第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共3小題，共13分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.“k=2”是“C7k=C7A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2.設(shè)矩形邊長分別為a、b(a>b)，將其按兩種方式卷成高為a和b的圓柱(無底面)，其體積分別為Va和Vb，則Va與VbA.Va>Vb B.Va=3.某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有(

)A.42種 B.40種 C.36種 D.30種二、多選題：本題共1小題，共5分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。4.某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動.在以下不同小組設(shè)計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有(

)A.在水平地面上任意尋找兩點A，B，分別測量旗桿頂端的仰角α，β，再測量A，B兩點間距離

B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為?，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角α和β

C.在地面上任意尋找一點A，測量旗桿頂端的仰角α，再測量A到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角α，正對旗桿前行5m到達(dá)B處，再次測量旗桿頂端的仰角β三、填空題：本題共12小題，共54分。5.直線3x+y+3=0的傾斜角為______．6.在(x+2y)5的展開式中，含x27.拋物線y2=4x的焦點到準(zhǔn)線的距離是______．8.設(shè)n為正整數(shù)，計算t=1+∞(149.已知圓錐的底面直徑為8，高是3，則該圓錐的側(cè)面積為______．10.如果從甲口袋中摸出一個紅球的概率是14，從乙口袋中摸出一個紅球的概率是13，現(xiàn)分別從甲乙口袋中各摸出1個球，則2個球都是紅球的概率是______．11.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(2,?1,3)關(guān)于平面xOz的對稱點為B，則OA?OB=12.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的平均數(shù)相同，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______．

13.已知△ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，則以A、B為焦點，經(jīng)過點C的橢圓的離心率為______．14.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，若點15.若函數(shù)y=asinx+cosx在區(qū)間(?π3,π616.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=π四、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

2024年4月30日17時46分，神舟十七號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙.返回艙的軸截面可近似看作是由半個橢圓和一段圓弧組成的“果圓”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某“果圓”中圓弧經(jīng)過橢圓的一個焦點F(0,?1)和短軸的兩個頂點(2,0)與(?2,0)．

(1)寫出圖中“果圓”的方程；

(2)直線y=x交該“果圓”于A、B兩點，求弦AB的長度(精確到0.01)．

18.(本小題14分)

如圖1，ABCP是水平放置的矩形，AC=2AB.將矩形ABCP沿對角線AC折起，使得平面PAC⊥平面ABC，如圖2.設(shè)O是AC的中點，D是AP的中點．

(1)求直線BD與平面PAC所成角的大?。?/p>

(2)連接PB，設(shè)平面DBO與平面PBC的交線為直線l，求證：l//PC．

19.(本小題14分)

已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x+1，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n,Sn)(n∈N?)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn=20.(本小題18分)

已知雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是C的左頂點，C的離心率為2.設(shè)過F2的直線l交C的右支于P、Q兩點，其中P在第一象限．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線AP、AQ分別交直線x=12于M、N兩點，證明：MF221.(本小題18分)

已知m，b∈R，函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=ex+m+mx+b．

(1)若m=?1，b=0，寫出函數(shù)y=f(x)圖像的一條水平切線的方程；

(2)若m>0，x1<x2<x3，且滿足2f(x2)=f(x答案1.A

2.C

3.B

4.BCD

5.2π36.80

7.2

8.139.20π

10.11211.12

12.41

13.1214.6

15.{a|a≥3316.417.解：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，某“果圓”中圓弧經(jīng)過橢圓的一個焦點F(0,?1)和短軸的兩個頂點(2,0)與(?2,0)．

可得橢圓的c=1，b=2，則a=4+1=5，

所以橢圓方程為：y25+x24=1(y∈[0,5])；

設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(0,t)，可得t2+4=|t+1|，可得t=32．

所以圓的半徑為：52，所求圓的方程為：18.解：(1)過B作BH⊥AC于H，連接DH，

因為平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BH⊥AC，

所以BH⊥平面PAC，

所以∠BDH為直線BD與平面PAC所成角，

因為AC=2AB，不妨設(shè)AB=a，AC=2a，

在△ABC中，ABsin30°=ACsinB?B=90°，

在RT△BDH中，BH=32a，DH=12a，

所以tan∠BDH=BHDH=3，

所以直線BD與平面PAC所成角的大小為π3；

(2)證明：因為O是AC的中點，D是AP的中點，所以DO/?/PC，

又因為PC?平面PBC，DO?平面PBC，

19.解：(1)由題意令二次函數(shù)為y=ax2+bx

則f′(x)=2ax+b，

又f′(x)=2x+1，

∴a=1，b=1，

∴f(x)=x2+x．

∵點(n,Sn)(n∈N?)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上，

∴Sn=n2+n．

當(dāng)n=1時，Sn=a1=2．

當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=2n，

所以a1=2滿足an=2n，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n(n∈N?)；

20.解：(1)由題可得a=1,ca=2，故可得c=2，則b2=c2?a2=4?1=3，

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y23=1．

(2)證明：由(1)中所求可得點A，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(?1,0)，(2,0)，

又雙曲線漸近線為y=±3x，顯然直線PQ的斜率不為零，

故設(shè)其方程為x=my+2，(m≠±33)，

聯(lián)立雙曲線方程x2?y23=1可得：(3m2?1)y2+12my+9=0，

設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，

則y1+y2=?12m3m2?1,y1y2=93m2?1，

x1+x2=m(y1+y2)+4=?43m2?1，

x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=?3m2?43m2?1；

又直線AP方程為：y=y1x1+1(x+1)，令x=12，則y=32?y1x1+1，

故點M的坐標(biāo)為(12,32?y1x1+1)；

直線AQ方程為：y=y221.解：(1)當(dāng)m=?1，b=0時，f(x)=ex?1?x，故f′(x)=ex?1?1，

令f′(x)=0，即ex?1=1，解得x=1，此時f(1)=