【標(biāo)題】第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算1.了解平均變化率、瞬時變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)（形如f（ax＋b））的導(dǎo)數(shù).1.平均變化率函數(shù)y＝f（x）從x1到x2的平均變化率可表示為f(x2)-f(x1)x2-x1，若Δx＝x2－x1，Δ提醒Δx可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.2.導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（1）函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函數(shù)y＝（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義是在曲線y＝f（x）上點P（x0，y0）處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f'（x0）（x－x0）；（3）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時，y＝f'（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），f'（x）＝limΔ提醒f'（x0）代表函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；（f（x0））'是函數(shù)值f（x0）的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f（x0）是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即（f（x0））'＝0.3.導(dǎo)數(shù)的運算（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)f（x）＝c（c為常數(shù)）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝cosxf（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝exf'（x）＝exf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝axlnaf（x）＝lnxf'（x）＝1f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1（2）導(dǎo)數(shù)的運算法則①函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：若f'（x），g'（x）存在，則有：（?。f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）；（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；（ⅲ）f(x)g(x)'＝f②簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：由函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x）復(fù)合而成的函數(shù)y＝f（g（x）），它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x＝y(tǒng)'u·u'x.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）f'（x0）是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0附近的平均變化率. （）（2）求f'（x0）時，可先求f（x0），再求f'（x0）. （）（3）函數(shù)y＝sinπ4的導(dǎo)數(shù)為y'＝cosπ4. （（4）曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）√2.函數(shù)y＝xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為 （）A.xsinxB.－xsinxC.xcosx D.－xcosx解析：By'＝x'cosx＋x（cosx）'－（sinx）'＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.3.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是 （）A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）B.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）解析：C由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故選C.4.已知函數(shù)f（x）＝x（19＋lnx），若f'（x0）＝20，則x0＝.

解析：f'（x）＝19＋lnx＋x·1x＝20＋lnx，由f'（x0）＝20，得20＋lnx0＝20，則lnx0＝0，解得x0＝1答案：15.曲線y＝x3＋1在點（－1，a）處的切線方程為.

解析：因為（－1，a）在曲線y＝x3＋1上，所以a＝0.令f（x）＝x3＋1，則f'（x）＝3x2，f'（－1）＝3，即切線的斜率k＝3，所以切線的方程為y＝3（x＋1），即y＝3x＋3.答案：y＝3x＋31.奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù).2.熟記以下結(jié)論：（1）1x'＝－1（2）1f(x)'＝－f'(x)（3）[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）.1.一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)為y＝h（t）＝1002t+1，當(dāng)t＝3時，水面下降的速度為 A.－20049cm/sB.200C.－10049cm/s D.100解析：B由結(jié)論2知，h'（t）＝-100(2t+1)'(2t+1)2＝-200(2t+1)2，所以h'（32.觀察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cosx）'＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＝f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（－x）＝.

解析：由結(jié)論1，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g（－x）＝－g（x）.答案：－g（x）導(dǎo)數(shù)的基本概念1.某旅游者爬山的高度h（單位：m）是時間t（單位：h）的函數(shù)，關(guān)系式是h＝－100t2＋800t，則他在2h這一時刻的高度變化的速度是 （）A.500m/h B.1000m/hC.400m/h D.1200m/h解析：Ch'（t）＝－200t＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400（m/h）.2.函數(shù)f（x）＝2x2－3x，則limΔx→0A.－1 B.1C.2 D.－3解析：B由題意有f'（x）＝4x－3，由導(dǎo)數(shù)定義知f'（1）＝limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3.已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)f(4)-f(2)A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4）C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a解析：B從函數(shù)的圖象可知，函數(shù)值在[2，4]上的增長越來越快，故函數(shù)在[2，4]上各點處的斜率也越來越大.因為f(4)-f(2)4-2＝a，所以f'（2｜練后悟通｜求函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟（1）求平均變化率ΔyΔx（2）求瞬時變化率，即取極限limΔx→0Δy提醒函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）反映了函數(shù)f（x）的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了變化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.導(dǎo)數(shù)的運算1.下列求導(dǎo)運算正確的是 （）A.1lnx'＝x B.（x2ex）'＝2x＋C.（xcosx）'＝－sinx D.x-1x'＝解析：D對于A，1lnx'＝－1ln2x·（lnx）'＝－1xln2x；對于B，（x2ex）'＝（x2＋2x）ex；對于C，（xcosx）'＝cosx－xsinx2.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足關(guān)系式f（x）＝x2＋3xf'（2）＋lnx，則f（1）＝.

解析：∵f（x）＝x2＋3xf'（2）＋lnx，∴f'（x）＝2x＋3f'（2）＋1x.令x＝2，得f'（2）＝4＋3f'（2）＋12，則f'（2）＝－94.∴f（1）＝1＋3×1×-94答案：－233.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝x（lnx＋cosx）；（2）y＝sinx（3）y＝xlnx；（4）y＝xsin2x+π解：（1）y'＝lnx＋cosx＋x1x-sinx＝lnx＋cosx－xsin（2）y'＝(cosx+1（3）y'＝12·1xlnx＋x·1x（4）∵y＝xsin2x+π2cos2x+π2＝12xsin（4x＋∴y'＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos｜練后悟通｜函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)遵循的原則（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變換等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）進行導(dǎo)數(shù)運算時，要牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，切忌記錯記混；（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo).提醒當(dāng)函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)（如f'（x0），a，b等），求導(dǎo)時把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用考向1求切線方程【例1】（1）（2021·全國甲卷）曲線y＝2x-1x+2在點（－1（2）（2022·新高考Ⅱ卷）曲線y＝ln｜x｜過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，.

解析（1）y'＝2x-1x+2'＝2(x+2)-(2x-1)(x+2)2＝5(x+2)2，∴y'︱x＝－1（2）先求當(dāng)x＞0時，曲線y＝lnx過原點的切線方程，設(shè)切點為（x0，y0），則由y'＝1x，得切線斜率為1x0，又切線的斜率為y0x0，所以1x0＝y(tǒng)0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切線斜率為1e，切線方程為y＝1ex.同理可求得當(dāng)x＜0時的切線方程為y＝－1ex答案（1）y＝5x＋2（2）y＝1exy＝－1｜解題技法｜求曲線切線方程的步驟（1）求出函數(shù)y＝f（x）在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；（2）由點斜式方程求得切線方程為y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.提醒“過”與“在”：曲線y＝f（x）“在點P（x0，y0）處的切線”與“過點P（x0，y0）的切線”的區(qū)別：前者P（x0，y0）為切點，而后者P（x0，y0）不一定為切點.考向2求切點坐標(biāo)【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（－e，－1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是.

解析設(shè)A（m，n），則曲線y＝lnx在點A處的切線方程為y－n＝1m（x－m）.又切線過點（－e，－1），所以有n＋1＝1m（m＋e）.再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故點A的坐標(biāo)為（e，答案（e，1）｜解題技法｜求切點坐標(biāo)的思路已知切線方程（或斜率）求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo).考向3求參數(shù)的值（范圍）【例3】（1）曲線y＝2x在點（2，1）處的切線與直線y＝ax＋1垂直，則實數(shù)a＝（2）（2022·新高考Ⅰ卷）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是.

解析（1）由題意得，y'＝－2x2，則曲線y＝2x在點（2，1）處的切線的斜率k＝y(tǒng)'︱x＝2＝－222＝－12，又曲線y＝2x在點（2，1）處的切線與直線y＝ax＋1垂直，所以－12a（2）因為y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.設(shè)切點為A（x0，（x0＋a）ex0），O為坐標(biāo)原點，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)'|x=x0＝（x0＋a＋1）ex0＝(x0+a)ex0x0，化簡，得x02＋ax0－a＝0.因為曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，所以關(guān)于x0的方程x02＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得答案（1）2（2）（－∞，－4）∪（0，＋∞）｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進而求出參數(shù)的值或取值范圍.提醒（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上.考向4兩曲線的公切線問題【例4】已知函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝x2＋ax（a∈R），若經(jīng)過點A（0，－1）存在一條直線l與f（x）的圖象和g（x）的圖象都相切，則a＝ （）A.0 B.－1C.3 D.－1或3解析設(shè)直線l與f（x）的圖象相切于點（x1，y1）.因為f（x）＝xlnx，所以f'（x）＝lnx＋1，y1＝f（x1）＝x1lnx1，則直線l的方程為y－y1＝（lnx1＋1）（x－x1），又點A（0，－1）在直線l上，所以－1－x1lnx1＝（lnx1＋1）·（0－x1），解得x1＝1，所以y1＝0，因此直線l的方程為y＝x－1.直線l與g（x）的圖象相切，所以x2＋ax－x＋1＝0，Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.故選D.答案D｜解題技法｜破解兩曲線公切線問題的基本方法（1）利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切，列出關(guān)系式求解；（2）分別設(shè)出公切線與兩曲線的切點P1（x1，f（x1），P2（x2，g（x2）），則有f'（x1）＝g'（x2）＝g(x21.曲線y＝f（x）在點P（－1，f（－1））處的切線l如圖所示，則f'（－1）＋f（－1）＝ （）A.2 B.1C.－2 D.－1解析：C因為切線l過點（－2，0）和（0，－2），所以f'（－1）＝0+2-2-0＝－1，所以切線l的方程為y＝－x－2，令x＝－1，則y＝－1，即f（－1）＝－1，所以f'（－1）＋f（－1）＝－1－1＝－22.若曲線y＝lnx＋x2＋1在點（1，2）處的切線與直線ax＋y－1＝0平行，則實數(shù)a的值為 （）A.－4B.－3C.4 D.3解析：B令f（x）＝lnx＋x2＋1，則f'（x）＝1x＋2x，f'（1）＝3.因為曲線在點（1，2）處的切線與直線ax＋y－1＝0平行，所以f'（1）＝－a＝3，所以a＝－3，故選B3.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝2x－1，設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）－x2，則g（x）的圖象在點（－1，g（－1））處的切線方程為（）A.y＝4x＋2B.y＝－4x－6C.y＝0 D.y＝－2解析：A由題意可得f（1）＝1，f'（1）＝2.由g（x）＝f（x）－x2得，g（－1）＝f（－1）－1＝－f（1）－1＝－2，g'（x）＝f'（x）－2x.因為y＝f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）＝－f（－x），兩邊同時求導(dǎo)得f'（x）＝[－f（－x）]'＝－f'（－x）（－x）'＝f'（－x），則f'（－1）＝f'（1）＝2，所以g'（－1）＝f'（－1）－2×（－1）＝4，所以g（x）的圖象在點（－1，g（－1））處的切線方程為y－（－2）＝4（x＋1），即y＝4x＋2，故選A.1.已知函數(shù)f（x）＝xsinx＋ax，且f'π2＝1，則a＝ （A.0B.1C.2 D.4解析：A因為f'（x）＝sinx＋xcosx＋a，且f'π2＝1，所以sinπ2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝02.（2023·山西測評）已知函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則limΔx→0fA.f'（x） B.f'（2）C.f（x） D.f（2）解析：B因為函數(shù)f（x）可導(dǎo)，所以f'（x）＝limΔx→0f(x+Δ3.已知函數(shù)f（x）＝aex＋x的圖象在點（0，a）處的切線過點（2，5），則a＝ （）A.－1 B.－2C.1 D.2解析：C依題意，f'（x）＝aex＋1，f'（0）＝a＋1，因為函數(shù)f（x）＝aex＋x的圖象在點（0，a）處的切線過點（2，5），所以a＋1＝5-a2-0，解得a＝4.下列求導(dǎo)運算正確的是 （）A.x+3x'＝B.2sinxx2C.[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2D.（2x＋cosx）'＝2xln2－sinx解析：D對于A，x+3x'＝1－3x2，A不正確；對于B，2sinxx2'＝2cosx·x2-2x·2sinx(x2)2＝2xcosx-4sinxx3，B不正確；對于C，[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2·3＝9（3x＋55.已知函數(shù)f（x）＝x2+2x,x≤0,-x2+ax,A.6 B.－2C.－6 D.－8解析：Bf（x）為奇函數(shù)，則f（－x）＝－f（x）.取x＞0，得x2－2x＝－（－x2＋ax），則a＝2.當(dāng)x＞0時，f'（x）＝－2x＋2.∴f'（2）＝－2.6.已知P是曲線y＝－sinx（x∈[0，π]）上的動點，點Q在直線x－2y－6＝0上運動，則當(dāng)｜PQ｜取最小值時，點P的橫坐標(biāo)為 （）A.π4 B.C.2π3 D.解析：C如圖所示，若使｜PQ｜取得最小值，則曲線y＝－sinx（x∈[0，π]）在點P處的切線與直線x－2y－6＝0平行，對函數(shù)y＝－sinx求導(dǎo)得y'＝－cosx，令y'＝12，可得cosx＝－12，∵0≤x≤π，解得x＝2π3.7.若函數(shù)f（x）＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 （）A.（－∞，－6] B.（－∞，－6]∪[2，＋∞）C.[2，＋∞） D.（－∞，－6）∪（2，＋∞）解析：C直線2x－y＝0的斜率k＝2，又曲線f（x）上存在與直線2x－y＝0平行的切線，∴f'（x）＝1x＋4x－a＝2在（0，＋∞）內(nèi)有解，則a＝4x＋1x－2，x＞0.又4x＋1x≥24x·1x＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時取“＝”.∴8.（多選）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），則稱x0是f（x）的一個“巧值點”.下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是 （）A.f（x）＝x2 B.f（x）＝e－xC.f（x）＝lnx D.f（x）＝tanx解析：AC若f（x）＝x2，則f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程顯然有解，故A符合要求；若f（x）＝e－x，則f'（x）＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f（x）＝lnx，則f'（x）＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝1x的圖象（圖略），可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程f（x）＝f'（x）存在實數(shù)解，故C符合要求；若f（x）＝tanx，則f'（x）＝sinxcosx'＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化簡得sinxcosx＝1，變形可得sin2x9.（多選）若直線y＝12x＋b是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，則函數(shù)f（x）可以是 （A.f（x）＝1x B.f（x）＝xC.f（x）＝sinx D.f（x）＝ex解析：BCD直線y＝12x＋b的斜率k＝12，f（x）＝1x的導(dǎo)數(shù)為f'（x）＝－1x2，即切線的斜率小于0，故A不正確；f（x）＝x4的導(dǎo)數(shù)為f'（x）＝4x3，令4x3＝12，解得x＝12，故B正確；f（x）＝sinx的導(dǎo)數(shù)為f'（x）＝cosx，而cosx＝12有解，故C正確；f（x）＝ex的導(dǎo)數(shù)為f'（x）＝ex，令ex＝12，解得x＝－ln2，故D10.設(shè)f（x）＝ln（3－2x）＋cos2x，則f'（0）＝.

解析：因為f'（x）＝－23-2x－2sin2x，所以f'（答案：－211.如圖，y＝f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f（x）在x＝3處的切線，令g（x）＝xf（x），則曲線g（x）在x＝3處的切線方程為.

解析：由題圖可知曲線y＝f（x）在x＝3處的切線斜率等于－13，即f'（3）＝－13.又g（x）＝xf（x），所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x），g'（3）＝f（3）＋3f'（3），由題圖可知f（3）＝1，所以g（3）＝3f（3）＝3，g'（3）＝1＋3×-13＝0，則曲線g（x）在x＝3處的切線方程為y－答案：y－3＝012.設(shè)函數(shù)f（x）＝alnx＋bx3的圖象在點（1，－1）處的切線經(jīng)過點（0，1），則a＋b的值為.

解析：依題意得f'（x）＝ax＋3bx2，于是有f(1)=-1,f'(1答案：013.日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用（單位：元）為c（x）＝4015100-x（80＜x＜100），那么凈化到純凈度為解析：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為c（x）＝4015100-x（80＜x＜100），所以c'（x）＝4015(100-x)2，所以c'（90）＝答案：40.1514.若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx＋b的切線，則b＝.

解析：y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y'＝ex，則曲線y＝ex在x＝0處的切線斜率k＝1，則曲線y＝ex在x＝0處的切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1.設(shè)y＝x＋1與y＝lnx＋b相切的切點為（m，m＋1）.又y'＝1x，則1m＝1，解得m＝1.所以切點坐標(biāo)為（1，2），則2＝b＋ln1，得b＝答案：215.（多選）若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f（x）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A.y＝cosx B.y＝lnxC.y＝ex D.y＝x2解析：AD由題意y＝f（x）具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.對于A，因為f'（x）＝－sinx，存在x1＝π2，x2＝－π2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對于B，因為f'（x）＝1x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對于C，因為f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對于D，因為f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－14，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1.故選16.已知函數(shù)f（x）＝x＋a2x.若曲線y＝f（x）存在兩條過點（2，0）的切線，則a的取值范圍是解析：f（x）＝x＋a2x，f'（x）＝1－a2x2，設(shè)切點坐標(biāo)為x0,x0+a2x0，則切線方程為y－x0－a2x0＝1-a2x02（x－x0）.由切線過點（2，0），可得－x0－a2x0＝1-a2x02（2－x0），整理得2x02＋ax0－a＝0.因為曲線y＝f（x）存在兩條過點（2，0）的切線，所以方程有兩個不等實根，即答案：{a｜a＜－8或a＞0}17.已知函數(shù)f（x）＝x－1＋aex（a∈R，（1）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）相切，求直線l的方程.解：（1）f'（x）＝1－aex，∵曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，∴f'（1）＝1－ae＝0，解得a（2）當(dāng)a＝1時，f（x）＝x－1＋1ex，f'（x）＝1－設(shè)切點為（x0，y0），∵f（x0）＝x0－1＋1ex0＝kx0－1f'（x0）＝1－1ex0＝k①＋②得x0＝kx0－1＋k，即（k－1）（x0＋1）＝0.若k＝1，則②式無解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴直線l的方程為y＝（1－e）x－1.18.已知函數(shù)f（x）＝x2－lnx.（1）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）在函數(shù)f（x）＝x2－lnx的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間12解：（1）由題意可得f（1）＝1，且f'（x）＝2x－1x，所以f'（1）＝2－1＝1，則所求切線方程為y－1＝1×（x－1），即y＝x（2）存在.假設(shè)存在兩點滿足題意，設(shè)切點坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2∈12,1，不妨設(shè)x1＜x2，結(jié)合題意和（1）中求得的導(dǎo)函數(shù)解析式可得2x1-1x12x2-1x2＝－1，又函數(shù)f'（x）＝故－1≤2x1－1x1＜2x2－1x據(jù)此有2解得x1＝12，x2＝1x故存在兩點12,ln2+14，（1第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則：（1）若f'（x）＞0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）若f'（x）＜0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；（3）若恒有f'（x）＝0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù).提醒討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f'（x）＞0. （）（2）如果f（x）在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）＝0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性. （）（3）若函數(shù)f（x）在定義域上都有f'（x）＞0，則f（x）在定義域上一定單調(diào)遞增. （）答案：（1）×（2）√（3）×2.如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下列判斷正確的是 （）A.在區(qū)間（－2，1）上f（x）單調(diào)遞增B.在區(qū)間（1，3）上f（x）單調(diào)遞減C.在區(qū)間（4，5）上f（x）單調(diào)遞增D.在區(qū)間（3，5）上f（x）單調(diào)遞增解析：C在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在區(qū)間（4，5）上單調(diào)遞增.3.函數(shù)y＝4x2＋1x的單調(diào)遞增區(qū)間為.解析：由y＝4x2＋1x（x≠0），得y'＝8x－1x2，令y'＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，∴函數(shù)y＝4x答案：11.若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上遞增，則f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的充要條件是?x∈（a，b），f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.1.（多選）（2023·貴陽一模）下列選項中，在R上是增函數(shù)的有 （）A.f（x）＝x4B.f（x）＝x－sinxC.f（x）＝xex D.f（x）＝ex－e－x－2x解析：BD由f（x）＝x4得f'（x）＝4x3，當(dāng)x＞0時，f'（x）＝4x3＞0，則f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，f'（x）＝4x3＜0，則f（x）單調(diào)遞減，故A不滿足題意；由f（x）＝x－sinx得f'（x）＝1－cosx≥0，顯然f'（x）不恒為零，由結(jié)論2知f（x）＝x－sinx在R上單調(diào)遞增，故B滿足題意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋x）ex，當(dāng)x＞－1時，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜－1時，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減，故C不滿足題意；由f（x）＝ex－e－x－2x得f'（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e-x－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立，顯然f'（x）不恒為零，由結(jié)論2知f（x）＝ex－e－x－2x在R上單調(diào)遞增，故D滿足題意.2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函數(shù)，則a的最大值是.

解析：f'（x）＝3x2－a，由結(jié)論1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），∴a≤3，即a的最大值是3.答案：3證明（判斷）函數(shù)的單調(diào)性【例1】（1）（2022·北京高考·節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝exln（1＋x），設(shè)g（x）＝f'（x），討論函數(shù)g（x）在[0，＋∞）上的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)f（x）＝lnx－a（x＋1），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.解（1）g（x）＝f'（x）＝exln(則g'（x）＝exln(設(shè)h（x）＝ln（1＋x）＋21+x－1(1+x)2，則h'（x）＝11+x－2(1+x)2故h（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，故h（x）≥h（0）＝1＞0，因此g'（x）＞0對任意的x∈[0，＋∞）恒成立，故g（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增.（2）由題意得，f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝1x－a＝1當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1a；令f'（x）＜0，解得x＞1∴f（x）在0,1a上單調(diào)遞增，在綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，f（x）在0,1a上單調(diào)遞增，在｜解題技法｜討論函數(shù)f（x）單調(diào)性的步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f'（x）的正負(fù)，由符號確定f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性.提醒研究含參函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.已知函數(shù)f（x）＝x2+mx+1ex（m≥0），其中解：由題得f'（x）＝－x2+(當(dāng)m＝0，即1－m＝1時，f'（x）＝－(x-1)2ex≤0，f當(dāng)m＞0，即1－m＜1時，令f'（x）＜0得x＜1－m或x＞1，令f'（x）＞0得1－m＜x＜1，∴f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上單調(diào)遞減，在（1－m，1）上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)m＝0時，f（x）在R上單調(diào)遞減，當(dāng)m＞0時，f（x）在R上單調(diào)遞減；f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上單調(diào)遞減，在（1－m，1）上單調(diào)遞增.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】已知函數(shù)f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.解由題可得函數(shù)f（x）的定義域為R，f'（x）＝aex－1，當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f'（x）＝aex-1a，令f'（x）＝0，可得x＝－當(dāng)x＜－lna時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞－lna時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（－lna，＋∞）.｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)方程f'（x）＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f'（x）的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間；（3）若導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f'（x）的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f'（x）的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.提醒若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”隔開.1.函數(shù)f（x）＝x＋3x＋2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（A.（－3，1） B.（0，1）C.（－1，3） D.（0，3）解析：B法一：令f'（x）＝1－3x2＋2x＜0（x＞0），得0＜x＜1，故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）.法二：由題意知x＞0，故排除A、C選項；又f（1）＝4＜f（2）＝72＋2ln2，故排除D選項.故選B2.已知定義在區(qū)間（－π，π）上的函數(shù)f（x）＝xsinx＋cosx，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

解析：f'（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f'（x）＝xcosx＞0（x∈（－π，π）），解得－π＜x＜－π2或0＜x＜π2，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是-π答案：-π,-函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用考向1比較大小【例3】設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒成立，則 （）A.f（1）＜f（－1） B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜ D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜解析設(shè)g（x）＝12[（f（x））2－x2]，則g'（x）＝12[2f（x）f'（x）－2x]＝f（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以g（1）＞g（－1），即12[（f（1））2－1]＞12[（f（－1））2－1]，解得（f（1））2＞（f（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1答案D｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)比較大小的策略利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.考向2解不等式【例4】已知偶函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'（x），當(dāng)x＞0時，f(x)x＞－f'（x），且f（2）＝1，則不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集為A.（－∞，－2）∪（1，＋∞）B.（2，＋∞）C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）D.（－1，2）解析令g（x）＝xf（x），由于f（x）為偶函數(shù)，則g（x）為奇函數(shù)，所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）.因為當(dāng)x＞0時，f(x)x＞－f'（x），即f(x)+xf'(x)x＞0，所以f（x）＋xf'（x）＞0，即g'（x）＞0.所以當(dāng)x＞0時，g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因為g（x）在R上為奇函數(shù)且在R上具有導(dǎo)函數(shù)，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增.因為f（2）＝1，所以g（2）＝2f（2）＝2，又（x2－x）f（x2－x）＞2等價于g（x2－x）＞g（2），所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.綜上所述，答案C｜解題技法｜與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù).一般地，在不等式中如果同時含有f（x）與f'（x），常需要通過構(gòu)造含f（x）與另一函數(shù)的積（或商）的新函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.考向3已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例5】已知函數(shù)f（x）＝lnx－12ax2－2x（a≠0（1）若函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解（1）f（x）＝lnx－12ax2－2x，x∈（0，＋∞所以f'（x）＝1x－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間所以當(dāng)x∈（0，＋∞）時，1x－ax－2＜0有解即a＞1x2－2設(shè)G（x）＝1x2－所以只要a＞G（x）min即可.而G（x）＝1x-1所以G（x）min＝－1.所以a＞－1.即a的取值范圍是（－1，＋∞）.（2）由f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減得，當(dāng)x∈[1，4]時，f'（x）＝1x－ax－2≤0恒成立即a≥1x2－2所以a≥G（x）max，而G（x）＝1x-1因為x∈[1，4]，所以1x所以G（x）max＝－716（此時x＝4所以a≥－716，即a的取值范圍是-｜解題技法｜已知單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟（1）對含參數(shù)的函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得到f'（x）；（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f'（x）≥0恒成立；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；（3）驗證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，則函數(shù)f（x）在（a，b）上為常數(shù)函數(shù)，舍去此參數(shù)值.1.已知函數(shù)f（x）＝xsinx，x∈R，則fπ5，f（1），f-π3的大小關(guān)系為 A.f-π3＞f（1）＞B.f（1）＞f-π3＞C.fπ5＞f（1）＞fD.f-π3＞fπ5＞f解析：A因為f（x）＝xsinx，所以f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsinx＝f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f-π3＝fπ3.又當(dāng)x∈0,π2時，f'（x）＝sinx＋xcosx＞0，所以函數(shù)f（x）在0,π2上是增函數(shù)，所以fπ5＜f（1）＜fπ3，即f-2.設(shè)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝ex－cosx，則不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集為（）A.（－∞，1） B.-∞,C.13,+∞ D.（解析：D根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時，f（x）＝ex－cosx，此時有f'（x）＝ex＋sinx＞0，則f（x）在[0，＋∞）上為增函數(shù)，又f（x）為R上的奇函數(shù)，故f（x）在R上為增函數(shù).f（2x－1）＋f（x－2）＞0?f（2x－1）＞－f（x－2）?f（2x－1）＞f（2－x）?2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集為（1，＋∞）.3.已知函數(shù)f（x）＝－12x2－3x＋4lnx在（t，t＋2）上不單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是.解析：由題意，f（x）＝－12x2－3x＋4lnx的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋4x＝－x2+3x-4x，當(dāng)f'（x）＝0時，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不單調(diào)，且（t，t＋2）?（0，＋∞），∴t答案：[0，1）微專題5構(gòu)造法解f（x）與f'（x）共存問題高考中有這樣一類題型，題目中不是給出具體的函數(shù)解析式，而是給出函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，該類試題具有一定的難度，下面總結(jié)了幾種常見類型及解題方法.一、利用f（x）與xn構(gòu)造函數(shù)【例1】（1）已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（－1）＝0，當(dāng)x＞0時，2f（x）＞xf'（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是；

（2）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，則不等式xf（x）＞0的解集是.

解析（1）構(gòu)造F（x）＝f(x)x2，則F'（x）＝f'(x)·x-2f(x)x3，當(dāng)x＞0時，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出當(dāng)x＞0時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.∵f（x）為偶函數(shù)，y＝x2為偶函數(shù)，∴F（x）為偶函數(shù)，∴F（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增.根據(jù)f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)F（x）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知（2）構(gòu)造F（x）＝xf（x），則F'（x）＝f（x）＋xf'（x），當(dāng)x＜0時，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出當(dāng)x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減.∵f（x）為偶函數(shù)，y＝x為奇函數(shù)，∴F（x）為奇函數(shù)，∴F（x）在（0，＋∞）上也單調(diào)遞減.根據(jù)f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)F（x）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知xf（x）＞0的解集為（－∞，－4）∪（0，4）.答案（1）（－1，0）∪（0，1）（2）（－∞，－4）∪（0，4）點評利用f（x）與xn構(gòu)造函數(shù)：①出現(xiàn)nf（x）＋xf'（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝xnf（x）；②出現(xiàn)xf'（x）－nf（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f(設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1）＝0，當(dāng)x＜0時，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，則不等式f（x）＞0的解集為.

解析：構(gòu)造F（x）＝f(x)x，則F'（x）＝f'(x)·x-f(x)x2，當(dāng)x＜0時，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出當(dāng)x＜0時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增.∵f（x）為偶函數(shù)，y＝x為奇函數(shù)，∴F（x）為奇函數(shù)，∴F（x）在（0，＋∞）上也單調(diào)遞增.根據(jù)f（1）＝0可得F（1）＝0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)F（x）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知f（答案：（－∞，－1）∪（1，＋∞）二、利用f（x）與ex構(gòu)造函數(shù)【例2】（1）已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，則下列判斷一定正確的是（）A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）（2）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f'（x）－2f（x）＞0，f（0）＝1，則不等式f（x）＞e2x的解集為.

解析（1）構(gòu)造F（x）＝f(x)ex，則F'（x）＝exf'(x)-exf(x)e2x＝f'(x)-f(x)ex，由（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，則x＞1時F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)x＜1時F'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減.又由f（2－x）＝f（x）e2－2x?F（2－x）＝F（x）?F（x）關(guān)于x＝1對稱（2）構(gòu)造F（x）＝f(x)e2x，＝f'(x)-2f(x)e2x，函數(shù)f（x）滿足f'（x）－2f（x）＞0，則F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在R上單調(diào)遞增.又∵f（0）＝1，則F（0）＝1，f（x）＞e2x?f(x)e2答案（1）C（2）（0，＋∞）點評利用f（x）與ex構(gòu)造函數(shù)：①出現(xiàn)f'（x）－nf（x）的形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f(x)enx；②出現(xiàn)f'（x）＋nf（x）的形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'（x）＞f（x），對任意正實數(shù)a，下列式子一定成立的是 （）A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）C.f（a）＜f(0)ea D.解析：B令g（x）＝f(x)ex，則g'（x）＝f'(x)ex-f(x)ex(ex)2＝f'(x)-f(x)ex＞0.∴g（x）在R三、利用f（x）與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù)【例3】（多選）已知偶函數(shù)y＝f（x）對于任意的x∈0,π2滿足f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是 A.2f-π3＜B.2f-π3＞C.f（0）＜2f-D.fπ6＜3f解析∵偶函數(shù)y＝f（x）對于任意的x∈0,π2滿足f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＞0，且f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＝f'（x）·cosx－f（x）·（cosx）'，∴可構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f(x)cosx，則g'（x）＝f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x＞0，∴g（x）為偶函數(shù)且在0,π2上單調(diào)遞增，∴g-π3＝gπ3＝fπ3cosπ3＝2fπ3，g-π4＝gπ4＝fπ4cosπ4＝2fπ4，gπ6＝fπ6cosπ6＝233fπ6，由函數(shù)單調(diào)性可知gπ6＜答案BCD點評利用f（x）與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù)的常見類型：①由條件f'（x）sinx＋f（x）cosx，一般構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）sinx；②由條件f'（x）cosx－f（x）sinx，一般構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）cosx；③由條件f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x，一般構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)f（x）定義在0,π2上，f'（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f'（x）tanx成立，又知fπ6＝12，則關(guān)于x的不等式f（x）＞sin解析：∵f（x）＜f'（x）tanx，∴f'（x）sinx－f（x）cosx＞0，令g（x）＝f(x)sinx，∴g'（x）＝f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x＞0，∴g（x）在0,π2答案：π四、構(gòu)造具體函數(shù)關(guān)系式【例4】若lnx－lny＜1lnx－1lny（x＞1，y＞1），則A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1解析依題意，lnx－1lnx＜lny－1lny，令f（t）＝t－1t（t≠0）.則f'（t）＝1＋1t2＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上單調(diào)遞增；又x＞1，y＞1，得lnx＞0，lny＞0，又lnx－1lnx＜lny－1lny.則f（lnx）＜f（lny）.又f（t）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.則lnx＜lny，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正確，B不正確；又y－x－答案A點評不等式兩邊湊配成相同的形式，構(gòu)造具體的函數(shù)利用單調(diào)性求解.已知α，β∈-π2,π2，且αsinα－βsinβ＞0A.α＞β B.α2＞β2C.α＜β D.α＋β＞0解析：B構(gòu)造函數(shù)f（x）＝xsinx，則f'（x）＝sinx＋xcosx.當(dāng)x∈0,π2時，f'（x）≥0，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x∈-π2,0時，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，又f（x）為偶函數(shù)，∴αsinα－βsinβ＞0?αsinα＞βsinβ?f（α）＞f（β）?f（｜α｜）＞f（｜β｜）?｜α｜＞｜β｜?α21.函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是 （）解析：D利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進行驗證.f'（x）＞0的解集對應(yīng)y＝f（x）的增區(qū)間，f'（x）＜0的解集對應(yīng)y＝f（x）的減區(qū)間，驗證只有D符合.2.若函數(shù)f（x）＝13x3－32x2＋ax＋4的單調(diào)減區(qū)間是[－1，4]，則a＝ （A.－4B.－1C.1 D.4解析：A易知f'（x）＝x2－3x＋a，由題意知f'（x）≤0的解集為[－1，4]，則－1與4是方程x2－3x＋a＝0的兩個根，故a＝－1×4＝－4.3.已知x∈（0，π），則函數(shù)f（x）＝excosx的單調(diào)遞增區(qū)間為 （）A.0,π2 C.0,π4 解析：C∵f（x）＝excosx，∴f'（x）＝ex（cosx－sinx），令f'（x）＞0，即cosx－sinx＞0，∵x∈（0，π），∴0＜x＜π4，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是0,π44.若函數(shù)f（x）＝ex＋ax－12x2存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是 （A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，0）解析：C函數(shù)f（x）的定義域是R，則f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，則g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故選C.5.已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f（x），當(dāng)x≠0時，有xf'（x）＜0，則下列各項正確的是 （）A.f（－1）＋f（2）＞2f（0）B.f（－1）＋f（2）＝2f（0）C.f（－1）＋f（2）＜2f（0）D.f（－1）＋f（2）與2f（0）大小關(guān)系不確定解析：C由題意得，x＜0時，f（x）是增函數(shù)，x＞0時，f（x）是減函數(shù)，∴x＝0是函數(shù)f（x）的極大值點，也是最大值點，∴f（－1）＜f（0），f（2）＜f（0），兩式相加得，f（－1）＋f（2）＜2f（0），故選C.6.（多選）如果函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意兩實數(shù)x1，x2（x1≠x2）都有x1f(x1)-x2f(x2)x1A.f（x）＝ex B.f（x）＝x2C.f（x）＝lnx D.f（x）＝sinx解析：ACD依題意，函數(shù)g（x）＝xf（x）為定義域上的增函數(shù).對于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，當(dāng)x∈（－∞，－1）時，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于B，g（x）＝x3在R上單調(diào)遞增，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；對于C，g（x）＝xlnx，g'（x）＝1＋lnx，當(dāng)x∈0,1e時，g'（x）＜0，故C中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于D，g（x）＝xsinx，g'（x）＝sinx＋xcosx，當(dāng)x∈-π2,0時，g'（x）＜0，7.函數(shù)f（x）＝xln（－x）的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：函數(shù)f（x）＝xln（－x）的定義域為（－∞，0），f'（x）＝ln（－x）＋1，令f'（x）≤0，解得－1e≤x＜0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是-答案：-8.已知a＞0，若f（x）＝xeax，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

解析：由f（x）＝xeax，得f'（x）＝（1＋ax）eax，因為a＞0，所以令f'（x）＝（1＋ax）eax＞0，解得x＞－1a，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為-答案：-9.使得“當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）＝4lnx－ax在區(qū)間（0，1）上不單調(diào)”為真命題的a的一個取值是.

解析：∵f（x）＝4lnx－ax，∴f'（x）＝4x－a＝4-axx，∵函數(shù)f（x）＝4lnx－ax在區(qū)間（0，1）上不單調(diào)，∴4－ax＝0在區(qū)間（0，1）上有解，∵a＞0，∴x＝4a∈（0，1答案：5（答案不唯一，只要是大于4的實數(shù)均可）10.已知函數(shù)f（x）＝x2＋alnx.（1）當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋2x在[1，＋∞）上單調(diào)，求實數(shù)a解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），當(dāng)a＝－2時，f'（x）＝2x－2x＝2由f'（x）＜0得0＜x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）.（2）由題意得g'（x）＝2x＋ax－2①若g（x）為[1，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則g'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞）上恒成立設(shè)φ（x）＝2x－2x2，x∈[1，＋∞易知φ（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，∴在[1，＋∞）上，φ（x）max＝φ（1）＝0，∴a≥0.②若g（x）為[1，＋∞）上的單調(diào)減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，易知其不可能成立，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞）.11.設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，f（－1）＝－1.當(dāng)x＞0時，f'（x）＞1，則使得f（x）＞x成立的x的取值范圍是 （）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）解析：B由f'（x）＞1（x＞0），可得f'（x）－1＞0，令g（x）＝f（x）－x，則g'（x）＝f'（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因為f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋1＝0，又因為f（x）為奇函數(shù)，所以g（x）＝f（x）－x為奇函數(shù)，所以g（1）＝0，且在區(qū)間（－∞，0）上g（x）單調(diào)遞增.所以使得f（x）＞x，即g（x）＞0成立的x的取值范圍是（－1，0）∪（1，＋∞）.故選B.12.（多選）下面比較大小正確的有 （）A.ln22＞1e B.3ln4C.πe＞lnπ D.3＜解析：BC根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnxx，則f'（x）＝1-lnxx2，由于函數(shù)y＝lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且lne＝1，從而當(dāng)0＜x≤e時，f'（x）≥0，則函數(shù)f（x）＝lnxx在（0，e]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）＝lnxx在（e，＋∞）上單調(diào)遞減，又0＜2＜e＜3＜π＜4，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3）＞f（π）＞f（4），即ln22＜lnee，ln33＞ln44，lnee＞lnππ，lnee＞ln33，故ln22＜lnee＝1e，選項A錯；3ln4＜4ln313.如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)x在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f（x）是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)f（x）＝12x2－x＋32是區(qū)間I解析：因為函數(shù)f（x）＝12x2－x＋32的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，又當(dāng)x≥1時，f(x)x＝12x－1＋32x，令g（x）＝12x－1＋32x（x≥1），則g'（x）＝12－32x2＝x2-32x2，由g'（x）≤0得1≤x≤3，即函數(shù)f(x)x＝12答案：[1，3]14.已知函數(shù)f（x）＝ax－（a＋1）lnx－1x，討論函數(shù)f（x解：因為f（x）＝ax－（a＋1）lnx－1x，所以f'（x）＝a－a+1x＋1x2＝ax2當(dāng)a≤0時，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜1時，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞1a，令f'（x）＜0，得1＜x＜1a，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在1,1a上單調(diào)遞減當(dāng)a＝1時，f'（x）＝(x-1)2x2≥0恒成立，所以f（x）在當(dāng)a＞1時，令f'（x）＞0，得0＜x＜1a或x＞1，令f'（x）＜0，得1a＜x＜1，所以f（x）在0,1a上單調(diào)遞增，在1a,1上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在1,1a上單調(diào)遞減，在當(dāng)a＝1時，f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時，f（x）在0,1a上單調(diào)遞增，在1a,1上單調(diào)遞減，在（15.已知兩個不等的正實數(shù)x，y滿足lnxy＝x-yxy，則下列結(jié)論一定正確的是A.x＋y＝1 B.xy＝1C.x＋y＞2 D.x＋y＞3解析：C由lnxy＝x-yxy，得lnx－lny＝1y－1x，即lnx＋1x＝lny＋1y.設(shè)s＝f（t）＝lnt＋1t（t＞0），則f'（t）＝1t－1t2＝t-1t2，當(dāng)0＜t＜1時，f'（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減，當(dāng)t＞1時，f'（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，所以f（t）min＝f（1）＝1，當(dāng)t→0時，f（t）→＋∞，當(dāng)t→＋∞時，f（t）→＋∞，作出函數(shù)f（t）的大致圖象，如圖所示.f（x）＝f（y），由圖知，x，y一個大于1，一個小于1，不妨設(shè)x＜1＜y，則點（y，f（y））到直線x＝1的距離大于點（x，f（x））到直線x＝1的距離，所以x＋16.已知函數(shù)f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）＝x3＋x2·f'(x)+m2在區(qū)間（解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），且f'（x）＝a(當(dāng)a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，＋∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間為（1，＋∞），遞減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)a＝0時，f（x）為常函數(shù).（2）由（1）及題意得f'（2）＝－a2＝1，即a＝－2∴f（x）＝－2lnx＋2x－3，f'（x）＝2x∴g（x）＝x3＋m2+2x2－2∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，即g'（x）在區(qū)間（t，3）上有變號零點.由于g'（0）＝－2，∴g由g'（t）＜0，即3t2＋（m＋4）t－2＜0對任意t∈[1，2]恒成立，由于g'（0）＜0，故只要g'（1）＜0且g'（2）＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g'（3）＞0，即m＞－373∴－373＜m＜－9即實數(shù)m的取值范圍是-37第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（?。┲档年P(guān)系.1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f'（x0）＝0x0附近的左側(cè)f'（x）＞0，右側(cè)f'（x）＜0x0附近的左側(cè)f'（x）＜0，右側(cè)f'（x）＞0圖象形如山峰形如山谷極值f（x0）為極大值f（x0）為極小值極值點x0為極大值點x0為極小值點提醒f'（x0）＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點的必要不充分條件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點.2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)（1）如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值；（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的最小值，f（b）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f（a）為函數(shù)的最大值，f（b）為函數(shù)的最小值.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大. （）（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值. （）（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值. （）（4）開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值. （）（5）設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不單調(diào). （）答案：（1）√（2）√（3）×（4）√（5）√2.（多選）已知函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是 （）A.函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間-3B.當(dāng)x＝－2時，函數(shù)y＝f（x）取得極小值C.函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（－2，2）上單調(diào)遞增D.當(dāng)x＝3時，函數(shù)y＝f（x）有極小值解析：BC對于A，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間-3,-12上有增有減，故A不正確；對于B，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)y＝f（x）取得極小值，故B正確；對于C，當(dāng)x∈（－2，2）時，恒有f'（x）＞0，則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（－2，2）上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)x＝3時，f'（x）≠0，3.（2022·全國甲卷）當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）＝alnx＋bx取得最大值－2，則f'（2）＝ （A.－1B.－12C.12D解析：B由題意知，f（1）＝aln1＋b＝b＝－2.求導(dǎo)得f'（x）＝ax－bx2（x＞0），因為f（x）的定義域為（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝a2－b4＝－4.函數(shù)g（x）＝－x2的極值點是，函數(shù)f（x）＝（x－1）3的極值點（填“存在”或“不存在”）.

解析：結(jié)合函數(shù)圖象可知g（x）＝－x2的極值點是x＝0.因為f'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0無變號零點，故函數(shù)f（x）＝（x－1）3不存在極值點.答案：x＝0不存在5.（2023·安陽一模）函數(shù)f（x）＝x3－3x2＋1的極小值為.

解析：f'（x）＝3x2－6x，令f'（x）＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.易知當(dāng)x∈（－∞，0）時，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，＋∞）時，f'（x）＞0.故f（x）在x＝2處取得極小值f（2）＝8－12＋1＝－3.答案：－31.若函數(shù)f（x）在（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）在（a，b）上無極值.2.若函數(shù)f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）一定在區(qū)間端點處取得最值.3.若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值點，則該極值點一定是函數(shù)相應(yīng)的最值點.1.函數(shù)f（x）＝12x2＋lnx－2x的極值點的個數(shù)是（A.0 B.1C.2 D.無數(shù)解析：A函數(shù)定義域為（0，＋∞），且f'（x）＝x＋1x－2＝x2-2x+1x＝(x-1)2x≥0，即f（2.函數(shù)f（x）＝xlnx在1e,e上的最大值是解析：由f（x）＝xlnx，得f'（x）＝lnx＋1，令f'（x）＝0，得x＝1e，當(dāng)1e≤x≤e時，f'（x）≥0，所以f（x）在1e,e上單調(diào)遞增，由結(jié)論2可知f（x）的最大值為f（e）＝eln答案：e3.若函數(shù)f（x）＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最小值為4，則m＝.解析：f'（x）＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2）時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時，f'（x）＞0，所以f（x）在[0，2）上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增.所以f（2）為f（x）在[0，3]上的極小值，由結(jié)論3可知也是最小值，即m＝283答案：28函數(shù)的極值問題考向1由圖象判斷函數(shù)的極值【例1】設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（x－1）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是 （）A.函數(shù)f（x）有極大值f（－3）和f（3）B.函數(shù)f（x）有極小值f（－3）和f（3）C.函數(shù)f（x）有極小值f（3）和極大值f（－3）D.函數(shù)f（x）有極小值f（－3）和極大值f（3）解析結(jié)合題目所給圖象進行分段分析，當(dāng)x＜－3時，x－1＜0，得f'（x）＜0；當(dāng)－3＜x＜1時，x－1＜0，得f'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜3時，x－1＞0，得f'（x）＞0；當(dāng)x＞3時，x－1＞0，得f'（x）＜0.根據(jù)極值點的定義可知，當(dāng)x＝－3時，f（x）取得極小值f（－3），當(dāng)x＝3時，f（x）取得極大值f（3），x＝1的左右兩邊導(dǎo)函數(shù)值都大于零，因此不是原函數(shù)的極值點，故選D.答案D｜解題技法｜由圖象判斷函數(shù)y＝f（x）的極值，要抓住兩點：（1）由y＝f'（x）的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值點；（2）由導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象可以看出y＝f'（x）的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.考向2求函數(shù)的極值（極值點）【例2】已知函數(shù)f（x）＝lnx－ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝12時，求f（x（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).解（1）當(dāng)a＝12時，f（x）＝lnx－12x，函數(shù)的定義域為（0，＋∞），且f'（x）＝1x－1令f'（x）＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗ln2－1↘故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln2－1，無極小值.（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝1x－a＝1-axx（當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，則函數(shù)在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；當(dāng)a＞0時，若x∈0,1a，則f'（x若x∈1a,+∞，則f'（故函數(shù)在x＝1a處有極大值綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）無極值點；當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝f（x）有一個極大值點，且為x＝1a｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值（極值點）的一般流程考向3已知函數(shù)的極值求參數(shù)【例3】（1）（2023·南寧模擬）函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＋b＝ （）A.－7B.0C.－7或0 D.－15或6（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－4x＋alnx有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為 （）A.（－∞，2] B.（－∞，2）C.（0，2] D.（0，2）解析（1）由題意知，函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f'（x）＝3x2＋2ax＋b，因為f（x）在x＝1處取得極值10，可得f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,檢驗知，當(dāng)a＝－3，b＝3時，可得f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意；當(dāng)a＝4，b＝－11時，可得f'（x）＝3x2＋8x－11＝（3x＋11）（x－1），當(dāng)x＜－113或x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)－113＜x＜（2）函數(shù)f（x）的定義域是（0，＋∞），f'（x）＝2x－4＋ax＝2x2-4x+ax.因為函數(shù)f（x）有兩個極值點，所以方程f'（x）＝0有兩個正根，所以方程2x2－4x＋a＝0有兩個正根x1，x2，所以Δ=16答案（1）A（2）D｜解題技法｜已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗證：因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.提醒若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù).1.（2023·周口一模）函數(shù)f（x）＝2x－xlnx的極值是 （）A.1e B.C.e D.e2解析：C因為f'（x）＝2－（lnx＋1）＝1－lnx，當(dāng)f'（x）＞0時，解得0＜x＜e；當(dāng)f'（x）＜0時，解得x＞e，所以x＝e時，f（x）取到極大值，f（x）極大值＝f（e）＝e.故選C.2.已知函數(shù)f（x）＝x2+x-aex在x＝1處取得極值，則解析：求導(dǎo)得f'（x）＝-x2+x+a+1ex，由已知得f'（1）＝0，所以a＝－1，則f（x）＝x2+x+1ex，f'（x）＝x-x2ex.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x∈（－∞，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）＞答案：13.函數(shù)f（x）＝x（lnx－ax）（a∈R，x＞0）在區(qū)間1e,e上存在極大值，則實數(shù)a的取值范圍是解析：f'（x）＝1＋lnx－2ax＝x1+lnxx-2a，x∈1e,e，設(shè)g（x）＝1+lnxx，x∈1e,e，則g'（x）＝－lnxx2，令g'（x）＞0，解得1e＜x＜1，即g（x）在1e,1上單調(diào)遞增；令g'（x）＜0，解得1＜x＜e，即g（x）在（1，e）上單調(diào)遞減.所以g（x）max＝g（1）＝1，又答案：1函數(shù)的最值問題【例4】已知函數(shù)f（x）＝1-xx2+a，若f（x）在x＝－解因為f（x）＝1-所以f'（x）＝-(x2+由題意可得f'（－1）＝3-a(1+a)2＝故