2024成都中考數(shù)學第一輪專題復習之第四章第四節(jié)解直角三角形的實際應用知識精練基礎(chǔ)題1.(2023天津)sin45°＋eq\f(\r(2),2)的值等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀，如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的()第2題圖A.南偏西70°方向B.南偏東20°方向C.北偏西20°方向D.北偏東70°方向3.(2023南充)如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩點相距()A.eq\f(x,sinα)米B.eq\f(x,cosα)米C.x·sinα米D.x·cosα米第3題圖4.如圖所示的網(wǎng)格是邊長為1的正方形網(wǎng)格，則cos∠CAB的值為()第4題圖A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),5)5.(2023包頭)如圖源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第5題圖6.(2023十堰)如圖所示，有一天橋高AB為5米，BC是通向天橋的斜坡，∠ACB＝45°，市政部門啟動“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使∠D＝30°，則CD的長度約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()第6題圖A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北師九下P20第2題改編)如圖是某水庫大壩的橫截面示意圖，已知AD∥BC，且AD，BC之間的距離為15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，為提高大壩的防洪能力，需對大壩進行加固，加固后大壩頂端AE比原來的頂端AD加寬了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，則大壩底端增加的長度CF為()第7題圖A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武漢)如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)為2cm.若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是________cm.(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8題圖9.[新考法—跨學科](2022涼山州)如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為________．第9題圖10.[新考法—數(shù)學文化](2023棗莊改編)桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處．如圖所示是桔槔汲水的簡單示意圖，若已知杠桿AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，當點A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點B到水平地面EF的距離為________米．(結(jié)果保留根號)第10題圖11.成都第31屆世界大學生夏季運動會代表建筑主火炬塔，其構(gòu)造設計理念為“大運之光”，塔身整體采用鋼結(jié)構(gòu)制作，造型呈細腰型，底座為直徑約13米的內(nèi)外同心圓環(huán)，內(nèi)環(huán)延伸出4根主管呈螺旋上升型，外環(huán)12根副管與主管反向螺旋上升，象征著十二條太陽光芒螺旋升騰聚集于陽燧，寓意“東進興川之光”．某數(shù)學活動小組利用課余時間測量主火炬塔的高度，在點A處放置高為1米的測角儀AB，在B處測得塔頂F的仰角為30°，沿AC方向繼續(xù)向前行38米至點C，在CD處測得塔頂F的仰角為65°(點A，C，E在同一條直線上)，依據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，求出主火炬塔EF的高度．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)第11題圖拔高題12.[新考法—跨學科](2023甘肅省卷)如圖①，某人的一器官后面A處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測其到皮膚的距離．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖第12題圖①第12題圖②說明如圖②，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠ECN.測量數(shù)據(jù)∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物A處到皮膚的距離．(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)13.雨量監(jiān)測站是一款以物聯(lián)網(wǎng)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代型雨量站，通過這款設備，人們能遠程獲得降雨量的數(shù)據(jù)，并能根據(jù)當?shù)丨h(huán)境氣象判斷出未來雨量情況，從而安排合理的農(nóng)業(yè)作業(yè)．如圖①是雨量監(jiān)測站的實物圖，如圖②是該監(jiān)測站的簡化示意圖，其中支桿AB，CD與支架MN的夾角分別為∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支桿AB與太陽能供電板的夾角∠ABD＝85°，且支桿AB，CD的端點A，C的距離為14cm，支桿CD的端點D到支架MN的水平距離為16cm，求支桿AB，CD的端點B，D之間的距離．(結(jié)果精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，eq\r(3)≈1.73)圖①圖②第13題圖參考答案與解析1.B【解析】原式＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向．3.B【解析】∵在Rt△ABC中，cosα＝eq\f(AB,AC)，∴AC＝eq\f(AB,cosα).∵AB＝x，∴AC＝eq\f(x,cosα).4.B【解析】如解圖，連接BD，在△ABD中，AB＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴cos∠CAB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2\r(5),5).第4題解圖5.D【解析】如解圖，∵兩個正方形的面積分別為1，25，∴兩個正方形的邊長分別為CD＝1，AB＝5，設Rt△ABC的AC邊為x，則x2＋(x＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，∴BC＝4，∴cosα＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).第5題解圖6.D【解析】根據(jù)題意可知，∠BAD＝90°，∠BCA＝45°，AB＝5，∴AC＝AB＝5，在Rt△ABD中，∠D＝30°，∴tan30°＝eq\f(AB,AD)，∴AD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\f(5,tan30°)＝5eq\r(3)，∴CD＝AD－AC＝5eq\r(3)－5≈3.66(米).7.C【解析】如解圖，過點D作DM⊥BC于點M，過點E作EN⊥BC于點N.由題意可知DM＝EN＝15，∵背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，∴eq\f(DM,CM)＝eq\f(5,3)，∴CM＝9.∵DE＝MN＝2，∴CN＝7.∵背水坡EF的坡度i＝3∶4，∴eq\f(EN,NF)＝eq\f(15,7＋CF)＝eq\f(3,4)，解得CF＝13.第7題解圖8.2.7【解析】如解圖，過點B作BD⊥OA于點D，過點C作CE⊥OA于點E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝eq\f(CE,OE)≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm.第8題解圖9.eq\f(4,3)【解析】由平面鏡反射知識可知α＝∠A＝β＝∠B，∴tanα＝tanB＝eq\f(OD,BD).易知△ACO∽△BDO，∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).∵CD＝12，∴OD＝8，∴tanα＝tanB＝eq\f(4,3).10.(3＋eq\r(2))【解析】如解圖，過點O作OC⊥BT，垂足為C，由題意得BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)(米).∵OM＝3米，∴此時點B到水平地面EF的距離＝BC＋OM＝(3＋eq\r(2))米．第10題解圖11.解：如解圖，設BD的延長線與EF交于點G，由題意可得∠FDG＝65°，∠FGD＝90°，∴∠DFG＝25°.AB＝CD＝EG＝1米，AC＝BD＝38米，設FG＝x米，在Rt△BFG中，∠FBG＝30°，tan30°＝eq\f(FG,BG)＝eq\f(x,BG)＝eq\f(\r(3),3)，解得BG＝eq\r(3)x，在Rt△DFG中，∠DFG＝25°，tan25°＝eq\f(DG,FG)＝eq\f(DG,x)≈0.47，解得DG＝0.47x，∴BD＝BG－DG＝eq\r(3)x－0.47x＝38，解得x≈30，∴EF＝FG＋EG＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF的高度約為31米．第11題解圖12.解：如解圖，過點A作AF⊥MN，垂足為點F，設BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm.在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF·tan35°≈0.7xcm.在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF·tan22°≈0.4(x＋9)cm，∴0.7x＝0.4(x＋9)，解得x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4cm，∴新生物A處到皮膚的距離約為8.4cm.第12題解圖13.解：如解圖，過點B作BE⊥MN于點E，過點D分別作DF⊥MN于點F，作DG⊥BE于點G，則易得四邊形DGEF是矩形，DF＝16cm，∴EF＝DG，DF＝GE.在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，tan∠DCF＝eq\f(DF,CF)，∴CF＝eq\f(DF,tan∠DCF)＝eq\f(16,tan30°)＝eq\f(16,\f(\r(3),3))＝16eq\r(3)cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°