_AE,又平面耳平面AECD交線

AE,:.BG±平面AECDH5,G=2分

Xv

_v_"。_1V3G2_Y

一%|-=4分

4-ACB|AECT^GSM￡C=-x—ax—<z-=—

jJZ,4o

(2)連接E￡>交AC于。，連接0/，；AEOC為菱形，且尸為用。的中點,

FO//B}E,6分

又gE(Z面4CF,產(chǎn)Ou平面ACF,瓦￡〃平面ACF8分

(3)連結(jié)G。，則DGJ_AE,又8夕_14旦旦606。=6,，4后_1平面3￡0.10分

又AE〃DC,二DCJ?平面,又DCu平面BtDC

二平面BQ。，平面耳。C.12分

考點：1.兒何體的體積：2.線面平行的判定；3.面面垂直的判定.

20.(1)63乃元(2)y=2^22+300x(0<%<100),最小值為3000元

X

【解析】

試題分析：解：(1)設(shè)每批生產(chǎn)直接消耗的費用為W元，則

卬=履2,由題意得300=100攵/=3

當(dāng)x=2O0寸，w=3x2()2=1200,共5ftE,總費用為75x5+1200x5=6375元

(2)若每批產(chǎn)品數(shù)量為“，則需出批，

X

”100100Q27500”八八十

y=75-----1----3x--------F300x(0<x<i10n0m)

xxx

14

>2-300光=3000,且當(dāng)叁犯=300x,

Vxx

即x=5時y取得最小值，最小值為3000元。

考點：基本不等式

點評：本題用到基本不等式：a+h>2^h(a,b>0),它在求最值方面有很好的作用。

TT34

21.(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2^--,2^+—),單調(diào)遞減區(qū)間為

44

37r77r

(2k7r+—,2k7v+—)(左eZ)；(2)(7,1]

44

【解析】

試題分析：(1)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若/'(x)>0,則/(x)在這個區(qū)間內(nèi)

單調(diào)遞增，若/'(x)<0,則/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

(2)若可導(dǎo)函數(shù)/(x)在指定的區(qū)間。上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為/'(力20

(或/'(x)W0)恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

(3)利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式/(x)>g(x)在區(qū)間。上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)

〃(x)=/(x)—g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)〃(力>0,其中

一個重要的技巧就是找到函數(shù)〃(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破

口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式.

試題解析：(I)由于/(x)=/sinx,

f'(x)=exsinx+excosx=e*(sinx+cosx)=^2exsin(x+—).

4

jr7T'冗

當(dāng)x+—￡(2左①2左萬+乃)，即XE(2Z乃---，2左乃+——)時，f*(x)>0；

444

jr37r77r

當(dāng)XH——e(2左"+肛2左"+2?)，即xw(2火〃+——,2k"---)時，f\x)<0.

444

yr37r

.../(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為Qk兀--,2br+—)，單調(diào)遞減區(qū)間為

44

37r77r

(2左萬H----,2左4H-----)(Z￡Z).

44

TT

(H)令g⑴…要使小)能總成立，只需四。,早時

g(x)min2°?對g(x)求導(dǎo)得g'(x)=e*(sinx+cosx)-K

.