第一章線性空間與線性變換1.1線性空間一、線性空間的定義二、線性空間的性質(zhì)一、線性空間的定義在此輸入你的標題定義1（數(shù)域）設P

是包含0和1的數(shù)集，如果P

中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）均在P

內(nèi)，則稱P為一個數(shù)域。

一、線性空間的定義線性空間舉例

一、線性空間的定義

一、線性空間的定義

下面驗證定義的運算是線性運算。

一、線性空間的定義

一、線性空間的定義

例4實系數(shù)多項式集合在普通多項式加法與數(shù)乘運算下構成無限維多項式線性空間。線性空間的維數(shù)一、線性空間的定義線性空間的性質(zhì)性質(zhì)1線性空間V的零元素是唯一的。性質(zhì)2線性空間V中任一元素的負元素是唯一的。

二、線性空間的性質(zhì)第一章線性空間與線性變換一、基與坐標的定義二、基變換與坐標變換

1.2線性空間的基與坐標

基與坐標的定義

還有基

一、基與坐標的定義

一、基與坐標的定義

一、基與坐標的定義

一、基與坐標的定義基變換與坐標變換

（1）（2）二、基變換與坐標變換

故坐標變換公式為

即

二、基變換與坐標變換

二、基變換與坐標變換例3

計算矩陣空間

的基（I）到基（II）的過渡矩陣。其中（I）（II）二、基變換與坐標變換

第一章線性空間與線性變換一、線性子空間的定義二、子空間的交與和

1.3線性子空間一、線性子空間的定義在此輸入你的標題

一、線性子空間的定義

一、線性子空間的定義

一、線性子空間的定義

一、線性子空間的定義

一、線性子空間的定義

二、線性子空間的交與和

二、線性子空間的交與和

2）零向量的分解式唯一；

第一章線性空間與線性變換一、線變換的定義二、線性變換的運算三、線性變換的矩陣表示1.4線性變換在此輸入你的標題線性變換的定義一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義

一、線變換的定義1.加法

二、線性變換的運算

二、線性變換的運算2.乘法

二、線性變換的運算

注：線性變換的乘積不滿足交換律。二、線性變換的運算3.數(shù)量乘法

二、線性變換的運算

二、線性變換的運算

二、線性變換的運算

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示注：1）線性變換的和，乘積，數(shù)量乘積對應矩陣的和，乘積，數(shù)量乘積。2）可逆線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應逆矩陣。

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示例6

零變換在任意一個基下的矩陣是零矩陣；恒等變換在任意一個基下的矩陣是單位矩陣。

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

三、線性變換的矩陣表示

第二章方陣的相似化簡與內(nèi)積空間

教學內(nèi)容一、變換的特征值與特征向量二、特征值與特征向量的計算三、特征值與特征向量的性質(zhì)1.1特征值與特征向量一、變換的特征值與特征向量（1）（2）注：

特征方程特征多項式特征方程|lE?A|=0特征多項式 |lE?A|二、特征值與特征向量的計算

二、特征值與特征向量的計算二、特征值與特征向量的計算1)計算A的特征多項式|l

E?A

|；2)求出|lE

?A

|=0的所有根l

1,l

2,…,l

n，它們?yōu)锳的全部特征值；3)對每一個

li解方程組

(li

E?A)x=0，其非零解都是l

i的特征向量.例設求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

相應齊次線性方程組的基礎解系為83相應齊次線性方程組的基礎解系為練習設求A的特征值與特征向量。解所以A的特征值為

相應齊次線性方程組的基礎解系為85相應齊次線性方程組的基礎解系為例練習（1）練習（2）設求A的特征值與特征向量。例4設求A的特征值與特征向量。

三、特征值與特征向量的基本性質(zhì)例已知方陣的特征值為l1,l2,l3,

求（1）l1+l2+l3；

（2）l1l2l3.練習：已知方陣的特征值為2,3,4，則a=?

則\A\=？

練習：已知三階方陣A

的特征值為1，-2，3，求（1）|2A|；

（2）|A-1|.性質(zhì)2

例解由性質(zhì)2,

注：因為方陣A可逆，所以其所有特征值不等于零。例解性質(zhì)3性質(zhì)4屬于不同特征值的特征向量線性無關。

一.特征值與特征向量的定義

二.特征值與特征向量的求法1)計算A的特征多項式|l

E?A|；2)求出|lE?A|=0的所有根l

1,l

2,…,l

n，它們?yōu)锳的全部特征值；3)對每一個

li解方程組

(li

E?A)X=0，其非零解都是l

i的特征向量.三.特征值與特征向量的性質(zhì)

小結作業(yè)：求下列矩陣的特征值和特征向量．

第二章方陣的相似化簡與內(nèi)積空間2.2矩陣的約當標準形一、矩陣的行列式因子、不變因式及初級因子二、矩陣的約當標準形三、矩陣的最小多項式一、矩陣的行列式因子、不變因式及初級因子

二、矩陣的約當標準形

三、矩陣的最小多項式

2.2多項式矩陣與史密斯標準形1.多項式矩陣的基本概念2.多項式矩陣的初等變換及初等矩陣3.多項式矩陣的史密斯標準形4.多項式矩陣的行列式因子、不變因式及初級因子

多項式矩陣的基本概念

2多項式矩陣的初等變換及初等矩陣

3多項式矩陣的史密斯標準形

例求下列多項式矩陣的史密斯標準形.

4多項式矩陣的行列式因子、不變因式及初級因子

第二章方陣的相似化簡與內(nèi)積空間一、歐氏空間的定義二、標準正交基及斯密斯正交化三、正交變換2.3內(nèi)積空間四、酉空間在此輸入你的標題線性變換的定義一、歐氏空間的定義

二、標準正交基及斯密斯正交化

定理4正交向量組是線性無關的。

三、正交變換

定理6歐氏空間的線性變換是正交變換的充要條件是它在標準正交基的矩陣是正交矩陣。

在此輸入你的標題四、酉空間第三章矩陣分解高斯消去法的矩陣表示LU分解法(LUDecomposition)平方根法

(CholeskyDecomposition)3.1

直接三角分解法矩陣三角分解

將一個矩陣分解成結構簡單的三角形矩陣的乘積稱為矩陣的三角分解。

順序高斯消去法其實就是一個矩陣的三角分解過程。

LU分解先求解y再求解x則A(k)

與A(k+1)之間的關系式可以表示為：其中：(i=k+1,…,n),將Gauss消去過程中第k-1步消元后的系數(shù)矩陣記為：(k=1,…,n-1)LU分解記：，則其中：L---單位下三角矩陣，U---上三角矩陣LU分解于是有：容易驗證：(k=1,…,n-1)(杜利脫爾Doolittle分解)LU

分解的存在唯一性LU分解存在順序高斯消去法不被中斷?定理

順序高斯消去法求解方程組Ax=b時，所有主元

的充要條件是：A的所有順序主子式不為零。定理若A的所有順序主子式不等于0，則A存在唯一的LU分解。(LU分解的唯一性

)LU分解緊湊方式直接利用矩陣乘法來計算LU分解(待定系數(shù)法)

比較等式兩邊的第一行得：u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得：

比較等式兩邊的第二行得：比較等式兩邊的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U的第一行L的第一列U的第二行L的第二列待定系數(shù)法LU分解計算順序

LU分解緊湊算法（續(xù)）第k

步：此時U的前k-1行和

L

的前k-1列已經(jīng)求出比較等式兩邊的第k行得：比較等式兩邊的第k列得：直到第n

步，便可求出矩陣L和U的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)LU分解緊湊算法（續(xù)）LU分解的算法：Fork=1,2,...,nEndForj=k,…,ni=k+1,…,n為了節(jié)省存儲空間，通常用A

的絕對下三角部分來存放L(對角線元素無需存儲)，用

A

的上三角部分來存放U。第三章矩陣分解3.2矩陣的QR分解

定理

任何實的非奇異n階矩陣A可以分解成正交矩陣Q和上三角矩陣R的乘積，且除去相差一個對角線元素之絕對值全等于1的對角矩陣因子D外，分解式是唯一的。

第三章矩陣分解3.3矩陣的滿秩分解

第三章矩陣分解3.4矩陣的奇異值分解

由定義容易看出以下性質(zhì)

第四章賦范線性空間與矩陣范數(shù)4.1向量范數(shù)與矩陣范數(shù)1.向量范數(shù)2.矩陣范數(shù)

1.向量范數(shù)

我們可以證明如下結論定理1

有限維線性空間上的不同范數(shù)是等價的。

2.矩陣范數(shù)

與向量范數(shù)情形一樣，矩陣也可以有各種各樣的范數(shù)，而且矩陣范數(shù)常和向量范數(shù)混合在一起使用，因此考慮一些矩陣范數(shù)，應當使它們與向量范數(shù)聯(lián)系起來，于是給出如下概念。

第四章賦范線性空間與矩陣范數(shù)4.3范數(shù)和誤差分析1范數(shù)和條件數(shù)

(NormandConditionNumber)2數(shù)據(jù)擾動分析

(PerturbationAnalysis)1范數(shù)和條件數(shù)引例

病態(tài)方程組：數(shù)據(jù)小擾動

解大誤差。注意：兩組解都是相應方程組的精確解，沒有計算誤差向量范數(shù)

(VectorNorms)

矩陣范數(shù)

(MatrixNorms)

常用矩陣范數(shù)

相容性：

||Ax||v

||A||v

||x||v,v=1,2,

||Ax||2

||A||F

||x||2范數(shù)的等價性

病態(tài)方程組

(ill-conditionalsystemoflinearequations)病態(tài)方程組：系數(shù)矩陣條件數(shù)很大引例2數(shù)據(jù)擾動分析

右端數(shù)據(jù)擾動Ax*=b,

A(x*+

x)=b+b系數(shù)矩陣擾動

(A+

A)(x*+

x)=b病態(tài)方程組：數(shù)據(jù)小擾動

解大誤差。第五章矩陣分析及其應用5.1向量序列和矩陣序列的極限一、向量序列的極限二、矩陣序列的極限一、向量