第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年度湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)下學(xué)期高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?z)i=2，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.?i B.?1 C.2i D.22.已知向量a與b的夾角為30°，|a|=3，|A.1 B.2?3 C.2+3.已知一組數(shù)據(jù)8，4，7，6，5，3，9，10，則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是(

)A.3.5 B.4 C.4.5 D.54.在某次比賽中運(yùn)動員五輪的成績互不相等，記為xi(i=1,2,3,4,5)，平均數(shù)為x，若隨機(jī)刪去其中一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為yi(i=1,2,3,4)，平均數(shù)為yA.新數(shù)據(jù)的極差不可能等于原數(shù)據(jù)的極差

B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)

C.若x=y，則新數(shù)據(jù)的方差一定小于原數(shù)據(jù)方差

D.若x=y，則新數(shù)據(jù)的第5.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為20cm，高為20cm.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為1cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确?如圖)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共1000人，需要準(zhǔn)備的粘土量(不計損耗)約為(????)?(參考數(shù)據(jù)：π≈3.14)

A.1.3m3 B.1.5m3 C.6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(

)A.α/?/β，l//α B.α⊥β，l⊥β

C.α與β相交，且交線平行于l D.α與β相交，且交線垂直于l7.如圖，在平面四邊形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC=30°，∠BAC=45°現(xiàn)將△ACD沿AC折起，并連接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱錐D?ABC的外接球的表面積為8π，則三棱錐D?ABC的體積為(

)A.14 B.34 C.8.已知棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方形AA1A.[13,19] B.[二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.供電部門對某社區(qū)100位居民6月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計后，按人均用電量分為[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關(guān)這100位居民，下列說法正確的是(

)

A.6月份人均用電量人數(shù)最多的一組有40人

B.6月份人均用電量在[30,40)內(nèi)的有30人

C.6月份人均用電量不低于20度的有50人

D.在這100位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在[20,30)一組的人數(shù)為310.將一個直徑為8cm的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是(

)A.底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體 B.底面直徑為6cm，高為4cm的圓錐體

C.底面邊長為4cm，高為6cm的正四棱柱 D.棱長為6cm的正四面體11.已知圓錐SO的底面半徑為10cm，其母線SA長40cm，底面圓周上有一動點(diǎn)B，下列說法正確的有(

)

A.截面SAB的最大面積為10015cm2

B.若∠AOB=π3，則直線SB與平面SOA夾角的正弦值為14

C.當(dāng)三棱錐O?SAB的體積最大時，其外接球的表面積為1700πcm2

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若D為BC邊的中點(diǎn)，則|AD|=13.某水平放置的平面圖形ABCD的斜二測直觀圖是梯形A′B′C′D′(如圖所示)，已知A′D′//B′C′，∠A′B′C′=45°，A′D′=A′B′=12B′C′=1，將該平面圖形繞其直角腰AB邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺，則該圓臺的側(cè)面積為

14.如圖所示，某甜品店將上半部是半球(半球的半徑為2)，下半部是倒立的圓錐(圓錐的高為4)的冰淇淋模型放到櫥窗內(nèi)展覽，托盤是邊長為6的等邊三角形ABC金屬片沿三邊中點(diǎn)D，E，F(xiàn)的連線向上折疊成直二面角而成，則半球面上的最高點(diǎn)到平面DEF的距離為

．

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosA?b(1)求角A的大小;(2)若a=23，求b+c16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，AB/?/DC，AB⊥BC，AB=4，BC=DC=2，PA=PB=3，點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)．

(1)求證：CM/?/平面PAD;(2)求二面角P?BD?C的余弦值．17.(本小題12分)

近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費(fèi)的一種流行的營銷形式.某直播平臺1200個直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．

(1)該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取60個直播商家進(jìn)行問詢交流.如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家?(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對(1)中抽取的60個商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(單位：元)，所得頻率分布直方圖如圖2所示.請根據(jù)頻率分布直方圖計算下面的問題：(ⅰ)估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(ⅱ)若將平均日利潤超過430元的商家評為“優(yōu)秀商家”，估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)．18.(本小題12分)

如圖所示，在三棱錐O?ABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．

(1)證明：OC⊥AB;(2)若△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)O到平面ABC的距離為263.試問直線OB與平面ABC所成夾角是否為定值，若是則求出該夾角的余弦值(3)在(2)的條件下，取OB中點(diǎn)為P，并取一點(diǎn)Q使得AQ=λAC(0<λ<1).當(dāng)直線PQ與平面ABC所成角的正切值最大時.試求異面直線OQ與19.(本小題12分)已知數(shù)據(jù)x1，x2，?xn的平均數(shù)為x，方差為sx2，數(shù)據(jù)y1，y2，?，yn的平均數(shù)為y，方差為sy2.類似平面向量，定義n維向量OP=(x1?x,x2(1)當(dāng)n=2時，若向量OP=(?3,?4)，OQ=(5,?12)，求OP與OQ(2)當(dāng)n=3時，證明：

?①3sx2=x12+x22+x答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.D

8.C

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.1913.314.6+15.解：(1)由正弦定理得：2sinAcosA?sinBcosC=sinCcosB，

∴sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sin(π?A)=sinA=2sinAcosA，

∵A∈(0,π2)，∴sinA≠0，∴cos16.解：(1)取AP中點(diǎn)G，連接GM，GD，如圖1，因為M是PB中點(diǎn)，則MG//AB且MG=12AB，

又AB/?/CD，AB=2CD，所以MG//CD且MG=CD，所以MGDC是平行四邊形，

所以CM//DG，DG?平面ADP，CM?平面ADP，所以CM/?/平面PAD;

(2)取AB中點(diǎn)F，連接PF，CF，CF交BD于點(diǎn)O，連接OP，

由已知AB/?/DC，AB⊥BC，AB=2CD，得CDFB是正方形，CF⊥BD，PA=PB，則PF⊥AB，

因為平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，PF?平面PAB，所以PF⊥平面ABCD，

又BD?平面ABCD，所以PF⊥BD，又BD⊥FC，PF∩FC=F，PF，F(xiàn)C?平面PFC，

所以BD⊥平面PFC，又OP?平面PFC，所以BD⊥OP，

所以∠POC是二面角P?BD?A的平面角，又OF=2，PF=5，所以O(shè)P=2+5=7，

17.解：(1)6040×(1?25%?15%?10%?5%?5%)=1624，

60×15%=9，

所以應(yīng)抽取小吃類24家，生鮮類9家．

(2)(i)根據(jù)題意可得(0.001×3+a+0.003+0.005+0.007)×50=1，解得a=0.002，

設(shè)中位數(shù)為x，

因為(0.001+0.003)×50=0.2，

(0.001+0.003+0.007)×50=0.55，

所以(x?300)×0.007+0.2=0.5，解得x≈342.9，

平均數(shù)為(225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5，

所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5．

(ii)(450?43050×0.002+0.001+0.001)×50×1200=168，

所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為18.【解答】

解：(1)過O作OH⊥平面ABC于點(diǎn)H，延長AH交BC于點(diǎn)M，延長BH交AC于點(diǎn)N，BC?平面ABC，則OH⊥BC，BC⊥OA，OH∩OA=O，則BC⊥平面OAH，∵AH?平面OAH∴BC⊥AH;同理由AC⊥OB可證明AC⊥BH，∴H為△ABC的垂心∴AB⊥CH，AB⊥OH，CH∩OH=H，

則AB⊥平面OHC.OC?平面OHC，∴AB⊥OC．

(2)∵OH⊥平面ABC，則直線OB與平面ABC所成的角即為∠OBH，△ABC為等邊三角形，邊長為2，則BH=233，∵OH=263，∴OB=2，∴cos∠OBH=BHOB=2332=33．

(3)取BH的中點(diǎn)G，連PG和GQ，∵P為OB的