專題07拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市第五十四中學(xué)高二月考）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是A．5 B．8 C． D．2．(2023·上海青浦·二模）點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“友善點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．直線上的所有點(diǎn)都是“友善點(diǎn)”B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“友善點(diǎn)”C．直線上的所有點(diǎn)都不是“友善點(diǎn)”D．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“友善點(diǎn)”3．已知橢圓，拋物線焦點(diǎn)均在x軸上，的中心和頂點(diǎn)均在原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則的左焦點(diǎn)到的準(zhǔn)線之間的距離為3-240-4A． B． C．1 D．24．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值是（）A． B．2 C． D．5．(2023·上海·華師大二附中高三月考）設(shè)拋物線C：()，若對于任意實(shí)數(shù)y，總有(等號(hào)可以取到)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．(2023·上?！じ裰轮袑W(xué)三模）已知拋物線、的焦點(diǎn)都為，的準(zhǔn)線方程為，的準(zhǔn)線方程為，與相交于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的方程為（）A． B． C． D．7．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)為①圓的面積為；②橢圓的長軸為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對稱曲線上一點(diǎn)，則的最小值是A．2 B． C． D．二、填空題9．(2023·上海虹口·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為此拋物線上的異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，且，則______.10．(2023·上海松江·一模）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.11．(2023·上海嘉定·一模）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，雙曲線：的左頂點(diǎn)為，若雙曲線C的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的焦距為____________.12．(2023·上海金山·一模）已知???…?是拋物線上不同的點(diǎn)，點(diǎn)，若，則___________13．已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為__________．14．(2023·上海·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足方程，當(dāng)時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)，則拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為________.15．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________．16．我們知道：用平行于圓錐母線的平面(不過頂點(diǎn))截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，?是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于__________.17．已知點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為__________18．某河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬度為8米，一平板船寬4米，載貨后平板船露在水面上部分的高均為1米，為了保證平板船能順利通航，問水面最多上漲__________米．19．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）若點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則__________.20．(2023·上海徐匯·高二期末）拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則實(shí)數(shù)________________．三、解答題21．(2023·上海·高一期末）如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),使得,延長到點(diǎn),使得（1）當(dāng)時(shí),求；（2）求點(diǎn)的軌跡方程.22．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為．觀測點(diǎn)實(shí)時(shí)跟蹤航天器．（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程（只需求出曲線方程即可，不必求范圍）；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測點(diǎn)測得離航天器的距離為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？23．(2023·上海·高三專題練習(xí)）已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B(0，8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.24．(2023·上海靜安·二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)、，并且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．25．(2023·上海楊浦·二模）焦點(diǎn)為的拋物線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線記為，是曲線上一動(dòng)點(diǎn).（1）若在拋物線上且滿足，求直線的斜率；（2）是軸上一定點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)在上滿足的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）是曲線上另一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若的面積為4，求線段的長.26．(2023·上海徐匯·高二期末）年月，在美麗的崇明島舉辦第十屆中國花卉博覽會(huì)，主辦方準(zhǔn)備舉行花車巡游活動(dòng)，巡游花車必須通過一個(gè)拋物線型的拱門，已知拱圈最高點(diǎn)距地面米，拱圈兩最低點(diǎn)的距離為米，花車的設(shè)計(jì)寬度和高度分別為米和米，現(xiàn)主辦方準(zhǔn)備在花車上搭建一個(gè)和花車同寬度的舞臺(tái)供演員表演，求所搭建舞臺(tái)的最大高度.27．(2023·上海閔行·一模）如圖，某飛行器研究基地E在指揮中心F的正北方向4千米處，小鎮(zhèn)A在E的正西方向8千米處，小鎮(zhèn)B在F的正南方向8千米處.已知一新型飛行器在試飛過程中到點(diǎn)F和到直線AE的距離始終相等，該飛行器產(chǎn)生一定的噪音污染，距離該飛行器1千米以內(nèi)（含邊界）為10級噪音，每遠(yuǎn)離飛行器1千米，噪音污染就會(huì)減弱1級，直至0級為無噪音污染（飛行器的大小及高度均忽略不計(jì)）.(1)判斷該飛行器是否經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)O，并判斷小鎮(zhèn)A是否會(huì)受到該飛行器的噪音污染？(2)小鎮(zhèn)B受該飛行器噪音污染的最強(qiáng)等級為多少級？28．(2023·上?！?fù)旦附中模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程.專題07拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市第五十四中學(xué)高二月考）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是A．5 B．8 C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)拋物線的定義可知到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小,進(jìn)一步求的最小值，為圓心到焦點(diǎn)的距離減去圓的半徑．【詳解詳析】設(shè)圓心為，則，半徑，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)，據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離之和為.故選D.【名師指路】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．2．(2023·上海青浦·二模）點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“友善點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．直線上的所有點(diǎn)都是“友善點(diǎn)”B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“友善點(diǎn)”C．直線上的所有點(diǎn)都不是“友善點(diǎn)”D．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“友善點(diǎn)”【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】設(shè)，由，表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由A，B都在拋物線上，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，利用判別式法判斷.【詳解詳析】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)锳，B都在拋物線上，所以，消去n得，因?yàn)?，所以方程恒有?shí)數(shù)解，故選：A3．已知橢圓，拋物線焦點(diǎn)均在x軸上，的中心和頂點(diǎn)均在原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則的左焦點(diǎn)到的準(zhǔn)線之間的距離為3-240-4A． B． C．1 D．2【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由題意可知,橢圓和拋物線的方程都是標(biāo)準(zhǔn)方程,由表格中的數(shù)據(jù)驗(yàn)證可知點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上,兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上,由此可求得拋物線和橢圓的方程,再求得拋物線的準(zhǔn)線和橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo),從而可得答案.【詳解詳析】由表格中的數(shù)據(jù)可知,拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上,設(shè)拋物線,當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),可得,解得,當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),可得,解得,當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),可得,解得,因?yàn)檫@三個(gè)點(diǎn)中,有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上,所以只能是點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上,所以,所以拋物線的方程為,其準(zhǔn)線方程為,所以另外兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上,依題意設(shè)橢圓的方程為,將代入可得,,,解得,所以橢圓的方程為,其左焦點(diǎn)為,所以的左焦點(diǎn)到的準(zhǔn)線之間的距離為,故選:B.【名師指路】本題考查了求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的準(zhǔn)線和橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于中檔題.4．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值是（）A． B．2 C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【詳解詳析】依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P'，拋物線的焦點(diǎn)為F，A（0，-1）．則F（1，0），依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，-1）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和，d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案為：【名師指路】本題考查拋物線的定義，考查求距離和，解題的關(guān)鍵是點(diǎn)P到點(diǎn)（0，-1）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)（0，-1）的距離與P到焦點(diǎn)F的距離之和.5．(2023·上海·華師大二附中高三月考）設(shè)拋物線C：()，若對于任意實(shí)數(shù)y，總有(等號(hào)可以取到)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】把拋物線C的方程配方，根據(jù)條件確定b值，經(jīng)平移得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，由此即可作答.【詳解詳析】由得，因，總有(等號(hào)可以取到)，則有，拋物線C的方程為，拋物線C可視為拋物線，即右移兩個(gè)單位而得，而拋物線的焦點(diǎn)為，所以拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A6．(2023·上海·格致中學(xué)三模）已知拋物線、的焦點(diǎn)都為，的準(zhǔn)線方程為，的準(zhǔn)線方程為，與相交于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的方程為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)拋物線的定義可以判定M,N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等，結(jié)合圖形可知，直線MN的傾斜角為60°且經(jīng)過原點(diǎn).【詳解詳析】如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得M，N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離都等于到焦點(diǎn)的距離，故M,N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等，結(jié)合圖形可知，直線MN是直線與y軸的角平分線上的點(diǎn)，由于直線是過原點(diǎn)且傾斜角為30°的直線，由圖可知，直線MN的傾斜角為60°，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故直線MN的方程為,故選：B.【名師指路】本題考查拋物線的定義，關(guān)鍵是利用拋物線的定義得到M,N直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等.7．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)為①圓的面積為；②橢圓的長軸為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，求出截面圓的半徑即可判斷①；由勾股定理求出橢圓長軸可判斷②；建立坐標(biāo)系，求出的關(guān)系可判斷③；建立坐標(biāo)系，求出拋物線方程，可判斷④.【詳解詳析】①點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，截面的半徑，因此面積，故①正確；②由勾股定理可得橢圓的長軸為，故②正確；③在與底面、平面的垂直且過點(diǎn)的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即，把點(diǎn)代入可得，解得，設(shè)雙曲線兩漸近線的夾角為，，③不正確；④建立直角坐標(biāo)系，不彷設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,把點(diǎn)代入可得，解得，拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，④不正確，故選B.【名師指路】本題通過對多個(gè)命題真假的判斷，綜合考查圓錐的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、雙曲線的性質(zhì)，拋物線的方程與性質(zhì)，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.8．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對稱曲線上一點(diǎn)，則的最小值是A．2 B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱得到曲線方程，設(shè)，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到答案.【詳解詳析】設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，曲線為，設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故的最小值為.故選：D.【名師指路】本題考查了圓關(guān)于直線對稱，拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，應(yīng)用能力.二、填空題9．(2023·上海虹口·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為此拋物線上的異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，且，則______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)拋物線的定義和題設(shè)條件化簡得到，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解詳析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)椋鶕?jù)拋物線的定義，可得，又因?yàn)?，可得，即，所以，解?故答案為：.10．(2023·上海松江·一模）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】5【思路指引】根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離即可求解.【詳解詳析】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離.故答案為：11．(2023·上海嘉定·一模）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，雙曲線：的左頂點(diǎn)為，若雙曲線C的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的焦距為____________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用拋物線焦點(diǎn)弦公式求得，從而得的坐標(biāo)，由題意得的坐標(biāo)，再計(jì)算直線的斜率，又因?yàn)殡p曲線漸近線方程，由兩直線垂直列式求解，從而得雙曲線的焦距.【詳解詳析】由拋物線定義可知，，得，所以拋物線方程為，則或，設(shè)，由題意得，則，又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線與直線垂直，所以，得，則，所以雙曲線的焦距為.故答案為：12．(2023·上海金山·一模）已知???…?是拋物線上不同的點(diǎn)，點(diǎn)，若，則___________【標(biāo)準(zhǔn)答案】40【思路指引】設(shè)，分別過，作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，利用拋物線的定義可得，從而可求得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)，分別過，作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，???…?是拋物線上不同的點(diǎn)，點(diǎn),準(zhǔn)線為，.,,.故答案為：40.13．已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【詳解詳析】拋物線的準(zhǔn)線為，與圓相切，則，．14．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足方程，當(dāng)時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)，則拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題意可知，圓關(guān)于軸對稱，則，再由題意得出，求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值.【詳解詳析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為.當(dāng)時(shí)，方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)，則該圓圓心到軸上，，得.如下圖所示：則，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.因此，拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為.故答案為.【名師指路】本題考查圓的方程，以及兩點(diǎn)間距離最值的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用圓的對稱性求解，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.15．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.【詳解詳析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則，所以，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：【名師指路】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用，本題較為基礎(chǔ).16．我們知道：用平行于圓錐母線的平面(不過頂點(diǎn))截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，?是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為．由于是母線的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為2，可得．．在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)．可得，代入解出即可．【詳解詳析】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為．是母線的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為2，．．在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)．因?yàn)椋?，解得．．即點(diǎn)為的中點(diǎn)，該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故答案為：．【名師指路】本題考查了圓錐的性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了轉(zhuǎn)變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17．已知點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為__________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】過點(diǎn)P作，垂足為M，利用拋物線定義，把點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和轉(zhuǎn)化為，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.【詳解詳析】由題意知：準(zhǔn)線，焦點(diǎn)如圖所示：過點(diǎn)P作，垂足為M，由拋物線定義，則故當(dāng)PQ∥x軸，取得最小值.故答案為：【名師指路】方法點(diǎn)睛：距離的計(jì)算方法有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.18．某河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬度為8米，一平板船寬4米，載貨后平板船露在水面上部分的高均為1米，為了保證平板船能順利通航，問水面最多上漲__________米．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2.75【思路指引】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，為了保證平板船能順利通航，求出水面的高度即可.【詳解詳析】如圖示建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知：,故,設(shè)拋物線型拱橋?qū)?yīng)的方程為：,把代入解得：，所以.當(dāng)船兩側(cè)與拋物線接觸時(shí)不能通過，設(shè),代入，解得：，因?yàn)槠桨宕对谒嫔喜糠值母呔鶠?米，所以米，所以水面可以上漲5-2.25=2.75米.故答案為：2.75【名師指路】坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，對實(shí)際應(yīng)用題，可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法計(jì)算.19．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）若點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】8【思路指引】計(jì)算，設(shè)，根據(jù)向量運(yùn)算得到，再利用拋物線定義得到答案.【詳解詳析】是拋物線的焦點(diǎn)，則，設(shè)，則，故，.故答案為：820．(2023·上海徐匯·高二期末）拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則實(shí)數(shù)________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)焦半徑公式，可求出，從而得到拋物線方程，把點(diǎn)代入拋物線方程即可求出的值.【詳解詳析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，所以根據(jù)焦半徑公式，得，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線上，所以，所以.故答案為：.三、解答題21．(2023·上海·高一期末）如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),使得,延長到點(diǎn),使得（1）當(dāng)時(shí),求；（2）求點(diǎn)的軌跡方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（）【思路指引】（1）由題意,,,利用數(shù)量積公式求；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn),則的坐標(biāo)可表示出,根據(jù),利用數(shù)量積公式求得和的關(guān)系式,即的軌跡方程.【詳解詳析】解：（1）由題意,，，，（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，（）.，,,（）即為所求.【名師指路】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個(gè)向量的數(shù)量的運(yùn)算，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.22．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為．觀測點(diǎn)實(shí)時(shí)跟蹤航天器．（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程（只需求出曲線方程即可，不必求范圍）；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測點(diǎn)測得離航天器的距離為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）10【思路指引】（1）先設(shè)出拋物線的方程，結(jié)合所經(jīng)過的點(diǎn)列出方程，然后解方程得到參數(shù)的值；（2）先求解變軌時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出即可.【詳解詳析】（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，，∴，∴曲線方程為；（2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知，得，解得或（不合題意，舍去），∴，得或（不合題意，舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，答：當(dāng)觀測點(diǎn)測得離航天器的距離為10時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令．【名師指路】本題主要考查圓錐曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，理解模型，求解模型是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，屬中檔題.23．(2023·上海·高三專題練習(xí)）已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B(0，8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】直線l方程為y=x，拋物線方程為y2=x.分別設(shè)直線和拋物線方程為和，再利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的方法，求對稱點(diǎn)，再代入拋物線方程，求直線和拋物線方程.【詳解詳析】如圖所示，由題意設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0)，且x軸和y軸不是所求直線，又L過原點(diǎn)，因而可設(shè)L的方程為y=kx(k≠0)，設(shè)A′B′分別是A?B關(guān)于L的對稱點(diǎn).A′(x′，y′)關(guān)于y=kx對稱于A(-1，0)則同理B′[]又A′?B′在拋物線C上，所以()2=2p·由此知k≠1，即p=[]2=2p·，由此得p=從而，整理得k2-k-1=0所以所以直線l方程為y=x，拋物線方程為y2=x.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，本題的關(guān)鍵是求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的問題，以及計(jì)算能力.24．(2023·上海靜安·二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)、，并且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）或；（2）【思路指引】（1）求得點(diǎn)，可知圓心在直線上，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求出的值，即可得出所求圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用不等式的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解詳析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，橢圓的左焦點(diǎn)為，圓過點(diǎn)、，圓心在直線上．設(shè)，則圓的半徑為.由，得，解得于是，所求圓的方程為或；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€過橢圓的左焦點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．設(shè)點(diǎn)、，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，．直線的垂直平分線的方程為，令，則.因?yàn)椋怨庶c(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【名師指路】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法（1）函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解．（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的取值范圍．（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍．（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．25．(2023·上海楊浦·二模）焦點(diǎn)為的拋物線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線記為，是曲線上一動(dòng)點(diǎn).（1）若在拋物線上且滿足，求直線的斜率；（2）是軸上一定點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)在上滿足的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）是曲線上另一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若的面積為4，求線段的長.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后就可以求斜率；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表達(dá)出，再根據(jù)滿足最值的條件就可以求出的范圍；（3）討論所在的位置，再結(jié)合面積建立等式就可以求出.【詳解詳析】（1），，∴∴，所以.（2）由得，∴設(shè)，則，由題意最大，所以對稱軸，∴.（3）是的圓心.設(shè)（i）若都位于上，則，(舍)（ii）若都位于上，則①②將①式代入②式，得：或代入①得：或（舍）（iii）若分別位于與上，則，得∴，∴綜上：.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是拋物線定義的使用，二是恒成立時(shí)，取最值的條件，三是要分類討論，并要做正確的取舍.26．(2023·上海徐匯·高二期末）年月，在美麗的崇明島舉辦第十屆中國花卉博覽會(huì)，主辦方準(zhǔn)備舉行花車巡游活動(dòng)，巡游花車必須通過一個(gè)拋物線型的拱門，已知拱圈最高點(diǎn)距地面米，拱圈兩最低點(diǎn)的距離為米，花車的設(shè)計(jì)寬度和高度分別為米和米，現(xiàn)主辦方準(zhǔn)備在花車上搭建一個(gè)和花車同寬度的舞臺(tái)供演員表演，求所搭建舞臺(tái)的最大高