2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習外接球模型延遲符數(shù)學模型2圓柱模型3圓錐模型4面面垂直模型1長方體模型5二面角模型

知識準備：(1)垂面定理(如圖)_____________________；(2)球的表面積公式__________________；(3)球的體積公式_____________________；(4)長方體的長寬高分別為則體對角線的長度為________________；(5)正方體的邊長為

，則體對角線的長度為________________；延遲符1返回目錄延遲符數(shù)學建?！L方體模型返回目錄長方體的長寬高分別為求長方體的體對角即可求得：知識應用——長方體模型例1:已知三棱錐

中，側(cè)棱

，

，

，求三棱錐

的外接球的體積.解：如圖，三棱錐

可補形一個正方體，

則三棱錐

的外接球的半徑為

則三棱錐

的外接球的體積為

返回目錄知識應用——長方體模型例2:在三棱錐

中，

，

求該三棱錐外接球的表面積。解：因為

所以可以將三棱錐

如圖放置于一個長方體中，設(shè)

長方體長，寬，高分別為

返回目錄知識應用——長方體模型變式訓練一1.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為

，求其外接球的表面積。2.三棱椎

的底面

是等腰直角三角形，

，且

，

，求三棱椎

外接球表面積。3.棱長為

的正四面體的頂點在同一球面上，求該球面的表面積。返回目錄延遲符類型1：有一條側(cè)棱垂直于底面、底面是直角三角形或矩形的棱椎都可補形

為正方體或長方體.抽象歸納：補形為正方體、長方體的類型返回目錄延遲符類型2：對棱相等的三棱椎都可補型為正方體或長方體。抽象歸納：補形為正方體、長方體的類型返回目錄注：有一條側(cè)棱垂直于底面的棱椎都可補型為直棱柱.如圖：先將直棱柱放進圓柱中，用______________求出r，再建立勾股定理求出R:_______________________.延遲符圓柱、直棱柱、可補形為直棱柱的統(tǒng)稱為圓柱型正弦定理數(shù)學建?！獔A柱模型返回目錄知識應用——圓柱模型例3:已知三棱錐

中，

，若

，

，求其外接球的表面積。解：在

，由余弦定理得，

設(shè)外接球的半徑為R所以

返回目錄延遲符抽象歸納：有一條側(cè)棱垂直于底面的棱椎都可補型為直棱柱.返回目錄如圖：將棱錐放進圓錐中，用______________求出r，再建立勾股定理__________________________求出R.延遲符正弦定理數(shù)學建?！獔A錐模型返回目錄知識應用——圓錐模型例4:正四棱錐

的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側(cè)棱長為

，求此球的表面積。解：正方形

的對角線的交點為M，則球心在直線SM上，設(shè)球的半徑為

，則有所以球的表面積為返回目錄延遲符抽象歸納：如圖：先將直棱錐放進圓錐中，用______________求出r，再建立勾股定理__________________________求出R.正弦定理返回目錄用______________求出r1r2，再用勾股定理推導得到：__________________________.延遲符正弦定理直觀感知——面面垂直模型返回目錄知識應用——面面垂直模型例5:在三棱錐

中，平面

，

是邊長為

的等邊三角形，

，求該三棱錐外接球的表面積。解：設(shè)球的半徑為R，過C點作CD垂直AB交AB于D點，為DC的三等分點，

為

外接圓的圓心，

連接PD，PD上一點

是

外心。

分別過

，

點作平面ABC,平面PAB的垂線交于O點，即O是外接球的球心。返回目錄延遲符抽象歸納：用______________求出r1r2，再用勾股定理推導得到：__________________________.正弦定理返回目錄如圖：用__________求出

，再建立方程組，求出R.延遲符正弦定理數(shù)學建模——普通二面角模型返回目錄知識應用——二面角模型例6:已知三棱錐

，

，且二面角

的大小為

，求三棱錐

外接球表面積。解:設(shè)

的中心為

，AB的中點為

，AF的中點為

，分別過

做平面P