第12章測評

（時(shí)間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=2+i,貝Uz2=()

A.V3B.V5C.3D.5

HJD

解桐?.?z=2+i,；.2=2-i.；.z5=（2+i）（2-i）=5.故選D.

2.（2021河南鄭州一模）復(fù)數(shù)z=2,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案|D

.._2_碧4=l+i,；.2=l-i.；.z的共貌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,位于第四象

?Z~~\~

限.故選D.

3.設(shè)z=^，則|z|=()

A.2B.V3C.V2D.1

^]c

――3-i._(3-i)(l-2i)_1_7.

?乙-1+2r..Z-(l+2i)(l-2i)-5-51,

?"|=1百+（-丁=叵故選《

4.(2021四川成都鄲都期中)復(fù)數(shù)i+i2+i3+…+i2021=()

A.i-1B.i

C.-lD.O

奉B

^Vi+i2+i3+i4=0,i2021=(i4)505?i二i,；?i+F+i3+…+i202i=505x()+i=i，故選B.

5.(2021甘肅白銀靖遠(yuǎn)模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足囪2i|=3,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(種),則()

A.Q>2)2+)2=9B.(X+2)2+/=9

C.x2+(y-2)2=9D.x2+(y+2)2=9

HJD

解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),所以，=x?yi,故5-2ir+(-y?2)i,因?yàn)?2“=3,所以

Jx2+(y+2)2=3,化簡可得/+。葉2)2=9.故選D.

6.已知復(fù)數(shù)zi=cos23°+isin23°和復(fù)數(shù)Z2=cos37°+isin37°,則2團(tuán)為()

.1,V3.

A5+/B畀手

c遮L

4-爭DT-2,

答案A

|解析|ZIZ2=COS(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=；+孚?

7.已知z是復(fù)數(shù)，且p:z=2+學(xué);值+^^R.則p是q的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

ggA

|解析[顯然，當(dāng)z=；+易時(shí),z+工+=|+孚+之君=1WR,但當(dāng)z+iSR時(shí)，若令z=a+b\（a,b

'―――"-'22zZ21.V3.221z

2+T

ab

￡R）,則a+hi+—^—=（b-2i,所以有b=0或?qū)?尻=],不一定有z=^+事.故p是q的

a+bia2+b^a2+bz22'?

充分不必要條件，選A.

8.關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）

A.3+4iB.4+3i

C.y+3iD.3+yi

%-

40一

3

-，因?yàn)?3辦20,故xW與，所以x號不符合要求，故z=4+3i.

y

3,

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2021湖南模擬）已知復(fù)數(shù)z=（l+2i）（2-i）,N為z的共聊復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為3i

B.團(tuán)=5

C.z-4為純虛數(shù)

D.2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

答案|BCD

國麗因?yàn)閦=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虛部為3,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)閨2|=0=付不國=5,所以選項(xiàng)B正

確;因?yàn)閦-4=3i為純虛數(shù)，所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)?=4-3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(4,-3)在第四象限,所以選

項(xiàng)D正確.故選BCD.

10.己知復(fù)數(shù)z=a+6i(a力GR),且a+b=l,下列說法正確的是()

A.z不可能為純虛數(shù)

B.若z的共枕復(fù)數(shù)為2,且z=5，則z是實(shí)數(shù)

C.若z=|z|,則z是實(shí)數(shù)

D.|z|可以等于T

答案|BC

解析當(dāng)n=0時(shí)力=1,此時(shí)z二i為純虛數(shù),A錯(cuò)誤;若z的共機(jī)復(fù)數(shù)為N且z=5,則〃+歷=〃-加,所以方二0,B

正確;由|z|是實(shí)數(shù)，且z=|z|知,z是實(shí)數(shù),C正確;若|z|=；,則層+/二：,又〃+匕=1,所以8a2-8〃+3=0,A=?

32<0,無實(shí)數(shù)解，即|z|不可以等于g,D錯(cuò)誤.

11.(2021山東德州二模)已知復(fù)數(shù)zkW(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是()

Az對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.zi的虛部為-1

C.zf=4

D.滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上

答案|AB

廨稿復(fù)數(shù)Z1=三=-=-1-i,z|對應(yīng)的點(diǎn)(-11)在第三象限，故A正確;Z|的虛部為-1,故B正

1------1-1+11,1-尸1)(1：+?1)

確;⑵)4=(-l-i)4=(2i)2=-4,故C不正確;|Z||=V5，滿足|z|=|Z||的復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為

迎的圓上，故D不正確,故選AB.

12.設(shè)次0)=cos9+isin0(i為虛數(shù)單位)，則產(chǎn)@=cos20+isin20/(9)=cos36+isin3。,…，若嚴(yán)(0)為實(shí)數(shù),

則。的值可能等于()

答案|AC

|解析淤(0)=cos100+isin100,要使/。(。)為實(shí)數(shù)，則sin100=0,100=E(%dZ),故6?=^(%GZ),當(dāng)k=\

時(shí)，=q，當(dāng)k=2時(shí)*.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分洪20分.

13.若二=a+bi(i為虛數(shù)單位,a,Z?WR),則a+b-.

1^2

|解析|因?yàn)楦?(；；；：；)=1+i=〃+歷,所以”=b=l.故a+b-2.

14.(2021湖南長沙天心校級期中)已知2i-3是關(guān)于x的方程2爐+川+26=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)

P=-

量12

解析V2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+26=0的一個(gè)根,.,.-2i-3是關(guān)于x的方程2x2+pA+26=0的另一個(gè)

根，則⑵-3)+(-2i-3)=-*得p=l2.

15.如果復(fù)數(shù)2滿足憶+"+憶-”=2,那么憶+1+計(jì)的最小值是，最大值是.

Vs

解稠由

于|z+i|+|z-i|=2,則點(diǎn)Z在以(0,-1)和(0,1)為端點(diǎn)的線段上,|z+l+i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(-1,-1)的距離.由圖知最

小值為1,最大值為VI

16.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2-4i|=2,則|z-11的取值范圍是.

客冢3,7]

解析設(shè)z=x+yi(x,yGR),

V復(fù)數(shù)z滿足|z+2-4i|=2,

.,.l(x+2)2+(y-4)2=2,即(X+2)2+G，-4)2=4.

，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z表示的是以(-2,4)為圓心,=2為半徑的圓.

；|z-l|表示的是點(diǎn)Z與(1,0)之間的距離，

又圓心與點(diǎn)(1,0)之間的距離d=[(-2-1)2+42=5,

，|z-l|的范圍是[4r,d+r],即[3,7].

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l+3i-z,求亞粵封的值.

廨［設(shè)z=a+bi(a,bGR),V|z|=1+3i-z,

二yja2+b2-1-3i+〃+Ai=0,

gpfVa2+b2+a-1=0,解得產(chǎn)=4

tb-3=0.lb=3.

.*.z=-4+3i,

22

.(l+i)(3+4i)2i(-7+24i)24+7i公

----------------=------------=-------=3o+41.

2z2(-4+3i)4-3i

18.(12分)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值或何取值范圍時(shí)，復(fù)數(shù)z=片史+(/2”)i符合下列要求?

⑴實(shí)數(shù).

(2)虛數(shù).

(3)純虛數(shù).

解⑴若z為實(shí)數(shù),可得了二°，解得m=2.

1—-1(mH0,

所以當(dāng)m=2時(shí),z為實(shí)數(shù).

⑵若z為虛數(shù)，則虛部/-2/*0,且加/),

解得*2,且勿#0.所以當(dāng)機(jī)的取值范圍為Goo,0)U(0,2)U(2,+8州寸,z為虛數(shù).

m2+7n-6_「

(3)若Z為純虛數(shù)，則m—，解得加=-3.

,m2-2mW0,

所以當(dāng)m=-3時(shí),z為純虛數(shù).

19.(12分)(2021江蘇連云港期末)在①z2=-7-24i,②5=(|z|-l)+5i,③z+｝是實(shí)數(shù)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面問題中,并完成解答.

已知z是虛數(shù)，且，求|z|.

齷|若選擇①，設(shè)z=a+bi(a,bGR,厚0),則z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-l-24i,

叫2ab=一24,解得匕=4,或匕=-4,

所以z=-3+4i,或z=3-4i,則|z|=5.

若選擇②，設(shè)z=a+歷(a力WR,厚0),則"=a-0=(|z|-l)+5i=(后+屏-l)+5i,由=、心+岳/，解得

1-6=5,

(a—12,

lb=-5.

所以z=12-5i,則|z|=13.

若選擇③，設(shè)z=a+bi(a,/?eR,厚0),則:=念j=U)，

因?yàn)閦+Lq+為i+：加2=(〃+「2)+J'2bJi是實(shí)數(shù)，所以b-J2二0,

22￡2￡

Za+b^。2+/a+ba+b

又厚0,所以〃2+抉=1,則|z|=l.

20.(12分)設(shè)△A8C的兩個(gè)內(nèi)角A,8所對的邊分別為〃力，復(fù)數(shù)z\=cz+/?i,Z2=cosA+icosB,若復(fù)數(shù)Z|Z2為

純虛數(shù)，試判斷AABC的形狀，并說明理由.

解AABC為等腰三角彩或直角三角形.

理由如下：因?yàn)閦i=a+bi,Z2=cosA+icos仇所以ziZ2=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i.

又因?yàn)閆1Z2為純虛數(shù)，

acosA=bcosB,

①

acosB+bcosAH0.

由①及正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin28.因?yàn)闉锳ABC的內(nèi)角,

所以0<2A<2兀,0<2B<2兀，且2A+2B<2n.

所以24=2B或2A=n-2B,即A=8或A+B苫.即4=8或C=］故△4BC為等腰三角形或直角三角

形.

21.(12分)已知z為復(fù)數(shù),z+2i和5均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

Z-I

(1)求復(fù)數(shù)Z和|z|