高二上期第一次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘，滿分：150分留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知純虛數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)且則，再通過復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)，利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】解法一：設(shè)且，則，因?yàn)椋?，所以，故選：A．解法二：，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)學(xué)問，還考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.拋擲一枚質(zhì)地勻整的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事務(wù)，“向上的點(diǎn)數(shù)是”為事務(wù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.與是對(duì)立事務(wù) B.與是互斥事務(wù)C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事務(wù)的關(guān)系求解.【詳解】由題意知，為不行能事務(wù)，表示向上的點(diǎn)數(shù)是，所以，事務(wù)與事務(wù)是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù).故選：B.3.若直線l經(jīng)過點(diǎn)，斜率是，則直線l的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再化為一般式即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，斜率是，所以直線方程為，即，故選：C4.在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，得出平面，由題可知平面，得出，再依據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，再由線面垂直的性質(zhì)得出，從而得出異面直線與所成的角.【詳解】解：如圖，連接，，在正方體中，可知平面，而平面，，又，且，平面，平面，而平面，，即異面直線與所成角的大小是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是異面直線所成角的計(jì)算，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，通過作幫助線以及通過證明線面垂直得出線線垂直是解題的關(guān)鍵.5.已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C6.從，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)，記為，則成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】從，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)，記為，共有個(gè)基本領(lǐng)件，分別為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，記“成立”為事務(wù)，若，則且，所以事務(wù)包含個(gè)基本領(lǐng)件：，，，，，，故其概率為．故選：D7.已知復(fù)數(shù)z滿意，則的最小值為（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)的軌跡為，則問題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，從而即可求解．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)滿意，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．8.如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，有，即此時(shí)周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長(zhǎng)最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題所給的四個(gè)選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.）9.已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說法中正確的是（）A. B.C.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】AD【解析】【分析】由虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判定A正確；依據(jù)虛數(shù)不能比較大小，可判定B不正確；由時(shí)，可判定C不正確；依據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以A正確；對(duì)于B中，依據(jù)虛數(shù)不能比較大小，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以C不正確；對(duì)于D中，依據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：AD.10.下列說法中，正確的有（）A.過點(diǎn)且在，軸截距相等的直線方程為B.直線在y軸的截距是C.直線的傾斜角為120°D.過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A中，設(shè)直線的截距式，然后帶入點(diǎn)坐標(biāo)，并考慮當(dāng)在，軸截距相等時(shí)，存在截距為0的狀況；選項(xiàng)B中，令，即可計(jì)算直線的截距；選項(xiàng)C中，計(jì)算直線的斜率，從而計(jì)算出傾斜角；選項(xiàng)D中，傾斜角為90°，故直線斜率不存在?！驹斀狻繉?duì)于A，因?yàn)檫^點(diǎn)且在，軸截距相等的直線方程還包括直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以直線在y軸的截距是，故B正確；對(duì)于C，直線，所以傾斜角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橹本€的傾斜角為90°，則斜率不存在，且直線過點(diǎn)，所以直線方程為，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】對(duì)直線方程不同形式進(jìn)行考查，同時(shí)涉及到斜率、傾斜角和截距的定義。11.在一款色調(diào)三原色（紅、黃、青）的顏色傳輸器中，信道內(nèi)傳輸紅色、黃色、青色信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.當(dāng)發(fā)送紅色信號(hào)時(shí)，顯示為黃色的概率為，顯示為青色的概率為；當(dāng)發(fā)送黃色信號(hào)時(shí)，顯示為青色的概率為，顯示為紅色的概率為；當(dāng)發(fā)送青色信號(hào)時(shí)，顯示為紅色的概率為，顯示為黃色的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽蛢纱蝹鬏敚瑔未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，兩次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送2次.顯示的顏色信號(hào)須要譯碼，譯碼規(guī)則如下：當(dāng)單次傳輸時(shí)，譯碼就是顯示的顏色信號(hào)；當(dāng)兩次傳輸時(shí)，若兩次顯示的顏色信號(hào)不同，則譯碼為剩下的顏色信號(hào)，若兩次顯示的顏色信號(hào)相同，則譯碼為顯示的顏色.例如：若顯示的顏色為（紅，黃），則譯碼為青色，若顯示的顏色為（紅，紅），則譯碼為紅色.則下列結(jié)論正確的是（）A.接受單次傳輸方案，若依次發(fā)送紅色、黃色、青色信號(hào)，則依次顯示為青色、青色、紅色的概率為B.接受兩次傳輸方案，若發(fā)送紅色信號(hào)，則依次顯示黃色、黃色的概率為C.接受兩次傳輸方案，若發(fā)送紅色信號(hào)，則譯碼為紅色的概率為D.對(duì)于隨意的，若發(fā)送紅色信號(hào)，則接受兩次傳輸方案譯碼為青色的概率小于接受單次傳輸方案譯碼為青色的概率【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)信號(hào)傳輸規(guī)則及相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算可推斷ABC，利用作差法比較大小可推斷D.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送紅色、黃色、青色信號(hào)，則依次顯示青色、青色、紅色的事務(wù)是發(fā)送紅色信號(hào)顯示青色、發(fā)送黃色信號(hào)顯示青色、發(fā)送青色信號(hào)顯示紅色的3個(gè)事務(wù)的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩次傳輸，發(fā)送紅色信號(hào)，相當(dāng)于依次發(fā)送紅色、紅色信號(hào)，則依次顯示黃色、黃色的事務(wù)是發(fā)送紅色信號(hào)接收黃色信號(hào)、發(fā)送紅色信號(hào)接收黃色信號(hào)的2個(gè)事務(wù)的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，兩次傳輸，發(fā)送紅色信號(hào)，則譯碼為紅色的事務(wù)是依次顯示黃色、青色或青色、黃色的事務(wù)的和，它們互斥，所以所求的概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若接受兩次傳輸，發(fā)送紅色信號(hào)，則譯碼為青色的概率，若單次傳輸發(fā)送紅色信號(hào)，則譯碼為青色的概率，因此，即，D正確.故選：BD.12.在三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)分別在側(cè)面和棱上運(yùn)動(dòng)且為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為B.三棱錐的外接球的表面積為C.點(diǎn)原委面的距離的最小值為D.三棱錐的體積的最大值為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，利用等體積法可求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，對(duì)于B，由題意將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是三棱錐的外接球的直徑，對(duì)于C，由題意可得平面，則，，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，然后求出點(diǎn)到平面的距離，從而可得點(diǎn)原委面的距離的最小值，對(duì)于D，設(shè)球面分別交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，點(diǎn)原委面的距離最大，從而可求出其體積的最大值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓛纱怪保?，所以，，，所以，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于三棱錐外接球的直徑，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)原委面的距離的最小值為，所以C正確，對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)點(diǎn)原委面的距離最大值時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球面分別交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，點(diǎn)原委面距離最大，設(shè)為，則有，得，所以三棱錐的體積的最大值為，所以D錯(cuò)誤，故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三棱錐與球的切接問題，考查立體幾何中點(diǎn)的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是由得到點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，然后逐個(gè)分析推斷，考查空間想象實(shí)力，屬于較難題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則計(jì)算出，從而求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，則的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為：14.直線：，：，若，則________．【答案】2【解析】【分析】由兩直線平行的判定列方程求參數(shù)，留意驗(yàn)證解除重合的狀況.【詳解】由題設(shè)，，則，所以或，當(dāng)，：，：重合，不合題設(shè)；當(dāng)，：，：平行，滿意題設(shè)；故.故答案為：215.經(jīng)過點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線方程為____________.【答案】或【解析】【分析】分別探討經(jīng)過M點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在，設(shè)出方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】①當(dāng)經(jīng)過M點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)M且與原點(diǎn)距離為2的直線為.②當(dāng)經(jīng)過M點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)方程，即.依題意得：，解得，所求直線為.綜上所求直線的方程為或.故答案為：或16.三棱柱各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，側(cè)棱與底面垂直，，，，則這個(gè)球的表面積為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理求得外接圓半徑，繼而求得外接球的半徑，依據(jù)球的表面積公式可求得答案.【詳解】解：設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理得外接圓直徑，所以，所以外接球半徑.所以外接球表面積為，故答案為：.四?解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【解析】【分析】（1）利用兩平行直線間的距離公式干脆求解；（2）依據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)即可.【詳解】（1）依據(jù)平行線間的距離公式,得.（2）由題意可知，因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線垂直，滿意題意.18.某重點(diǎn)高校為了解打算保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類高校生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時(shí)間人數(shù)（1）估計(jì)這名高校生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間中位數(shù)；（2）依據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻數(shù)分布表估計(jì)中位數(shù)的方法干脆求解即可；（2）依據(jù)分層抽樣原則可確定從和兩組中抽取的人數(shù)，接受列舉法可得全部基本領(lǐng)件和滿意題意的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，依據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，這名高校生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)位于之間，則中位數(shù)為.【小問2詳解】由題意知：從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為，從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為；從這人中隨機(jī)抽取人，全部的基本領(lǐng)件為：，共個(gè)基本領(lǐng)件；其中“抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在”包含的基本領(lǐng)件為：，共個(gè)基本領(lǐng)件；抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率.19.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知在圓C外，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入，，求解即可；（2）因?yàn)樵趫AC外，所以，代入求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入，，得，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】解：因?yàn)樵趫AC外，所以，又因?yàn)?，，所以，解得或，所以的取值范圍為?20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，為中點(diǎn)，且.（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，再連接，則有∥，再依據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線為軸、軸、軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接交于，再連接，因?yàn)槭蔷匦?，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以∥，平面，平面,所以∥平面；【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則有，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，所以，取，設(shè)直線與平面所成角為，則有.所以直線與平面所成角的正弦值.21.已知直線交軸正半軸于，交軸正半軸于.（1）為坐